שיעור 94 – היפרבולה ומעגל

פתרון בגרויות בהנדסה אנליטית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

היפרבולה ומעגל

📄 נוסח השאלה

נתונה ההיפרבולה x² − y²24 = 1 .

א. מצאו את המוקדים F₁ ו־F₂ של ההיפרבולה.

ב. מצאו את משוואת המעגל שהקטע F₁F₂ הוא קוטר שלו.

ג. מצאו את נקודות החיתוך של המעגל עם ההיפרבולה.

ד. הוכיחו שנקודות החיתוך הן קודקודים של מלבן, וחשבו את שטחו.

ה. מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו R . עבור אילו ערכים של R יש למעגל ולהיפרבולה (1) ארבע נקודות משותפות (2) שתי נקודות משותפות (3) אף נקודה משותפת?

✏️ פתרון

הסבר – היפרבולה ומעגל

כדי למצוא נקודות משותפות של מעגל ושל היפרבולה פותרים את שתי המשוואות יחד. כשהמרכז של המעגל בראשית, בשתי המשוואות מופיעים רק x² ו־y² – ואז נוח לחבר או להציב את y² .

x² + y² = R²📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²מרכז (a , b) , רדיוס R

שני הגרפים סימטריים לשני הצירים, ולכן נקודות החיתוך באות בארבעות: (±x , ±y) – והן קודקודים של מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים.

המעגל שקוטרו F₁F₂ : מרכזו בראשית (אמצע הקטע) ורדיוסו c .

סעיף א – המוקדים

מתוך המשוואה: a² = 1 , b² = 24 (אפשר לכתוב x² = x²1).

c² = 1 + 24 = 25 ⇒ c = 5📐 מוקדי ההיפרבולהc² = a² + b²מוקדים F₁(−c , 0) , F₂(c , 0)

✅ פתרון סופי: F₁(−5 , 0) , F₂(5 , 0)

סעיף ב – המעגל שקוטרו F₁F₂

המרכז הוא אמצע הקטע F₁F₂ :

x_M = −5 + 52 = 0 , y_M = 0📐 אמצע קטעx_M = x₁ + x₂2 , y_M = y₁ + y₂2

הרדיוס הוא חצי מהקוטר: R = 102 = 5 .

x² + y² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²מרכז (a , b) , רדיוס R

✅ פתרון סופי: x² + y² = 25

סעיף ג – נקודות החיתוך

כופלים את משוואת ההיפרבולה ב־24:

24x² − y² = 24

ויחד איתה משוואת המעגל:

x² + y² = 25

מחברים את שתי המשוואות – y² מצטמצם:

25x² = 49

x² = 4925 ⇒ x = ±75

נכתוב את משוואת המעגל ונסמן את x² :

x² + y² = 25

נציב x² = 4925 :

4925 + y² = 25

y² = 625 − 4925 = 57625

y = ±245

✅ פתרון סופי: (75 , 245) , (−75 , 245)
(−75 , −245) , (75 , −245)

סעיף ד – מלבן ושטחו

שתי נקודות עם אותו y (למשל y = 245) יוצרות צלע אופקית, ושתי נקודות עם אותו x יוצרות צלע אנכית. צלע אופקית מאונכת לצלע אנכית, ולכן לכל זווית במרובע 90 מעלות – המרובע הוא מלבן.

אורכי הצלעות:

75 − (−75) = 145

245 − (−245) = 485

S = 145 · 485 = 67225 = 26.88📐 שטח מלבןS = a · b (a , b – אורכי הצלעות)

בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, המעגל בתכלת והמלבן בסגול.

✅ פתרון סופי: מלבן, שטחו 67225 = 26.88

סעיף ה – מעגלים שמרכזם בראשית

מהיפרבולה: y² = 24x² − 24 . נכתוב את משוואת המעגל ונסמן את y² :

x² + y² = R²

נציב y² = 24x² − 24 :

x² + 24x² − 24 = R²

25x² = R² + 24

x² = R² + 2425

על ההיפרבולה תמיד x² ≥ 1 (הקודקודים הם (±1 , 0)). לכן יש נקודות משותפות רק כאשר:

R² + 2425 ≥ 1

R² ≥ 1 ⇒ R ≥ 1

(1) כאשר R > 1 : x² > 1 , ולכל x יש שני ערכים של y – ארבע נקודות.

(2) כאשר R = 1 : x² = 1 ו־y = 0 – שתי נקודות, הקודקודים (±1 , 0) . המעגל משיק להיפרבולה בקודקודים.

(3) כאשר 0 < R < 1 – אין נקודות משותפות (המעגל כולו בין שני הענפים).

✅ פתרון סופי:
(1) ארבע נקודות: R > 1
(2) שתי נקודות: R = 1
(3) אף נקודה: 0 < R < 1

📌 סיכום

סעיף א	(±5 , 0)
סעיף ב	x² + y² = 25
סעיף ג	(±75 , ±245)
סעיף ד	S = 26.88
סעיף ה	R > 1 ; R = 1 ; R < 1

הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים