שיעור 91 – היפרבולה – אסימפטוטות

פתרון בגרויות בהנדסה אנליטית

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

היפרבולה – אסימפטוטות

📄 נוסח השאלה

א. מצאו את משוואות האסימפטוטות של ההיפרבולה x²25 − y²16 = 1 , וסרטטו את ההיפרבולה ואת האסימפטוטות.

ב. אחת האסימפטוטות של היפרבולה קנונית היא y = 2x , וההיפרבולה עוברת דרך הנקודה (3 , 4) . מצאו את משוואת ההיפרבולה.

ג. אחת האסימפטוטות של היפרבולה קנונית היא y = 34x , ואחד המוקדים שלה הוא (10 , 0) . מצאו את משוואת ההיפרבולה.

ד. נתונה ההיפרבולה x²16 − y²9 = 1 . F₂ הוא המוקד הימני שלה, והנקודה A(5 , 94) נמצאת עליה.

(1) מצאו את המרחק של המוקד F₂ מהאסימפטוטה בעלת השיפוע החיובי.

(2) מצאו את המרחק של הנקודה A מאותה אסימפטוטה.

✏️ פתרון

הסבר – האסימפטוטות של ההיפרבולה

ככל שמתרחקים מהראשית, ענפי ההיפרבולה מתקרבים יותר ויותר לשני ישרים שעוברים דרך ראשית הצירים, אבל לא נוגעים בהם. הישרים האלה נקראים האסימפטוטות של ההיפרבולה.

y = ± ba x📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x

דרך קלה לזכור ולסרטט: בונים מלבן שקודקודיו (±a , ±b) . האלכסונים של המלבן (ממשיכים אותם) הם האסימפטוטות, וההיפרבולה נוגעת במלבן בשני הקודקודים שלה (±a , 0) .

שימו לב: שתי האסימפטוטות עוברות בראשית, השיפועים שלהן נגדיים (ba ו־−ba), ובהיפרבולה שוות שוקיים הן y = x ו־y = −x – מאונכות זו לזו.

כשנתונה אסימפטוטה, השיפוע שלה נותן את היחס בין b ל־a – זו משוואה אחת. צריך עוד נתון אחד (נקודה, מוקד, אורך ציר) כדי למצוא את a ואת b .

סעיף א – משוואות האסימפטוטות

מתוך המכנים:

x²25 − y²16 = 1📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

a² = 25 ⇒ a = 5

b² = 16 ⇒ b = 4

נכתוב את נוסחת האסימפטוטות ונסמן את מה שנציב:

y = ± ba x📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x

נציב a = 5 , b = 4 :

y = ± 45 x

בסקיצה: המלבן שקודקודיו (±5 , ±4) באפור, האסימפטוטות (האלכסונים שלו) בסגול מקווקו, וההיפרבולה בכחול – היא נוגעת במלבן ב־(±5 , 0) .

✅ פתרון סופי: y = 45x , y = −45x

סעיף ב – משוואה מאסימפטוטה ונקודה

השיפוע של האסימפטוטה y = 2x הוא ba :

ba = 2📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x

b = 2a ⇒ b² = 4a²

נכתוב את משוואת ההיפרבולה ונסמן את b² ואת המקומות של x ושל y :

x²a² − y²b² = 1📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

נציב x = 3 , y = 4 ו־b² = 4a² :

3²a² − 4²4a² = 1

9a² − 164a² = 1

9a² − 4a² = 1

5a² = 1

a² = 5

b² = 4 · 5 = 20

x²5 − y²20 = 1📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

בדיקה: 95 − 1620 = 95 − 45 = 1 ✓

✅ פתרון סופי: x²5 − y²20 = 1

סעיף ג – משוואה מאסימפטוטה ומוקד

מהאסימפטוטה:

ba = 34📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x

b = 34a ⇒ b² = 916a²

מהמוקד (10 , 0) : c = 10 . נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:

c² = a² + b²📐 מוקדי ההיפרבולהc² = a² + b²מוקדים F₁(−c , 0) , F₂(c , 0)

נציב c = 10 ו־b² = 916a² :

10² = a² + 916a²

100 = 2516a²

a² = 100 · 1625 = 64

b² = 916 · 64 = 36

x²64 − y²36 = 1📐 היפרבולה קנוניתx²a² − y²b² = 1c² = a² + b²מוקדים (±c , 0)

✅ פתרון סופי: x²64 − y²36 = 1

סעיף ד – מרחק מאסימפטוטה

מתוך המכנים: a = 4 , b = 3 , ולכן:

c² = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5📐 מוקדי ההיפרבולהc² = a² + b²מוקדים F₁(−c , 0) , F₂(c , 0)

המוקד הימני: F₂(5 , 0) . האסימפטוטה בעלת השיפוע החיובי:

y = 34x📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x

לנוסחת המרחק צריך את הישר בצורה Ax + By + C = 0 . כופלים ב־4 ומעבירים אגפים:

4y = 3x

3x − 4y = 0

(1) נכתוב את נוסחת המרחק עם A = 3 , B = −4 , C = 0 ונסמן את מה שנציב:

d = |3x₀ − 4y₀|√3² + (−4)²📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax₀ + By₀ + C|√A² + B²

נציב את המוקד x₀ = 5 , y₀ = 0 :

d = |3 · 5 − 4 · 0|√9 + 16 = 155 = 3

יצא בדיוק b = 3 – זו תכונה של כל היפרבולה: המרחק של מוקד מאסימפטוטה שווה ל־b .

(2) באותה נוסחה, נציב את הנקודה A(5 , 94) :

d = |3 · 5 − 4 · 94|5

d = |15 − 9|5 = 65 = 1.2

בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, האסימפטוטה בסגול, והמרחקים (האנכים לאסימפטוטה) בירוק מקווקו.

✅ פתרון סופי: (1) 3
(2) 65 = 1.2

📌 סיכום

סעיף א	y = ±45x
סעיף ב	x²5 − y²20 = 1
סעיף ג	x²64 − y²36 = 1
סעיף ד	(1) 3 (2) 65

הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים