הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 93 – משיק להיפרבולה – מצב הדדי בין ישר להיפרבולה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
משיק להיפרבולה – מצב הדדי בין ישר להיפרבולה
📄 נוסח השאלה
נתונה ההיפרבולה x28 − y24 = 1 .
א. קבעו את המצב ההדדי בין ההיפרבולה לבין כל אחד מהישרים: (1) y = x + 1 (2) y = x + 3 .
ב. מצאו את הערכים של n שבעבורם הישר y = x + n משיק להיפרבולה, ואת נקודות ההשקה.
ג. הנקודה K(4 , 6) נמצאת על ההיפרבולה x24 − y212 = 1 . מצאו את משוואת המשיק להיפרבולה בנקודה K .
ד. נתונה ההיפרבולה x29 − y216 = 1 . הישר y = 43x + 1 מקביל לאחת האסימפטוטות שלה. כמה נקודות משותפות יש לו עם ההיפרבולה? האם הוא משיק?
✏️ פתרון
הסבר – מצב הדדי בין ישר להיפרבולה
בנוסחאון אין נוסחת משיק להיפרבולה. לכן בודקים את המצב ההדדי: מציבים את משוואת הישר במשוואת ההיפרבולה, ומקבלים משוואה ריבועית ב־x .
ax2 + bx + c = 0📐 מצב הדדי בין ישר לעקומהבמשוואה הריבועית שמתקבלת:b2 − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוךb2 − 4ac = 0 – משיקb2 − 4ac < 0 – אין נקודות משותפות
משיק = לישר ולהיפרבולה יש נקודה משותפת אחת בדיוק, כלומר b2 − 4ac = 0 . את נקודת ההשקה מוצאים מהמשוואה הריבועית (פתרון אחד) ומהישר.
זהירות: ישר שמקביל לאסימפטוטה חותך את ההיפרבולה בנקודה אחת בלבד, אבל הוא לא משיק – אצלו המקדם של x2 מתאפס, ומקבלים משוואה ממעלה ראשונה. ישר כזה חוצה את ההיפרבולה.
טיפ: לפני ההצבה כדאי לכפול את משוואת ההיפרבולה במכנה המשותף, כדי לעבוד בלי שברים.
סעיף א – מצב הדדי
כופלים את משוואת ההיפרבולה ב־8:
x2 − 2y2 = 8
(1) נציב y = x + 1 :
x2 − 2(x + 1)2 = 8
x2 − 2(x2 + 2x + 1) = 8
x2 − 2x2 − 4x − 2 − 8 = 0
−x2 − 4x − 10 = 0
כופלים ב־(−1) :
x2 + 4x + 10 = 0
b2 − 4ac = 42 − 4 · 1 · 10 = 16 − 40 = −24📐 מצב הדדי בין ישר לעקומהבמשוואה הריבועית שמתקבלת:b2 − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוךb2 − 4ac = 0 – משיקb2 − 4ac < 0 – אין נקודות משותפות
הביטוי שלילי – אין פתרון, ולכן אין לישר ולהיפרבולה נקודות משותפות.
(2) באותה דרך, נציב y = x + 3 :
x2 − 2(x + 3)2 = 8
x2 − 2(x2 + 6x + 9) = 8
−x2 − 12x − 26 = 0
x2 + 12x + 26 = 0
b2 − 4ac = 144 − 104 = 40📐 מצב הדדי בין ישר לעקומהבמשוואה הריבועית שמתקבלת:b2 − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוךb2 − 4ac = 0 – משיקb2 − 4ac < 0 – אין נקודות משותפות
הביטוי חיובי – שני פתרונות, ולכן הישר חותך את ההיפרבולה בשתי נקודות.
