הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 100 – בגרות 582 קיץ 2022 מועד ב׳ – שילוב: מקום גאומטרי, מעגל ואליפסה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · קיץ 2022 מועד ב׳ · שאלה 1
בגרות 582 קיץ 2022 מועד ב׳ – שילוב: מקום גאומטרי, מעגל ואליפסה
📄 נוסח השאלה
נתונות הנקודות A(−5 , 3) ו־B(0 , −2) .
א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם.
מעגל M הוא אחד מן המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם. נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה־x הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית.
ב. מצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.
נתון כי אורך הציר הראשי של האליפסה שווה לאורך קוטר המעגל M .
ג. מהי משוואת האליפסה?
נסמן ב־F את המוקד הימני של האליפסה. ישר המאונך לציר ה־x עובר במוקד השמאלי של האליפסה. הישר חותך את האליפסה בנקודות Q ו־T , ואת המעגל M בנקודות K ו־L .
ד. מצאו את היחס בין שטח המשולש KLF לבין שטח המשולש TQF .
✏️ פתרון
סעיף א – המקום הגאומטרי
מרכז של מעגל נמצא במרחק שווה מכל נקודה על המעגל, ובפרט מ־A ומ־B . לכן המקום הגאומטרי הוא האנך האמצעי של AB .
אמצע הקטע AB :
x = −5 + 02 = −2.5 , y = 3 + (−2)2 = 0.5📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
השיפוע של AB :
mAB = −2 − 30 − (−5) = −55 = −1📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
האנך האמצעי מאונך ל־AB :
−1 · m = −1 ⇒ m = 1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
משוואת הישר דרך (−2.5 , 0.5) עם שיפוע 1:
y − 0.5 = 1 · (x + 2.5)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = x + 3
✅ פתרון סופי: y = x + 3
סעיף ב – מרכז המעגל והרדיוס
נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה־x הן מוקדי אליפסה קנונית, ולכן הן (c , 0) ו־(−c , 0) – סימטריות ביחס לציר ה־y .
מרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של כל מיתר, ובפרט של המיתר שבין שתי הנקודות האלה – זה ציר ה־y . לכן xM = 0 .
המרכז נמצא גם על האנך האמצעי y = x + 3 מסעיף א. נציב x = 0 :
y = 0 + 3 = 3 ⇒ M(0 , 3)
הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה B(0 , −2) (יש להן אותו x):
R = MB = √(0 − 0)2 + (3 − (−2))2 = 5📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
✅ פתרון סופי: M(0 , 3) , R = 5
סעיף ג – משוואת האליפסה
x2 + (y − 3)2 = 25📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
חיתוך עם ציר ה־x – נציב y = 0 :
x2 + (0 − 3)2 = 25
x2 + 9 = 25 ⇒ x = ±4
המוקדים הם (±4 , 0) , ולכן c = 4 . הציר הראשי שווה לקוטר:
2a = 2 · 5 = 10 ⇒ a = 5
נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:
b2 = a2 − c2📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2מוקדים (±c , 0)
נציב a = 5 , c = 4 :
b2 = 52 − 42 = 9
x225 + y29 = 1📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2מוקדים (±c , 0)
✅ פתרון סופי: x225 + y29 = 1
סעיף ד – יחס השטחים
המוקד השמאלי (−4 , 0) , ולכן הישר הוא x = −4 . המוקד הימני F(4 , 0) .
חיתוך עם המעגל – נכתוב את משוואת המעגל ונסמן את x :
x2 + (y − 3)2 = 25
נציב x = −4 :
(−4)2 + (y − 3)2 = 25
(y − 3)2 = 9 ⇒ y − 3 = ±3
y = 6 , y = 0
K(−4 , 6) , L(−4 , 0) ⇒ KL = 6
חיתוך עם האליפסה – נציב x = −4 :
(−4)225 + y29 = 1
y29 = 1 − 1625 = 925
y2 = 8125 ⇒ y = ±1.8
TQ = 1.8 − (−1.8) = 3.6
לשני המשולשים הבסיס מונח על הישר x = −4 , והגובה לבסיס הוא המרחק של F(4 , 0) מהישר: 4 − (−4) = 8 .
SKLF = 6 · 82 = 24📐 שטח משולשS = a · h2 (צלע כפול הגובה אליה)
STQF = 3.6 · 82 = 14.4
SKLFSTQF = 2414.4 = 53
בסקיצה: המעגל בסגול, האליפסה בכחול, המשולש KLF באדום והמשולש TQF בירוק.
✅ פתרון סופי: 53
📌 סיכום
| סעיף א | y = x + 3 |
|---|---|
| סעיף ב | M(0 , 3) , R = 5 |
| סעיף ג | x225 + y29 = 1 |
| סעיף ד | 53 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il