שיעור 92 – היפרבולה – נקודה על ההיפרבולה ומרחקים מהמוקדים

פתרון בגרויות בהנדסה אנליטית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

היפרבולה – נקודה על ההיפרבולה ומרחקים מהמוקדים

📄 נוסח השאלה

נתונה ההיפרבולה x²9 − y²16 = 1 . F₁ ו־F₂ הם המוקדים שלה (F₁ הוא המוקד השמאלי).

א. הנקודה P נמצאת על הענף הימני של ההיפרבולה, ו־PF₂ = 4 . מצאו את PF₁ ואת היקף המשולש PF₁F₂ .

ב. האם יש על הענף הימני נקודה שהמרחק שלה מ־F₂ הוא 1? נמקו.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות P על ההיפרבולה שבהן PF₁ מאונך ל־PF₂ .

ד. חשבו את שטח המשולש PF₁F₂ עבור הנקודה מסעיף ג שנמצאת ברביע הראשון.

✏️ פתרון

הסבר – המרחקים של נקודה מהמוקדים

לכל נקודה P על ההיפרבולה, ההפרש בין המרחקים שלה מהמוקדים קבוע ושווה לאורך הציר הממשי:

|PF₁ − PF₂| = 2a📐 הגדרת ההיפרבולה|PF₁ − PF₂| = 2a

על הענף הימני הנקודה קרובה יותר ל־F₂ , ולכן PF₁ − PF₂ = 2a . על הענף השמאלי – הפוך: PF₂ − PF₁ = 2a .

הנקודה הקרובה ביותר למוקד הימני על הענף הימני היא הקודקוד (a , 0) , ולכן המרחק הקטן ביותר מ־F₂ לענף הימני הוא c − a .

כשהזווית F₁PF₂ ישרה, אפשר לעבוד עם שיפועים (m₁ · m₂ = −1), או לזכור שאז P נמצאת על המעגל שקוטרו F₁F₂ .

סעיף א – מרחק מהמוקד השני והיקף

מתוך המכנים:

a² = 9 , b² = 16📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

a = 3 , b = 4

c² = 9 + 16 = 25 ⇒ c = 5📐 מוקדי ההיפרבולהc² = a² + b²מוקדים F₁(−c , 0) , F₂(c , 0)

הנקודה על הענף הימני, ולכן היא רחוקה יותר מ־F₁ :

PF₁ − PF₂ = 2 · 3 = 6📐 הגדרת ההיפרבולה|PF₁ − PF₂| = 2a

נציב PF₂ = 4 :

PF₁ − 4 = 6

PF₁ = 10

המרחק בין המוקדים (−5 , 0) ו־(5 , 0) הוא 2c = 10 . היקף המשולש הוא סכום שלוש הצלעות:

PF₁ + PF₂ + F₁F₂ = 10 + 4 + 10 = 24

✅ פתרון סופי: PF₁ = 10 , היקף 24

סעיף ב – המרחק הקטן ביותר מהמוקד

המרחק הקטן ביותר מ־F₂(5 , 0) לנקודה על הענף הימני הוא המרחק לקודקוד (3 , 0) :

c − a = 5 − 3 = 2📐 קודקודי ההיפרבולהקודקודים (−a , 0) , (a , 0)ציר ממשי 2a , ציר מדומה 2b

כל נקודה אחרת על הענף הימני רחוקה יותר. מכיוון ש־1 < 2 , אין על הענף הימני נקודה במרחק 1 מ־F₂ .

✅ פתרון סופי: לא, המרחק הקטן ביותר הוא 2

סעיף ג – זווית ישרה במשולש המוקדים

נסמן P(x , y) . נכתוב את השיפועים של PF₁ ושל PF₂ :

m₁ = y − 0x − (−5) = yx + 5📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁

m₂ = y − 0x − 5 = yx − 5

הישרים מאונכים:

yx + 5 · yx − 5 = −1📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1

y²x² − 25 = −1

y² = −x² + 25

x² + y² = 25

קיבלנו מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 5 – המעגל שקוטרו F₁F₂ (בתכלת בסקיצה). הנקודה P צריכה להיות גם על ההיפרבולה. מהמעגל:

y² = 25 − x²

נכתוב את משוואת ההיפרבולה ונסמן את y² :

x²9 − y²16 = 1

נציב y² = 25 − x² :

x²9 − 25 − x²16 = 1

כופלים את שני הצדדים ב־144 (המכנה המשותף של 9 ו־16):

16x² − 9(25 − x²) = 144

16x² − 225 + 9x² = 144

25x² = 369

x² = 36925

x = ±√3695 = ±3√415 ≈ ±3.84

נציב x² = 36925 ב־y² = 25 − x² :

y² = 25 − 36925 = 625 − 36925 = 25625

y = ±165

ארבע נקודות, אחת בכל רביע. בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, המעגל בתכלת והמשולש PF₁F₂ בסגול.

✅ פתרון סופי: (±3√415 , ±165) (ארבע נקודות)

סעיף ד – שטח המשולש

הנקודה ברביע הראשון: P(3√415 , 165) . הבסיס F₁F₂ מונח על ציר ה־x , ואורכו 10. הגובה לבסיס הוא שיעור ה־y של P :

S = 10 · 1652 = 16📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2

אפשר גם לבדוק עם הניצבים (זווית ישרה ב־P): השטח הוא PF₁ · PF₂2 – ויוצא אותו מספר.

✅ פתרון סופי: 16

📌 סיכום

סעיף א	PF₁ = 10 , היקף 24
סעיף ב	לא (המרחק הקטן ביותר 2)
סעיף ג	(±3√415 , ±165)
סעיף ד	S = 16

הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים