הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 104 – בגרות 582 קיץ 2021 מועד א׳ – מקומות גאומטריים: שתי פרבולות ודלתון
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · קיץ 2021 מועד א׳ · שאלה 1
בגרות 582 קיץ 2021 מועד א׳ – מקומות גאומטריים: שתי פרבולות ודלתון
📄 נוסח השאלה
נתון פרמטר a , a > 0 .
א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהמרחק שלהן מן הנקודה (a , 0) שווה למרחק שלהן מן הישר x = a − 1 .
ב. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שהמרחק שלהן מן הנקודה (0 , a) שווה למרחק שלהן מן הישר y = a − 1 .
נתון כי שני המקומות הגאומטריים שמצאתם בסעיפים א–ב נחתכים בשתי נקודות. אחת הנקודות היא (2 , 2) .
ג. (1) מצאו את a . (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך האחרת.
מחברים את שתי נקודות החיתוך של שני המקומות הגאומטריים עם הנקודות (3a , 0) ו־(0 , 3a) כך שמתקבל מרובע.
ד. (1) מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו. (2) חשבו את שטח המרובע.
✏️ פתרון
סעיף א – המקום הגאומטרי הראשון
נסמן P(x , y) . המרחק מהנקודה (a , 0) :
d1 = √(x − a)2 + y2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
המרחק מהישר האנכי x = a − 1 הוא ההפרש בשיעורי ה־x :
d2 = |x − (a − 1)|
משווים ומעלים בריבוע:
(x − a)2 + y2 = (x − a + 1)2
פותחים את הסוגריים (נתייחס ל־(a − 1) כגוש אחד):
x2 − 2ax + a2 + y2
= x2 − 2(a − 1)x + (a − 1)2
−2ax + a2 + y2 = −2ax + 2x + a2 − 2a + 1
y2 = 2x − 2a + 1
זו פרבולה (מוקד ומדריך – לפי ההגדרה).
✅ פתרון סופי: y2 = 2x − 2a + 1
סעיף ב – המקום הגאומטרי השני
זה אותו תנאי בדיוק, רק שהתפקידים של x ושל y התחלפו: הנקודה (0 , a) במקום (a , 0) , והישר y = a − 1 במקום x = a − 1 . לכן מחליפים את x ו־y בתשובה של סעיף א:
x2 + (y − a)2 = (y − a + 1)2📐 הגדרת הפרבולהכל נקודה על הפרבולה נמצאת במרחק שווה מהמוקד ומהמדריך
x2 = 2y − 2a + 1
✅ פתרון סופי: x2 = 2y − 2a + 1
סעיף ג (1) – הערך של a
הנקודה (2 , 2) על המקום הגאומטרי מסעיף א. נכתוב את המשוואה ונסמן את x ואת y :
y2 = 2x − 2a + 1
נציב x = 2 , y = 2 :
22 = 2 · 2 − 2a + 1
4 = 5 − 2a
a = 0.5
הנקודה מקיימת גם את המשוואה של סעיף ב, כי שיעוריה שווים.
✅ פתרון סופי: a = 0.5
סעיף ג (2) – נקודת החיתוך האחרת
עם a = 0.5 : −2a + 1 = 0 , ולכן שני המקומות הם:
y2 = 2x
x2 = 2y ⇒ y = x22
נציב את y בפרבולה הראשונה:
(x22)2 = 2x
x44 = 2x
x4 − 8x = 0
x(x3 − 8) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2
x = 2 נותן את הנקודה הנתונה (2 , 2) . עבור x = 0 : y = 0 .
✅ פתרון סופי: (0 , 0)
סעיף ד (1) – סוג המרובע
ארבעת הקודקודים: O(0 , 0) , K(1.5 , 0) , P(2 , 2) , L(0 , 1.5) . כאן 3a = 1.5 . נחשב צלעות:
OK = 1.5 , OL = 1.5📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
PK = √(2 − 1.5)2 + 22 = √4.25
PL = √22 + (2 − 1.5)2 = √4.25
יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: OK = OL וגם PK = PL . הזוגות שונים זה מזה, כי 1.5 ≠ √4.25 . לכן המרובע הוא דלתון.
✅ פתרון סופי: דלתון
סעיף ד (2) – שטח המרובע
האלכסון OP נמצא על הישר y = x , ושיפועו 1. האלכסון KL נמצא על הישר y = −x + 1.5 , ושיפועו −1 . מכפלת השיפועים −1 , ולכן האלכסונים מאונכים. אורכי האלכסונים:
OP = √22 + 22 = 2√2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
KL = √1.52 + 1.52 = 1.5√2
S = 2√2 · 1.5√22 = 62 = 3📐 שטח דלתוןS = d1 · d22 (מכפלת האלכסונים חלקי 2)
בסקיצה: y2 = 2x בכחול, x2 = 2y בסגול, הדלתון בירוק והאלכסונים באפור.
✅ פתרון סופי: S = 3
📌 סיכום
| סעיף א | y2 = 2x − 2a + 1 |
|---|---|
| סעיף ב | x2 = 2y − 2a + 1 |
| סעיף ג | a = 0.5 , (0 , 0) |
| סעיף ד | דלתון, S = 3 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il