שיעור 95 – מקום גאומטרי שהוא היפרבולה

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

מקום גאומטרי שהוא היפרבולה

📄 נוסח השאלה

א. נתונות הנקודות A(−13 , 0) ו־B(13 , 0) . מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות P שעבורן |PA − PB| = 24 .

ב. נתונות הנקודות A(−3 , 0) ו־B(3 , 0) . מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות P שעבורן מכפלת השיפועים של PA ושל PB היא 49 . איזו צורה זו?

ג. נתונים שני מעגלים: מעגל O₁ שמרכזו (−5 , 0) ורדיוסו 1, ומעגל O₂ שמרכזו (5 , 0) ורדיוסו 7. מצאו את המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שמשיקים לשני המעגלים מבחוץ.

✏️ פתרון

הסבר – מקום גאומטרי שיוצא היפרבולה

דרך העבודה במקום גאומטרי: מסמנים נקודה כללית P(x , y) , כותבים את התנאי בעזרת x ו־y , ומפשטים.

קיצור דרך: אם התנאי הוא "ההפרש בין המרחקים משתי נקודות קבועות קבוע", זו היפרבולה לפי ההגדרה. שתי הנקודות הן המוקדים, וההפרש הוא 2a :

|PF₁ − PF₂| = 2a📐 הגדרת ההיפרבולה|PF₁ − PF₂| = 2a

אם ההפרש חייב להיות בכיוון אחד בלבד (למשל PF₂ − PF₁ = 2a , בלי ערך מוחלט), המקום הוא ענף אחד בלבד – הענף הקרוב יותר ל־F₁ .

בסוף תמיד בודקים אם יש נקודות שצריך להוציא מהמקום (למשל נקודות שבהן שיפוע לא מוגדר).

סעיף א – הפרש מרחקים קבוע

לפי ההגדרה, המקום הוא היפרבולה שמוקדיה A ו־B :

|PA − PB| = 2a = 24📐 הגדרת ההיפרבולה|PF₁ − PF₂| = 2a

a = 12 , c = 13

c² = a² + b²📐 מוקדי ההיפרבולהc² = a² + b²מוקדים F₁(−c , 0) , F₂(c , 0)

נציב c = 13 , a = 12 :

13² = 12² + b²

b² = 169 − 144 = 25

x²144 − y²25 = 1📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

✅ פתרון סופי: x²144 − y²25 = 1

סעיף ב – מכפלת שיפועים

נסמן P(x , y) ונכתוב את השיפועים:

m_PA = y − 0x − (−3) = yx + 3📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁

m_PB = y − 0x − 3 = yx − 3

התנאי:

yx + 3 · yx − 3 = 49

(x + 3)(x − 3) = x² − 9📐 הפרש ריבועים(u + v)(u − v) = u² − v²

y²x² − 9 = 49

כפל בהצלבה:

9y² = 4(x² − 9)

9y² = 4x² − 36

4x² − 9y² = 36

מחלקים ב־36:

x²9 − y²4 = 1📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

זו היפרבולה. צריך להוציא את הנקודות A(−3 , 0) ו־B(3 , 0) – אלה הקודקודים של ההיפרבולה, ובהן אחד השיפועים לא מוגדר (מכנה 0).

✅ פתרון סופי: x²9 − y²4 = 1 (היפרבולה), בלי (±3 , 0)

סעיף ג – מרכזי מעגלים משיקים

נסמן ב־M את מרכז המעגל המשיק וב־R את הרדיוס שלו. מעגלים שמשיקים מבחוץ – המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:

MO₁ = R + 1

MO₂ = R + 7

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה – R מצטמצם:

MO₂ − MO₁ = 6

ההפרש בין המרחקים מ־O₁ ומ־O₂ קבוע – זו היפרבולה שמוקדיה (±5 , 0) :

2a = 6 ⇒ a = 3 , c = 5📐 הגדרת ההיפרבולה|PF₁ − PF₂| = 2a

b² = 25 − 9 = 16📐 מוקדי ההיפרבולהc² = a² + b²מוקדים F₁(−c , 0) , F₂(c , 0)

x²9 − y²16 = 1📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

אבל M תמיד רחוקה יותר מ־O₂ מאשר מ־O₁ , ולכן היא קרובה יותר ל־O₁ – רק הענף השמאלי, שבו x ≤ −3 .

בדיקה עם הקודקוד (−3 , 0) : המרחק ממנו ל־O₁ הוא 2, ולכן R = 1 . המרחק ל־O₂ הוא 8, ואכן 8 = 1 + 7 ✓

בסקיצה: שני המעגלים הנתונים בירוק, והמקום הגאומטרי (הענף השמאלי) בכחול.

✅ פתרון סופי: x²9 − y²16 = 1 , רק הענף השמאלי x ≤ −3

📌 סיכום

סעיף א	x²144 − y²25 = 1
סעיף ב	x²9 − y²4 = 1 בלי (±3 , 0)
סעיף ג	x²9 − y²16 = 1 , x ≤ −3

הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים