הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 101 – בגרות 582 קיץ 2022 מועד א׳ – מעגל: מעגלים משיקים ומשיקים משותפים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · קיץ 2022 מועד א׳ · שאלה 1
בגרות 582 קיץ 2022 מועד א׳ – מעגל: מעגלים משיקים ומשיקים משותפים
📄 נוסח השאלה
נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ.
מרכזו של המעגל האחד הוא בנקודה M ומשוואתו היא (x − a)2 + y2 = r2 , a הוא פרמטר חיובי.
מרכזו של המעגל האחר הוא בנקודה N ומשוואתו היא (x − 13)2 + y2 = R2 .
אורכו של הקטע המחבר את מרכזי המעגלים הוא 9, והיחס בין אורכי הרדיוסים של המעגלים הוא 1 : 2 , r < R .
א. מצאו את משוואת המעגל שמרכזו N ואת שתי האפשרויות למשוואת המעגל שמרכזו M .
נתון כי a < 13 .
ב. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של שני המעגלים ושל כל המשיקים המשותפים לשני המעגלים.
ג. מצאו את משוואת המשיק העובר בנקודה המשותפת לשני המעגלים.
ד. הישר mx − y + n = 0 הוא משיק משותף לשני המעגלים. מצאו את m ואת n (שתי אפשרויות).
נתונים שני מעגלים אחרים המשיקים זה לזה מבחוץ. משוואות המעגלים הן: (x − k)2 + y2 = R2 ; (x − t)2 + y2 = r2 , t ו־k הם פרמטרים. ערכי הרדיוסים r ו־R זהים לאלה שמצאתם בסעיף א.
ה. האם ייתכן כי שני הישרים שאת משוואותיהם מצאתם בסעיף ד משיקים גם למעגלים האלה? אם כן – מצאו את t ואת k . אם לא – נמקו.
✏️ פתרון
סעיף א – משוואות המעגלים
המעגלים משיקים מבחוץ, ולכן המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:
R + r = 9📐 מעגלים המשיקים מבחוץהמרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסיםd = R + r
היחס בין הרדיוסים הוא 1 : 2 ו־r < R , ולכן הרדיוס הגדול כפול מהקטן:
R = 2r
R + r = 9
נציב R = 2r :
2r + r = 9
3r = 9
r = 3
R = 2 · 3 = 6
המעגל שמרכזו N – מהמשוואה הנתונה המרכז הוא N(13 , 0) והרדיוס R = 6 :
(x − 13)2 + y2 = 36📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
המעגל שמרכזו M – המרכז הוא M(a , 0) , על ציר ה־x כמו N . המרחק בין המרכזים הוא 9:
MN = √(a − 13)2 + (0 − 0)2 = 9📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
|a − 13| = 9
a − 13 = 9 או a − 13 = −9
a = 22 או a = 4
שני הערכים חיוביים, ולכן שתי האפשרויות מתאימות. הרדיוס הוא r = 3 :
(x − 22)2 + y2 = 9📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
(x − 4)2 + y2 = 9
✅ פתרון סופי: (x − 13)2 + y2 = 36
(x − 4)2 + y2 = 9 או (x − 22)2 + y2 = 9
(x − 4)2 + y2 = 9 או (x − 22)2 + y2 = 9
סעיף ב – סקיצה ומשיקים משותפים
מעכשיו a < 13 , ולכן a = 4 : המעגל M הוא (x − 4)2 + y2 = 9 .
לשני מעגלים המשיקים מבחוץ יש שלושה משיקים משותפים: משיק אחד בנקודת ההשקה, ועוד שני משיקים "חיצוניים" שנפגשים על ציר ה־x משמאל למעגלים.
בסקיצה: המעגל M בכחול, המעגל N בסגול, המשיק בנקודת ההשקה בתכלת, ושני המשיקים האחרים בירוק.
✅ פתרון סופי: שני המעגלים ושלושה משיקים משותפים (בסקיצה)
סעיף ג – המשיק בנקודה המשותפת
נקודת ההשקה T נמצאת על הקטע MN , במרחק r = 3 מ־M(4 , 0) :
xT = 4 + 3 = 7
T(7 , 0)
המשיק מאונך לרדיוס MT . הרדיוס מונח על ציר ה־x , ולכן המשיק מאונך לציר ה־x – ישר אנכי דרך T :
x = 7📐 משיק למעגלהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
✅ פתרון סופי: x = 7
סעיף ד – המשיקים המשותפים האחרים
נכתוב את הישר בצורה Ax + By + C = 0 : A = m , B = −1 , C = n .
הישר משיק לשני המעגלים, ולכן המרחק שלו מכל מרכז שווה לרדיוס של אותו מעגל.
משיק ⇐ המרחק מהמרכז = רדיוס
📐 מעגל משיק לישרהמרחק ממרכז המעגל לישר שווה לרדיוסממרכז M(4 , 0) – נכתוב את נוסחת המרחק ונסמן את מה שנציב:
|m · x0 − y0 + n|√m2 + 1 = 3📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
נציב x0 = 4 , y0 = 0 :
|m · 4 − 0 + n|√m2 + 1 = 3
|4m + n|√m2 + 1 = 3
ממרכז N(13 , 0) – באותה דרך:
|13m + n|√m2 + 1 = 6
המכנים שווים, ולכן נחלק את המשוואה השנייה בראשונה:
|13m + n||4m + n| = 2
|13m + n| = 2|4m + n|
אפשרות 1 – הביטויים באותו סימן:
13m + n = 2(4m + n)
13m + n = 8m + 2n
n = 5m
אפשרות 2 – הביטויים בסימנים הפוכים:
13m + n = −2(4m + n)
13m + n = −8m − 2n
3n = −21m
n = −7m
נבדוק את אפשרות 2 במשוואה הראשונה. נכתוב אותה בלי שבר:
|4m + n| = 3√m2 + 1
נציב n = −7m :
|4m − 7m| = 3√m2 + 1
|−3m| = 3√m2 + 1
מעלים בריבוע:
9m2 = 9m2 + 9
0 = 9
אין פתרון. זה הגיוני: במקרה הזה המשיק הוא x = 7 מסעיף ג, ואי אפשר לכתוב אותו בצורה mx − y + n = 0 .
לכן n = 5m . נציב במשוואה הראשונה:
|4m + 5m| = 3√m2 + 1
|9m| = 3√m2 + 1
מעלים בריבוע:
81m2 = 9(m2 + 1)
81m2 = 9m2 + 9
72m2 = 9
m2 = 972 = 18
m = ±1√8 = ±√24 ≈ ±0.35
ולכן n = 5m :
n = ±5√24 ≈ ±1.77
✅ פתרון סופי: m = √24 , n = 5√24
או m = −√24 , n = −5√24
או m = −√24 , n = −5√24
סעיף ה – מעגלים אחרים
הישר הראשון: m = √24 , n = 5√24 . נכפיל את משוואת הישר ב־4, כדי להיפטר מהמכנים:
√24x − y + 5√24 = 0
√2x − 4y + 5√2 = 0
הרדיוסים לא השתנו: R = 6 , r = 3 . המרכזים (k , 0) ו־(t , 0) על ציר ה־x .
המעגל שמרכזו (k , 0) ורדיוסו 6 – המרחק מהמרכז לישר שווה ל־6:
|√2 · k − 4 · 0 + 5√2|√(√2)2 + (−4)2 = 6📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
|√2k + 5√2|√2 + 16 = 6
מוציאים √2 כגורם משותף במונה, ו־√18 = 3√2 :
√2 · |k + 5|3√2 = 6
|k + 5|3 = 6
|k + 5| = 18
k = 13 או k = −23
המעגל שמרכזו (t , 0) ורדיוסו 3 – באותה דרך:
|t + 5|3 = 3
|t + 5| = 9
t = 4 או t = −14
הישר השני (m = −√24 , n = −5√24) הוא √2x + 4y + 5√2 = 0 . ההבדל הוא רק בסימן של y , והמרכזים על ציר ה־x (y = 0), ולכן מתקבלות בדיוק אותן משוואות ואותם ערכים.
התנאי שהמעגלים משיקים מבחוץ – המרחק בין המרכזים הוא R + r = 9 :
|k − t| = 9📐 מעגלים המשיקים מבחוץהמרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסיםd = R + r
נבדוק את כל הזוגות:
k = 13 , t = 4 : |13 − 4| = 9
זה הזוג מסעיף א (המעגלים N ו־M), אבל השאלה מבקשת מעגלים אחרים.
k = 13 , t = −14 : |13 + 14| = 27 ≠ 9
k = −23 , t = 4 : |−23 − 4| = 27 ≠ 9
k = −23 , t = −14 : |−23 + 14| = 9
הזוג האחרון מתאים. כן, ייתכן. בסקיצה: המעגלים ברדיוס 3 בכחול, המעגלים ברדיוס 6 בסגול, ושני המשיקים מסעיף ד בירוק:
✅ פתרון סופי: כן, ייתכן: k = −23 , t = −14
📌 סיכום
| סעיף א | (x − 13)2 + y2 = 36 (x − 4)2 + y2 = 9 (x − 22)2 + y2 = 9 |
|---|---|
| סעיף ב | סקיצה – שלושה משיקים משותפים |
| סעיף ג | x = 7 |
| סעיף ד | m = ±√24 , n = ±5√24 |
| סעיף ה | k = −23 , t = −14 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il