הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 105 – בגרות 582 חורף מאוחר 2021 – פרבולה: מוקד, מדריך ומקום גאומטרי
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · חורף מאוחר 2021 · שאלה 1
בגרות 582 חורף מאוחר 2021 – פרבולה: מוקד, מדריך ומקום גאומטרי
📄 נוסח השאלה
נתון: נקודה K נמצאת על הפרבולה y2 = 4px , p > 0 . שיעור ה־y של נקודה K הוא 12. המרחק בין נקודה K ובין מוקד הפרבולה הוא 20.
א. מצאו את p (מצאו את שתי האפשרויות).
נסמן את הערכים של p שמצאתם בסעיף א ב־p1 ו־p2 , p1 < p2 .
ישר מן הצורה y = mx , m ≠ 0 , חותך את הפרבולה y2 = 4p1x בראשית הצירים ובנקודה נוספת, A , ואת הפרבולה y2 = 4p2x בראשית הצירים ובנקודה נוספת, B .
הציבו את הערכים של p1 ו־p2 שמצאתם, וענו על סעיפים ב–ג.
ב. הביעו את שיעורי נקודה A ואת שיעורי נקודה B באמצעות m .
בעבור כל ישר y = mx , m ≠ 0 , נסמן ב־M את אמצע הקטע AB הנוצר באופן המתואר.
ג. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו נמצאות הנקודות M האלה – בלי m .
✏️ פתרון
סעיף א – הערכים של p
הפרבולה כתובה בצורה y2 = 4px . נשווה לצורה של הנוסחאון y2 = 2Px : 2P = 4p , ולכן P = 2p .
(P2 , 0) = (p , 0) , x = −p📐 פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2
כלומר המוקד F(p , 0) והמדריך x = −p . לפי הגדרת הפרבולה, המרחק של K מהמוקד שווה למרחק שלה מהמדריך:
KF = xK + p📐 הגדרת הפרבולהכל נקודה על הפרבולה נמצאת במרחק שווה מהמוקד ומהמדריך
את xK נמצא מהפרבולה. נכתוב את המשוואה ונסמן את y :
y2 = 4px
נציב y = 12 :
122 = 4px ⇒ x = 1444p = 36p
נציב ב־KF = 20 :
36p + p = 20
כופלים ב־p :
36 + p2 = 20p
p2 − 20p + 36 = 0
(p − 2)(p − 18) = 0
p = 2 , p = 18
✅ פתרון סופי: p1 = 2 , p2 = 18
סעיף ב – הנקודות A ו־B
שתי הפרבולות: y2 = 8x ו־y2 = 72x . הנקודה A – נכתוב את הפרבולה הראשונה ונסמן את y :
y2 = 8x
נציב y = mx :
(mx)2 = 8x
m2x2 − 8x = 0
x(m2x − 8) = 0
x = 0 היא ראשית הצירים. הנקודה הנוספת:
x = 8m2
y = m · 8m2 = 8m
הנקודה B – באותה דרך עם y2 = 72x :
m2x2 = 72x ⇒ x = 72m2
y = m · 72m2 = 72m
✅ פתרון סופי: A(8m2 , 8m) , B(72m2 , 72m)
סעיף ג – המקום הגאומטרי של M
נכתוב את נוסחת אמצע קטע ונסמן את מה שנציב:
xM = x1 + x22 , yM = y1 + y22📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
נציב את A ואת B :
xM = 8m2 + 72m22 = 40m2
yM = 8m + 72m2 = 40m
נבטל את m . מהמשוואה השנייה:
m = 40yM
נכתוב את המשוואה הראשונה ונסמן את m :
xM = 40m2
נציב m = 40yM :
xM = 40(40yM)2 = 40 · yM21600 = yM240
y2 = 40x
זו פרבולה. ראשית הצירים לא שייכת למקום הגאומטרי, כי m ≠ 0 ולכן 40m ≠ 0 .
בסקיצה, עבור m = 2 : y2 = 8x בכחול, y2 = 72x בסגול, הישר באפור, והמקום הגאומטרי y2 = 40x בירוק.
✅ פתרון סופי: y2 = 40x
📌 סיכום
| סעיף א | p1 = 2 , p2 = 18 |
|---|---|
| סעיף ב | A(8m2 , 8m) B(72m2 , 72m) |
| סעיף ג | y2 = 40x |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il