הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 96 – שאלת סיכום 1 – היפרבולה, משיק ואסימפטוטות
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📝 שאלה ברמת בגרות 5 יחידות
שאלת סיכום 1 – היפרבולה, משיק ואסימפטוטות
📄 נוסח השאלה
אחת האסימפטוטות של היפרבולה קנונית היא y = 34x , ואחד מקודקודי ההיפרבולה הוא (4 , 0) .
א. מצאו את משוואת ההיפרבולה.
ב. ישר ששיפועו 54 משיק להיפרבולה ברביע הראשון. מצאו את משוואת המשיק ואת נקודת ההשקה P .
ג. המשיק חותך את האסימפטוטה y = 34x בנקודה D ואת האסימפטוטה השנייה בנקודה E . הראו ש־P היא אמצע הקטע DE .
ד. חשבו את שטח המשולש ODE (O – ראשית הצירים).
ה. F1 ו־F2 הם מוקדי ההיפרבולה. חשבו את PF2 ואת PF1 .
✏️ פתרון
סעיף א – משוואת ההיפרבולה
הקודקוד (4 , 0) נותן a = 4 . מהאסימפטוטה:
ba = 34📐 אסימפטוטות של היפרבולהy = ± ba x
נציב a = 4 :
b4 = 34 ⇒ b = 3
x216 − y29 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
✅ פתרון סופי: x216 − y29 = 1
סעיף ב – המשיק ונקודת ההשקה
המשיק: y = 54x + n . כופלים את משוואת ההיפרבולה ב־144:
9x2 − 16y2 = 144
נוח לכתוב 16y2 = (4y)2 . מהישר: 4y = 5x + 4n . נציב:
9x2 − (5x + 4n)2 = 144
9x2 − (25x2 + 40nx + 16n2) = 144
−16x2 − 40nx − 16n2 − 144 = 0
מחלקים ב־(−8) :
2x2 + 5nx + 2n2 + 18 = 0
משיק – נקודה משותפת אחת:
(5n)2 − 4 · 2 · (2n2 + 18) = 0📐 ישר משיק לעקומהמציבים את הישר במשוואת העקומה; משיק = נקודה משותפת אחתb2 − 4ac = 0
25n2 − 16n2 − 144 = 0
9n2 = 144 ⇒ n2 = 16 ⇒ n = ±4
נמצא את נקודת ההשקה עבור כל ערך. נכתוב את המשוואה הריבועית ונסמן את n :
2x2 + 5nx + 2n2 + 18 = 0
נציב n = −4 :
2x2 − 20x + 50 = 0
x2 − 10x + 25 = 0
(x − 5)2 = 0 ⇒ x = 5
y = 54 · 5 − 4 = 94
הנקודה (5 , 94) ברביע הראשון – זה המשיק המבוקש. (עבור n = 4 מקבלים x = −5 , y = −94 – ברביע השלישי.)
✅ פתרון סופי: y = 54x − 4 , P(5 , 94)
סעיף ג – P אמצע הקטע DE
הנקודה D – חיתוך המשיק עם y = 34x . משווים:
54x − 4 = 34x📐 מצב הדדי בין ישר לעקומהבמשוואה הריבועית שמתקבלת:b2 − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוךb2 − 4ac = 0 – משיקb2 − 4ac < 0 – אין נקודות משותפות
24x = 4 ⇒ x = 8
y = 34 · 8 = 6 ⇒ D(8 , 6)
הנקודה E – חיתוך המשיק עם y = −34x :
54x − 4 = −34x
2x = 4 ⇒ x = 2
y = −34 · 2 = −32 ⇒ E(2 , −32)
נכתוב את נוסחת אמצע קטע ונסמן את מה שנציב:
xM = x1 + x22 , yM = y1 + y22📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
נציב D(8 , 6) ו־E(2 , −32) :
xM = 8 + 22 = 5
yM = 6 + (−32)2 = 922 = 94
אמצע הקטע DE הוא (5 , 94) – בדיוק הנקודה P . (זו תכונה של כל היפרבולה: נקודת ההשקה היא אמצע הקטע שהאסימפטוטות חותכות מהמשיק.)
בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, האסימפטוטות בסגול מקווקו, המשיק בירוק והמשולש ODE באפור.
✅ פתרון סופי: D(8 , 6) , E(2 , −32) , האמצע (5 , 94) = P
סעיף ד – שטח המשולש ODE
ניקח את DE כבסיס ואת המרחק של O מהמשיק כגובה. אורך הבסיס:
DE = √(8 − 2)2 + (6 + 32)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
DE = √36 + 2254 = √3694 = 3√412
הגובה: המשיק בצורה כללית (כופלים ב־4): 5x − 4y − 16 = 0 . נכתוב את נוסחת המרחק ונסמן את מה שנציב:
d = |5x0 − 4y0 − 16|√52 + (−4)2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
נציב את O(0 , 0) :
d = |5 · 0 − 4 · 0 − 16|√41 = 16√41
S = DE · d2📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
S = 12 · 3√412 · 16√41
S = 3 · 164 = 12
שימו לב: 12 = a · b = 4 · 3 – גם זו תכונה כללית של היפרבולה.
✅ פתרון סופי: S = 12
סעיף ה – המרחקים מהמוקדים
מתוך המשוואה: c2 = 16 + 9 = 25 , ולכן F1(−5 , 0) , F2(5 , 0) .
ל־P(5 , 94) ול־F2(5 , 0) אותו שיעור x , ולכן המרחק הוא ההפרש בשיעורי ה־y :
PF2 = 94
הנקודה על הענף הימני, ולכן:
PF1 − PF2 = 2a = 8📐 הגדרת ההיפרבולה|PF1 − PF2| = 2a
נציב PF2 = 94 :
PF1 − 94 = 8
PF1 = 8 + 94 = 414
בדיקה בנוסחת המרחק: √102 + (94)2 = √168116 = 414 ✓
✅ פתרון סופי: PF2 = 94 , PF1 = 414
📌 סיכום
| סעיף א | x216 − y29 = 1 |
|---|---|
| סעיף ב | y = 54x − 4 , P(5 , 94) |
| סעיף ג | האמצע של DE הוא P |
| סעיף ד | S = 12 |
| סעיף ה | 94 , 414 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il