הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 108 – בגרות 582 קיץ 2020 מועד א׳ – שילוב: מקום גאומטרי, מעגל ומרובע בר חסימה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · קיץ 2020 מועד א׳ · שאלה 1
בגרות 582 קיץ 2020 מועד א׳ – שילוב: מקום גאומטרי, מעגל ומרובע בר חסימה
📄 נוסח השאלה
OMG הוא משולש. הנקודה O היא ראשית הצירים. מן הנקודה M(2 , 6) הורידו גובה לצלע OG . נתון כי אורך הגובה שהורידו הוא 6.
א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות G המתקבלות באופן הזה נמצא על שני ישרים, ומצאו את משוואותיהם של הישרים.
מעגל שמרכזו בנקודה M משיק לשני הישרים שמצאתם בסעיף א בנקודות P ו־Q .
ב. (1) רשמו את משוואת המעגל. (2) מצאו את שיעורי הנקודות P ו־Q .
ג. האם המרובע OPMQ הוא בר חסימה במעגל? נמקו. אם כן, מצאו את משוואת המעגל החוסם אותו.
✏️ פתרון
סעיף א – המקום הגאומטרי
הגובה מ־M לצלע OG הוא המרחק של M מהישר OG . הישר OG עובר בראשית, ולכן כל נקודה G נמצאת על ישר דרך O שמרחקו מ־M הוא 6.
ישר אנכי דרך O – x = 0 . המרחק של M(2 , 6) ממנו הוא 2, לא 6. לכן הוא לא מתאים.
ישר y = mx – בצורה כללית mx − y = 0 . נכתוב את נוסחת המרחק ונסמן את מה שנציב:
d = |mx0 − y0|√m2 + 1📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
נציב M(2 , 6) ו־d = 6 :
|2m − 6|√m2 + 1 = 6
מעלים בריבוע:
(2m − 6)2 = 36(m2 + 1)
4m2 − 24m + 36 = 36m2 + 36
32m2 + 24m = 0
8m(4m + 3) = 0
m = 0 , m = −34
לכן הנקודה G נמצאת על אחד משני הישרים (בלי הראשית עצמה, כי G ≠ O):
✅ פתרון סופי: y = 0 , y = −34x
סעיף ב (1) – משוואת המעגל
המעגל משיק לישרים, ולכן הרדיוס שווה למרחק של M מהם – וזה בדיוק 6:
(x − 2)2 + (y − 6)2 = 36📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
✅ פתרון סופי: (x − 2)2 + (y − 6)2 = 36
סעיף ב (2) – נקודות ההשקה
נקודת ההשקה היא עקב האנך מהמרכז לישר. הישר y = 0 – האנך מ־M(2 , 6) לציר ה־x יורד ישר למטה:
Q(2 , 0)
הישר y = −34x – האנך מ־M מאונך לו, ולכן שיפועו 43 :
43 · (−34) = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 6 = 43(x − 2)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = 43x + 103
נקודת החיתוך עם y = −34x – משווים:
−34x = 43x + 103📐 מצב הדדי בין ישר לעקומהבמשוואה הריבועית שמתקבלת:b2 − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוךb2 − 4ac = 0 – משיקb2 − 4ac < 0 – אין נקודות משותפות
כופלים ב־12:
−9x = 16x + 40
−25x = 40 ⇒ x = −1.6
y = −34 · (−1.6) = 1.2
P(−1.6 , 1.2)
✅ פתרון סופי: P(−1.6 , 1.2) , Q(2 , 0)
סעיף ג – מרובע בר חסימה
הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה, ולכן:
∢OPM = 90 , ∢OQM = 90
אלה זוויות נגדיות במרובע OPMQ , וסכומן 180 מעלות. מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות הוא בר חסימה.
הזוויות ב־P וב־Q ישרות ונשענות על OM , ולכן OM הוא קוטר של המעגל החוסם. המרכז – אמצע OM :
(0 + 22 , 0 + 62) = (1 , 3)📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
הרדיוס – המרחק מהמרכז לראשית:
R2 = 12 + 32 = 10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
(x − 1)2 + (y − 3)2 = 10📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
בסקיצה: שני הישרים בכחול, המעגל שמרכזו M בסגול, המרובע OPMQ באפור והמעגל החוסם בירוק.
✅ פתרון סופי: כן , (x − 1)2 + (y − 3)2 = 10
📌 סיכום
| סעיף א | y = 0 , y = −34x |
|---|---|
| סעיף ב (1) | (x − 2)2 + (y − 6)2 = 36 |
| סעיף ב (2) | P(−1.6 , 1.2) , Q(2 , 0) |
| סעיף ג | כן, (x − 1)2 + (y − 3)2 = 10 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il