הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 90 – היפרבולה – מוקדים, קודקודים וצירים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
היפרבולה – מוקדים, קודקודים וצירים
📄 נוסח השאלה
א. נתונה ההיפרבולה 9x2 − 16y2 = 144 . מצאו את a , b , c , את הקודקודים, את המוקדים ואת אורכי הצירים, וסרטטו סקיצה.
ב. מצאו את משוואת ההיפרבולה הקנונית שאחד ממוקדיה הוא (10 , 0) ואחד מקודקודיה הוא (6 , 0) .
ג. אורך הציר המדומה של היפרבולה קנונית הוא 4, וההיפרבולה עוברת דרך הנקודה (6 , 2√2) . מצאו את משוואת ההיפרבולה.
ד. מצאו את משוואת ההיפרבולה שוות השוקיים שמוקדיה הם (−6 , 0) ו־(6 , 0) .
ה. המרחק בין המוקדים של היפרבולה קנונית הוא 26, והמרחק בין המוקד הימני לקודקוד הימני הוא 1. מצאו את משוואת ההיפרבולה.
✏️ פתרון
הסבר – החלקים של ההיפרבולה
מתחילים תמיד מהמשוואה הקנונית. מתוך המכנים קוראים את a ואת b :
x2a2 − y2b2 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
קודקודים – הנקודות שבהן ההיפרבולה חותכת את ציר ה־x . מציבים y = 0 ומקבלים x = ±a :
(−a , 0) , (a , 0)📐 קודקודי ההיפרבולהקודקודים (−a , 0) , (a , 0)ציר ממשי 2a , ציר מדומה 2b
הציר הממשי – הקטע בין שני הקודקודים, אורכו 2a . הציר המדומה – הקטע בין (0 , −b) ל־(0 , b) , אורכו 2b (ההיפרבולה לא חותכת את ציר ה־y , ולכן הוא "מדומה").
מוקדים – על ציר ה־x , רחוקים יותר מהקודקודים:
c2 = a2 + b2📐 מוקדי ההיפרבולהc2 = a2 + b2מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
היפרבולה שוות שוקיים – כאשר a = b , ואז המשוואה היא x2 − y2 = a2 .
אם המשוואה לא כתובה בצורה הקנונית (למשל 9x2 − 16y2 = 144), מחלקים את שני הצדדים במספר שבצד ימין, כדי לקבל 1.
סעיף א – מהמשוואה לחלקים
מחלקים את שני הצדדים ב־144:
9x2144 − 16y2144 = 144144
x216 − y29 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
a2 = 16 ⇒ a = 4
b2 = 9 ⇒ b = 3
c2 = 16 + 9 = 25📐 מוקדי ההיפרבולהc2 = a2 + b2מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
c = 5
(−4 , 0) , (4 , 0)📐 קודקודי ההיפרבולהקודקודים (−a , 0) , (a , 0)ציר ממשי 2a , ציר מדומה 2b
מוקדים: F1(−5 , 0) , F2(5 , 0) .
2a = 2 · 4 = 8
2b = 2 · 3 = 6
בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, הציר הממשי בסגול והציר המדומה בירוק.
✅ פתרון סופי: a = 4 , b = 3 , c = 5
קודקודים (±4 , 0) , מוקדים (±5 , 0)
ציר ממשי 8 , ציר מדומה 6
קודקודים (±4 , 0) , מוקדים (±5 , 0)
ציר ממשי 8 , ציר מדומה 6
סעיף ב – משוואה ממוקד וקודקוד
המוקד (10 , 0) נותן c = 10 , והקודקוד (6 , 0) נותן a = 6 . נכתוב את הקשר בין המספרים ונסמן את מה שנציב:
c2 = a2 + b2📐 מוקדי ההיפרבולהc2 = a2 + b2מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
נציב c = 10 , a = 6 :
102 = 62 + b2
100 = 36 + b2
b2 = 64
x236 − y264 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
✅ פתרון סופי: x236 − y264 = 1
סעיף ג – משוואה מציר מדומה ונקודה
אורך הציר המדומה הוא 2b :
2b = 4 ⇒ b = 2 ⇒ b2 = 4
נכתוב את המשוואה עם b2 = 4 , ונסמן את המקומות של x ושל y :
x2a2 − y24 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
הנקודה על ההיפרבולה, ולכן מקיימת את המשוואה. נציב x = 6 , y = 2√2 :
62a2 − (2√2)24 = 1
(2√2)2 = 4 · 2 = 8📐 ריבוע של מכפלה(k√m)2 = k2 · m
36a2 − 84 = 1
36a2 − 2 = 1
36a2 = 3
a2 = 12
x212 − y24 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
✅ פתרון סופי: x212 − y24 = 1
סעיף ד – היפרבולה שוות שוקיים
בהיפרבולה שוות שוקיים a = b , ולכן a2 = b2 . המוקדים נותנים c = 6 :
c2 = a2 + b2📐 מוקדי ההיפרבולהc2 = a2 + b2מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
נציב c = 6 ו־b2 = a2 :
62 = a2 + a2
36 = 2a2
a2 = 18 = b2
x218 − y218 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
אפשר גם לכתוב (כופלים ב־18): x2 − y2 = 18 .
✅ פתרון סופי: x2 − y2 = 18
סעיף ה – משוואה ממרחקים
המרחק בין המוקדים (−c , 0) ו־(c , 0) הוא 2c :
2c = 26 ⇒ c = 13
המוקד הימני (13 , 0) והקודקוד הימני (a , 0) נמצאים על ציר ה־x , והמוקד רחוק יותר מהראשית:
c − a = 1
13 − a = 1 ⇒ a = 12
c2 = a2 + b2📐 מוקדי ההיפרבולהc2 = a2 + b2מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
נציב c = 13 , a = 12 :
132 = 122 + b2
169 = 144 + b2
b2 = 25
x2144 − y225 = 1📐 היפרבולה קנוניתx2a2 − y2b2 = 1c2 = a2 + b2מוקדים (±c , 0)
✅ פתרון סופי: x2144 − y225 = 1
📌 סיכום
| סעיף א | a = 4 , b = 3 , c = 5 |
|---|---|
| סעיף ב | x236 − y264 = 1 |
| סעיף ג | x212 − y24 = 1 |
| סעיף ד | x2 − y2 = 18 |
| סעיף ה | x2144 − y225 = 1 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il