שיעור 110 – בגרות 582 חורף 2019 – אליפסה: מקום גאומטרי, שטח והיקף מרובע המוקדים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 582 · חורף 2019 · שאלה 1
בגרות 582 חורף 2019 – אליפסה: מקום גאומטרי, שטח והיקף מרובע המוקדים

📄 נוסח השאלה

מעגל שמרכזו M חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה A , כמתואר בציור. ממרכז המעגל העבירו אנך לציר ה־y , החותך את הציר בנקודה E . נתון כי AE = 6 .

נתון גם כי מרחק הנקודה M מראשית הצירים הוא מחצית מן האורך של רדיוס המעגל.

א. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M המקיימות את נתוני השאלה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

נסמן ב־F₁ וב־F₂ את מוקדי האליפסה שאת משוואתה מצאתם בסעיף א. הנקודות D₁ ו־D₂ הן נקודות על האליפסה. שיעור ה־y של D₁ חיובי ושיעור ה־y של D₂ שלילי.

ב. (1) מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי עבור המרובע F₁D₁F₂D₂ . נמקו.

(2) האם קיים מרובע F₁D₁F₂D₂ בעל היקף גדול ביותר? נמקו.

✏️ פתרון

סעיף א – המקום הגאומטרי הוא אליפסה

נסמן M(x , y) ואת הרדיוס ב־R . הנקודה E(0 , y) , ולכן ME = |x| . במשולש MEA הזווית ב־E ישרה, ו־MA = R :

R² = ME² + AE²📐 משפט פיתגורסa² + b² = c²

R² = x² + 36

המרחק של M מהראשית הוא חצי מהרדיוס:

√x² + y² = R2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²

מעלים בריבוע וכופלים ב־4:

4(x² + y²) = R²

נציב R² = x² + 36 :

4x² + 4y² = x² + 36

3x² + 4y² = 36

מחלקים ב־36:

x²12 + y²9 = 1📐 אליפסה קנוניתx²a² + y²b² = 1c² = a² − b²מוקדים (±c , 0)

זו משוואה של אליפסה, ולכן כל הנקודות M נמצאות על אליפסה.

✅ פתרון סופי: x²12 + y²9 = 1

סעיף ב (1) – השטח הגדול ביותר

מתוך המשוואה: a² = 12 , b² = 9 :

c² = a² − b² = 12 − 9 = 3📐 אליפסה קנוניתx²a² + y²b² = 1c² = a² − b²מוקדים (±c , 0)

F₁(−√3 , 0) , F₂(√3 , 0)

האלכסון F₁F₂ על ציר ה־x מחלק את המרובע לשני משולשים. D₁ מעל הציר ו־D₂ מתחתיו, והגבהים הם |y| של כל אחת:

S = 2√3 · y_D₁2 + 2√3 · |y_D₂|2📐 שטח משולשS = a · h2

S = √3(y_D₁ + |y_D₂|)

השטח הגדול ביותר כששני הגבהים הכי גדולים. על האליפסה |y| ≤ b = 3 , והמקסימום בקודקודים (0 , 3) ו־(0 , −3) :

S = √3(3 + 3) = 6√3

בסקיצה: המרובע הגדול ביותר בירוק, ומרובע אחר לדוגמה באפור.

✅ פתרון סופי: 6√3

סעיף ב (2) – ההיקף

ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות. נסדר אותו לפי הנקודות:

P = (D₁F₁ + D₁F₂)

+ (D₂F₁ + D₂F₂)

לפי הגדרת האליפסה, לכל נקודה עליה סכום המרחקים מהמוקדים הוא 2a :

P = 2a + 2a = 4a = 4√12 = 8√3📐 הגדרת האליפסהPF₁ + PF₂ = 2a

ההיקף שווה ל־8√3 לכל מרובע כזה – הוא קבוע. לכן אין מרובע עם היקף גדול ביותר: לכולם אותו היקף.

✅ פתרון סופי: לא , ההיקף קבוע 8√3

📌 סיכום

סעיף א	x²12 + y²9 = 1
סעיף ב (1)	6√3
סעיף ב (2)	לא – ההיקף קבוע

הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים