הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 103 – בגרות 582 קיץ 2021 מועד ב׳ – פרבולה ומעגל
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · קיץ 2021 מועד ב׳ · שאלה 1
בגרות 582 קיץ 2021 מועד ב׳ – פרבולה ומעגל
📄 נוסח השאלה
לפניכם משוואת הפרבולה: y2 = 2ax ומשוואת המעגל: x2 + y2 − 2ax − 2x = 0 . a הוא פרמטר גדול מ־0.
א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של הפרבולה והמעגל. הביעו באמצעות a , אם יש צורך.
דרך שתיים מנקודות החיתוך של הפרבולה והמעגל עובר ישר ששיפועו חיובי.
ב. מצאו את משוואת הישר. הביעו באמצעות a , אם יש צורך.
ממרכז המעגל מעבירים אנך לישר. אורך האנך הוא 2√5 .
ג. (1) הביעו באמצעות a את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו. (2) מצאו את a .
מגדירים מעגל חדש שמרכזו זהה למרכז המעגל הנתון והרדיוס שלו קטן ב־2 מרדיוס המעגל הנתון.
ד. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות שאורך המשיק מהן למעגל החדש שווה למרחק שלהן מן הישר x = −4 .
✏️ פתרון
סעיף א – נקודות החיתוך
מהפרבולה y2 = 2ax . נכתוב את משוואת המעגל ונסמן את y2 :
x2 + y2 − 2ax − 2x = 0
נציב y2 = 2ax :
x2 + 2ax − 2ax − 2x = 0
x2 − 2x = 0
x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 , x = 2
נמצא את y מהפרבולה y2 = 2ax :
x = 0 : y2 = 0 ⇒ y = 0
x = 2 : y2 = 4a ⇒ y = ±2√a
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (2 , 2√a) , (2 , −2√a)
סעיף ב – הישר
בין הנקודות (2 , 2√a) ו־(2 , −2√a) עובר ישר אנכי (בלי שיפוע). הישר דרך (0 , 0) ו־(2 , −2√a) יורד – שיפועו שלילי. לכן הישר עובר דרך (0 , 0) ו־(2 , 2√a) :
m = 2√a − 02 − 0 = √a📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
הישר עובר בראשית:
y = √a x
✅ פתרון סופי: y = √a x
סעיף ג (1) – מרכז ורדיוס
נסדר את משוואת המעגל ונשלים לריבוע:
x2 − 2(a + 1)x + y2 = 0
(x − a − 1)2 − (a + 1)2 + y2 = 0📐 השלמה לריבועx2 − 2kx = (x − k)2 − k2
(x − a − 1)2 + y2 = (a + 1)2📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
✅ פתרון סופי: מרכז (a + 1 , 0) , רדיוס R = a + 1
סעיף ג (2) – הערך של a
הישר בצורה Ax + By + C = 0 : √ax − y = 0 . נכתוב את נוסחת המרחק ונסמן את מה שנציב:
d = |√a · x0 − y0|√(√a)2 + (−1)2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
נציב את המרכז (a + 1 , 0) :
d = √a(a + 1)√a + 1
אין צורך בערך מוחלט, כי a > 0 . מצמצמים:
a + 1√a + 1 = √a + 1
d = √a · √a + 1 = √a(a + 1)
אורך האנך נתון:
√a(a + 1) = 2√5
מעלים בריבוע:
a2 + a = 20
a2 + a − 20 = 0
(a + 5)(a − 4) = 0
a = 4 , a = −5
a = −5 נפסל, כי a > 0 .
בסקיצה (a = 4): הפרבולה y2 = 8x בכחול, המעגל בסגול, הישר y = 2x בירוק והאנך באפור.
✅ פתרון סופי: a = 4
סעיף ד – מקום גאומטרי
עם a = 4 : מרכז המעגל (5 , 0) והרדיוס 5. למעגל החדש אותו מרכז ורדיוס 5 − 2 = 3 :
(x − 5)2 + y2 = 9📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
נסמן נקודה P(x , y) מחוץ למעגל. המשיק מ־P מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן לפי פיתגורס (המרחק PM הוא היתר):
PM2 = R2 + t2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
t2 = (x − 5)2 + y2 − 9
המרחק של P מהישר x = −4 הוא |x + 4| . התנאי: t = |x + 4| . מעלים בריבוע:
(x − 5)2 + y2 − 9 = (x + 4)2
x2 − 10x + 25 + y2 − 9
= x2 + 8x + 16
y2 − 18x = 0
y2 = 18x
קיבלנו פרבולה. כל הנקודות שלה מחוץ למעגל החדש: על הפרבולה x ≥ 0 , ולכן:
(x − 5)2 + 18x = x2 + 8x + 25 > 9
בסקיצה: המעגל החדש בסגול, הישר x = −4 באפור והמקום הגאומטרי בירוק.
✅ פתרון סופי: y2 = 18x
📌 סיכום
| סעיף א | (0 , 0) , (2 , ±2√a) |
|---|---|
| סעיף ב | y = √a x |
| סעיף ג (1) | (a + 1 , 0) , R = a + 1 |
| סעיף ג (2) | a = 4 |
| סעיף ד | y2 = 18x |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il