הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 107 – בגרות 582 קיץ 2020 מועד ב׳ – מעגל: משיק ומקום גאומטרי
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · קיץ 2020 מועד ב׳ · שאלה 1
בגרות 582 קיץ 2020 מועד ב׳ – מעגל: משיק ומקום גאומטרי
📄 נוסח השאלה
הישר 4x − 3y = 0 משיק למעגל שמרכזו (5a , 0) . a הוא פרמטר חיובי.
א. הביעו את משוואת המעגל באמצעות a .
מנקודה G , הנמצאת מחוץ למעגל, העבירו ישר, המשיק למעגל בנקודה K .
ב. הביעו באמצעות a את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות G שבעבורן המרחק GK שווה למרחק שלהן מן הישר x = −3a , וסרטטו סקיצה שלו.
נתון: אורך הקטע GK הקצר ביותר האפשרי הוא 7.5 .
ג. (1) מהם שיעורי הנקודה G שבעבורה אורך הקטע GK הוא 7.5 ? נמקו. (2) מצאו את ערכו של הפרמטר a . נמקו.
✏️ פתרון
סעיף א – משוואת המעגל
הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לישר המשיק. נכתוב את נוסחת המרחק ונסמן את מה שנציב:
R = |4x0 − 3y0|√42 + (−3)2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
נציב את המרכז (5a , 0) :
R = |4 · 5a − 3 · 0|5 = 20a5 = 4a
הפרמטר חיובי, ולכן |20a| = 20a .
(x − 5a)2 + y2 = 16a2📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
✅ פתרון סופי: (x − 5a)2 + y2 = 16a2
סעיף ב – המקום הגאומטרי
נסמן G(x , y) ואת המרכז M(5a , 0) . הרדיוס MK מאונך למשיק GK , ולכן במשולש GKM הזווית ב־K ישרה:
GK2 = GM2 − MK2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
GK2 = (x − 5a)2 + y2 − 16a2
המרחק של G מהישר האנכי x = −3a הוא |x + 3a| . התנאי, אחרי העלאה בריבוע:
(x − 5a)2 + y2 − 16a2 = (x + 3a)2
x2 − 10ax + 25a2 + y2 − 16a2
= x2 + 6ax + 9a2
−10ax + y2 = 6ax
y2 = 16ax
זו פרבולה שקודקודה בראשית ופתוחה ימינה. כל הנקודות שלה מחוץ למעגל: על הפרבולה x ≥ 0 , ולכן:
(x − 5a)2 + 16ax
= x2 + 6ax + 25a2 > 16a2
בסקיצה, עבור a = 2.5 מסעיף ג: המעגל בסגול, המשיק הנתון באפור, הישר x = −3a בכחול מקווקו והמקום הגאומטרי בירוק.
✅ פתרון סופי: y2 = 16ax
סעיף ג (1) – הנקודה G
לנקודות על המקום הגאומטרי, GK שווה למרחק מהישר x = −3a :
GK = x + 3a
על הפרבולה x ≥ 0 , ולכן הביטוי חיובי. GK הכי קצר כש־x הכי קטן. על הפרבולה y2 = 16ax הערך הקטן ביותר של x הוא x = 0 – בקודקוד:
x = 0 ⇒ y2 = 0 ⇒ y = 0
✅ פתרון סופי: G(0 , 0)
סעיף ג (2) – הערך של a
בנקודה G(0 , 0) . נכתוב את GK ונסמן את x :
GK = x + 3a
נציב x = 0 :
GK = 0 + 3a = 3a
3a = 7.5 ⇒ a = 2.5
✅ פתרון סופי: a = 2.5
📌 סיכום
| סעיף א | (x − 5a)2 + y2 = 16a2 |
|---|---|
| סעיף ב | y2 = 16ax |
| סעיף ג (1) | G(0 , 0) |
| סעיף ג (2) | a = 2.5 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il