שיעור 24-ברנולי

הסתברות · 5 יחידות · שאלון 571

📄 דף הסבר: נוסחת ברנולי (הנוסחה הבינומית)

כשאותו ניסוי חוזר כמה פעמים, ובכל פעם הסיכוי להצליח זהה, נוסחת ברנולי נותנת את ההסתברות לבדיוק k הצלחות – בלי לרשום את כל האפשרויות לסדר אותן.

הנוסחה

P_n(k) = (nk)p^k·(1−p)^n−k

n – סה"כ הניסיונות (למשל סה"כ המבחנים)
k – מספר ההצלחות
p – הסיכוי להצלחה · 1−p – הסיכוי לכישלון
n−k – מספר הכישלונות

מה זה (nk)?

(32) = 3

מספר האפשרויות לסדר k הצלחות מתוך n ניסיונות. במחשבון מקישים: 3 nCr 2

שלביםפתרון שאלה בנוסחת ברנולי

1מזהים הצלחה וכישלון

מהי "הצלחה" בשאלה, מה הסיכוי לה (p) ומה הסיכוי המשלים לכישלון (1−p).

2מוצאים n ו-k

n = כמה ניסיונות יש בסך הכול, k = כמה הצלחות רוצים; הכישלונות: n−k.

3מציבים בנוסחה

(nk) · הצלחה בחזקת מספר ההצלחות · כישלון בחזקת מספר הכישלונות.

4מחשבים במחשבון

את (nk) עם nCr, ואחר כך את כל המכפלה.

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

אותה שאלה פעמיים: קודם בלי הנוסחה – רושמים את כל האפשרויות – ואחר כך עם נוסחת ברנולי. ואז משנים ל-4 מבחנים ורואים כמה הנוסחה חוסכת.

🔵 תרגיל 1: הסתברות לעבור בדיוק 2 מבחנים מתוך 3 – בלי הנוסחה, לפי כל האפשרויות

הסיכוי של אורי לעבור מבחן במתמטיקה הוא 0.6. אורי ניגש ל-3 מבחנים. מה הסיכוי שיעבור 2 מהם?

לעבור: 0.6 · להיכשל: 1 − 0.6 = 0.4

כל האפשרויות לעבור 2 מתוך 3 (✓ עובר, ✗ נכשל):

I	II	III	הסתברות
✓	✓	✗	0.6²·0.4
✗	✓	✓	0.4·0.6²
✓	✗	✓	0.6·0.4·0.6

בכל אפשרות "וגם" ← כפל, ובכל אחת יוצא אותו דבר: 0.6²·0.4

בין האפשרויות "או" ← חיבור:

0.6²·0.4 + 0.6²·0.4

+ 0.6²·0.4

= 3·0.6²·0.4

תשובה: 0.432

🟣 תרגיל 1 שוב: אותה שאלה בנוסחת ברנולי – n = 3, k = 2

אותה שאלה, הפעם עם הנוסחה P_n(k) = (nk)p^k·(1−p)^n−k.

n = 3 (סה"כ המבחנים) · k = 2 (מספר ההצלחות)

p = 0.6 (הצלחה) · 1 − p = 0.4 (כישלון)

n − k = 3 − 2 = 1 (נכשל במבחן אחד)

P₃(2) = (32)·0.6²·0.4¹

במחשבון: 3 nCr 2 = 3 – בדיוק 3 האפשרויות שרשמנו בטבלה.

= 3·0.6²·0.4

תשובה: P₃(2) = 0.432

🟢 תרגיל 2: ברנולי – הסתברות לעבור בדיוק 2 מבחנים מתוך 4

אורי ניגש ל-4 מבחנים (הסיכוי לעבור כל מבחן 0.6). מה הסיכוי שיעבור 2 מהם?

לרשום את כל האפשרויות כבר ייקח הרבה זמן ← נוסחת ברנולי.

n = 4 · k = 2

n − k = 4 − 2 = 2 (נכשל בשניים)

P₄(2) = (42)·0.6²·0.4²

במחשבון: 4 nCr 2 = 6 (קודם 4 ואחר כך 2; הפוך – שגיאה)

= 6·0.6²·0.4²

= 6·0.36·0.16

תשובה: P₄(2) = 0.3456

💡 לזכור

(nk) = מספר הסדרים · p^k = ההצלחות · (1−p)^n−k = הכישלונות. במחשבון מקישים: n nCr k (למשל 3 nCr 2).

הסתברות 5 יחידות שאלון 571. 7 פרקים48 שיעוריםללא הגבלת זמן

כניסה לשיעורים