✅ פתרון סופי: (1) אין נקודות משותפות
(2) שתי נקודות חיתוך
(2) שתי נקודות חיתוך
סעיף ב – ישר משיק ונקודות ההשקה
נציב y = x + n במשוואה x2 − 2y2 = 8 :
x2 − 2(x + n)2 = 8
x2 − 2(x2 + 2nx + n2) = 8
−x2 − 4nx − 2n2 − 8 = 0
x2 + 4nx + 2n2 + 8 = 0
המקדמים: a = 1 , b = 4n , c = 2n2 + 8 . משיק – נקודה משותפת אחת:
(4n)2 − 4 · 1 · (2n2 + 8) = 0📐 ישר משיק לעקומהמציבים את הישר במשוואת העקומה; משיק = נקודה משותפת אחתb2 − 4ac = 0
16n2 − 8n2 − 32 = 0
8n2 = 32
n2 = 4 ⇒ n = ±2
נקודת ההשקה עבור n = 2 – נכתוב את המשוואה הריבועית ונסמן את n :
x2 + 4nx + 2n2 + 8 = 0
נציב n = 2 :
x2 + 4 · 2x + 2 · 22 + 8 = 0
x2 + 8x + 16 = 0
(x + 4)2 = 0 ⇒ x = −4📐 ריבוע של סכוםu2 + 2uv + v2 = (u + v)2
y = −4 + 2 = −2
עבור n = −2 באותה דרך:
x2 − 8x + 16 = 0
(x − 4)2 = 0 ⇒ x = 4
y = 4 − 2 = 2
בדיקה שהנקודה (4 , 2) על ההיפרבולה: 168 − 44 = 2 − 1 = 1 ✓
בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, שני המשיקים בירוק, והישר y = x + 1 מסעיף א (בלי נקודות משותפות) בסגול מקווקו.
✅ פתרון סופי: y = x + 2 משיק ב־(−4 , −2)
y = x − 2 משיק ב־(4 , 2)
y = x − 2 משיק ב־(4 , 2)
סעיף ג – משיק בנקודה על ההיפרבולה
נמצא קודם תנאי כללי: מתי ישר y = mx + n משיק להיפרבולה הזו. כופלים את משוואת ההיפרבולה ב־12:
3x2 − y2 = 12
נציב y = mx + n :
3x2 − (mx + n)2 = 12
3x2 − m2x2 − 2mnx − n2 = 12
(3 − m2)x2 − 2mnx − n2 − 12 = 0
המקדמים: a = 3 − m2 , b = −2mn , c = −n2 − 12 . משיק:
(−2mn)2 − 4(3 − m2)(−n2 − 12) = 0📐 ישר משיק לעקומהמציבים את הישר במשוואת העקומה; משיק = נקודה משותפת אחתb2 − 4ac = 0
מחלקים ב־4, ופותחים סוגריים:
m2n2 + (3 − m2)(n2 + 12) = 0
m2n2 + 3n2 + 36 − m2n2 − 12m2 = 0
האיבר m2n2 מצטמצם:
3n2 + 36 − 12m2 = 0
n2 = 4m2 − 12
זה התנאי שישר y = mx + n משיק להיפרבולה. עכשיו נשתמש בכך שהמשיק עובר דרך K(4 , 6) :
6 = 4m + n ⇒ n = 6 − 4m
n2 = 4m2 − 12
נציב n = 6 − 4m :
(6 − 4m)2 = 4m2 − 12
36 − 48m + 16m2 = 4m2 − 12
12m2 − 48m + 48 = 0
מחלקים ב־12:
m2 − 4m + 4 = 0
(m − 2)2 = 0 ⇒ m = 2
n = 6 − 4 · 2 = −2
בדיקה שהנקודה על ההיפרבולה: 164 − 3612 = 4 − 3 = 1 ✓
✅ פתרון סופי: y = 2x − 2
סעיף ד – ישר המקביל לאסימפטוטה
האסימפטוטות של ההיפרבולה הן y = ±43x , ולכן הישר מקביל לאסימפטוטה y = 43x .
y = ± 43 x📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x
כופלים את משוואת ההיפרבולה ב־144: 16x2 − 9y2 = 144 . נוח לכתוב 9y2 = (3y)2 , ומהישר:
3y = 4x + 3
16x2 − (3y)2 = 144
נציב 3y = 4x + 3 :
16x2 − (4x + 3)2 = 144
16x2 − 16x2 − 24x − 9 = 144
האיבר x2 נעלם – קיבלנו משוואה ממעלה ראשונה:
−24x = 153
x = −15324 = −518
יש נקודה משותפת אחת בלבד, אבל הישר לא משיק: הוא מקביל לאסימפטוטה וחוצה את הענף השמאלי של ההיפרבולה (עובר מצד אחד שלה לצד השני).
✅ פתרון סופי: נקודה אחת , אבל לא משיק
📌 סיכום
| סעיף א | (1) אין נקודות (2) שתי נקודות |
|---|---|
| סעיף ב | n = ±2 , (−4 , −2) , (4 , 2) |
| סעיף ג | y = 2x − 2 |
| סעיף ד | נקודה אחת, לא משיק |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il