הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 89 – היפרבולה – הגדרה ומשוואה קנונית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
היפרבולה – הגדרה ומשוואה קנונית
📄 נוסח השאלה
נתונות שתי נקודות: F1(−5 , 0) ו־F2(5 , 0) .
א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות P שהערך המוחלט של הפרש מרחקיהן מהנקודות F1 ו־F2 שווה ל־8.
ב. בדקו אם הנקודה A(5 , 94) נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם, ובדקו את התשובה לפי ההגדרה.
ג. מצאו את הנקודות על המקום הגאומטרי שבהן x = 8 .
✏️ פתרון
הסבר – מהי היפרבולה
הגדרה: היפרבולה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהערך המוחלט של הפרש מרחקיהן משתי נקודות קבועות הוא מספר קבוע. שתי הנקודות הקבועות נקראות מוקדי ההיפרבולה.
|PF1 − PF2| = 2a📐 הגדרת ההיפרבולה|PF1 − PF2| = 2a
כשהמוקדים נמצאים על ציר ה־x , סימטריים לראשית הצירים, מקבלים את המשוואה הקנונית של ההיפרבולה:
x2a2 − y2b2 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
הקשר בין המספרים: c הוא המרחק של כל מוקד מראשית הצירים, ומתקיים c2 = a2 + b2 . שימו לב: באליפסה יש מינוס (c2 = a2 − b2), ובהיפרבולה יש פלוס.
להיפרבולה יש שני ענפים, אחד מימין ואחד משמאל, והיא סימטרית לציר ה־x , לציר ה־y ולראשית הצירים. בסרטוט: ההיפרבולה בכחול, ושני הישרים המקווקווים בסגול הם האסימפטוטות שלה (נלמד עליהן בהמשך).
סעיף א – משוואת המקום הגאומטרי
נסמן נקודה כללית על המקום הגאומטרי: P(x , y) .
הערך המוחלט של ההפרש שווה ל־8, ולכן ההפרש שווה ל־8 או ל־−8 :
PF1 − PF2 = ±8📐 הגדרת ההיפרבולה|PF1 − PF2| = 2a
מעבירים את PF2 לצד ימין:
PF1 = PF2 ± 8
מעלים את שני הצדדים בריבוע. בצד ימין משתמשים בנוסחת הכפל המקוצר:
PF12 = PF22 ± 16 · PF2 + 64📐 ריבוע של סכום(u ± v)2 = u2 ± 2uv + v2
מעבירים את PF22 לצד שמאל:
PF12 − PF22 = ±16 · PF2 + 64
את ריבועי המרחקים כותבים לפי נוסחת המרחק (בריבוע, בלי שורש):
PF12 = (x + 5)2 + y2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
PF22 = (x − 5)2 + y2
נחשב את ההפרש PF12 − PF22 . ה־y2 מצטמצם:
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25📐 ריבוע של סכום והפרש(u ± v)2 = u2 ± 2uv + v2
(x − 5)2 = x2 − 10x + 25
מחסרים: x2 ו־25 מצטמצמים, ונשאר:
PF12 − PF22 = 10x + 10x = 20x
נציב PF12 − PF22 = 20x :
20x = ±16 · PF2 + 64
20x − 64 = ±16 · PF2
מחלקים את שני הצדדים ב־4:
5x − 16 = ±4 · PF2
מעלים שוב בריבוע (הסימן ± נעלם, כי ריבוע הוא תמיד חיובי):
(5x − 16)2 = 16 · PF22
נציב PF22 = (x − 5)2 + y2 :
(5x − 16)2 = 16 · [(x − 5)2 + y2]
פותחים סוגריים בכל צד בנפרד:
(5x − 16)2 = 25x2 − 160x + 256
16(x − 5)2 = 16x2 − 160x + 400
ובצד ימין נוסף גם 16y2 .
הביטוי −160x מופיע בשני הצדדים ומצטמצם, ונשאר:
25x2 + 256 = 16x2 + 400 + 16y2
מעבירים אגפים ומכנסים איברים דומים:
9x2 − 16y2 = 144
מחלקים את שני הצדדים ב־144, כדי לקבל 1 בצד ימין:
9x2144 − 16y2144 = 144144
x216 − y29 = 1
קיבלנו היפרבולה קנונית: a2 = 16 , b2 = 9 . נבדוק את הקשר c2 = a2 + b2 :
c2 = 16 + 9 = 25📐 מוקדי ההיפרבולהc2 = a2 + b2מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
c = 5
אכן המוקדים הם (±5 , 0) , כמו בנתונים.
✅ פתרון סופי: x216 − y29 = 1
סעיף ב – נקודה על ההיפרבולה
נכתוב את משוואת ההיפרבולה ונסמן את המקומות של x ושל y :
x216 − y29 = 1
נציב x = 5 , y = 94 :
5216 − (94)29 = ?
2516 − 8116 · 19 = 2516 − 916
2516 − 916 = 1616 = 1
הצד השמאלי שווה ל־1, ולכן הנקודה A נמצאת על ההיפרבולה.
בדיקה לפי ההגדרה – נחשב את המרחקים של A מהמוקדים:
AF1 = √(5 + 5)2 + (94)2 = √100 + 8116📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
AF1 = √168116 = 414
AF2 = √(5 − 5)2 + (94)2 = 94
AF1 − AF2 = 414 − 94 = 324 = 8
הפרש המרחקים הוא 8, בדיוק כמו בהגדרה. ✓
✅ פתרון סופי: הנקודה A(5 , 94) נמצאת על ההיפרבולה
סעיף ג – נקודות שבהן x = 8
נכתוב את משוואת ההיפרבולה ונסמן את המקום של x :
x216 − y29 = 1
נציב x = 8 :
8216 − y29 = 1
6416 − y29 = 1
4 − y29 = 1
−y29 = −3
y2 = 27
y = ±√27 = ±3√3
✅ פתרון סופי: (8 , 3√3) , (8 , −3√3)
📌 סיכום
| סעיף א | x216 − y29 = 1 |
|---|---|
| סעיף ב | כן, A על ההיפרבולה |
| סעיף ג | (8 , ±3√3) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il