הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 106 – בגרות 582 חורף 2021 – מרובעים: טרפז ופרבולה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · חורף 2021 · שאלה 1
בגרות 582 חורף 2021 – מרובעים: טרפז ופרבולה
📄 נוסח השאלה
ABCD הוא טרפז, AB ∥ DC . נתון: המרחק בין בסיסי הטרפז, AB ו־DC , הוא √2 . קטע האמצעים של הטרפז ABCD נמצא על הישר x + y − 4 = 0 (ראו סרטוט).
א. מצאו את משוואות הישרים שבסיסי הטרפז נמצאים עליהם.
נתון: השוק BC נמצאת על ציר ה־x . מעבירים פרבולה קנונית y2 = 2px , p > 0 , כך שהקודקודים A ו־D של הטרפז נמצאים על מדריך הפרבולה, ומוקד הפרבולה נמצא על הקודקוד B או על הקודקוד C .
ב. (1) מהי משוואת הפרבולה שבעבורה הטרפז ABCD הוא הגדול מבין שני הטרפזים האפשריים? נמקו.
(2) מהי משוואת הפרבולה שבעבורה הטרפז ABCD הוא הקטן מבין שני הטרפזים האפשריים?
ג. מעבירים ישר המקביל לציר ה־x וחותך את שתי הפרבולות שמצאתם בסעיף ב בשתי נקודות, E ו־F . מצאו את משוואת המקום הגאומטרי שעליו מונחים אמצעי הקטעים EF הנוצרים באופן זה.
✏️ פתרון
סעיף א – הישרים של הבסיסים
קטע האמצעים מקביל לבסיסים ונמצא בדיוק באמצע ביניהם. לכן הבסיסים מקבילים לישר x + y − 4 = 0 – אותם A ו־B – וכל אחד מהם במרחק √22 ממנו:
x + y + C = 0
נכתוב את נוסחת המרחק בין ישרים מקבילים ונסמן את מה שנציב:
d = |C1 − C2|√12 + 12📐 מרחק בין ישרים מקביליםd = |C1 − C2|√A2 + B2
נציב C1 = C ו־C2 = −4 :
|C − (−4)|√2 = √22
|C + 4| = 22 = 1
C + 4 = 1 ⇒ C = −3
C + 4 = −1 ⇒ C = −5
לפי הסרטוט AB הוא הבסיס הקרוב יותר לראשית.
✅ פתרון סופי: AB : x + y − 3 = 0
DC : x + y − 5 = 0
DC : x + y − 5 = 0
סעיף ב – הטרפז הגדול והטרפז הקטן
הקודקודים B ו־C הם נקודות החיתוך של הבסיסים עם ציר ה־x . נציב y = 0 :
B(3 , 0) , C(5 , 0)
לפרבולה y2 = 2px המוקד והמדריך הם:
(p2 , 0) , x = −p2📐 פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2
אפשרות 1 – המוקד ב־B:
p2 = 3 ⇒ p = 6
המדריך x = −3 . A על המדריך ועל AB , ו־D על המדריך ועל DC . נכתוב את משוואות הבסיסים ונסמן את x :
y = 3 − x , y = 5 − x
נציב x = −3 :
A(−3 , 3 − (−3)) = (−3 , 6)
D(−3 , 5 − (−3)) = (−3 , 8)
אורכי הבסיסים:
AB = √(3 + 3)2 + 62 = 6√2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
DC = √(5 + 3)2 + 82 = 8√2
S1 = 6√2 + 8√22 · √2 = 14📐 שטח טרפזS = a + b2 · h
אפשרות 2 – המוקד ב־C:
p2 = 5 ⇒ p = 10
המדריך x = −5 :
A(−5 , 8) , D(−5 , 10)
AB = √82 + 82 = 8√2
DC = √102 + 102 = 10√2
S2 = 8√2 + 10√22 · √2 = 18
השטח 18 גדול מ־14. לכן הטרפז הגדול מתקבל כשהמוקד ב־C :
p = 10 ⇒ y2 = 20x
והטרפז הקטן מתקבל כשהמוקד ב־B :
p = 6 ⇒ y2 = 12x
בסקיצה: הטרפז הגדול בירוק, הפרבולה y2 = 20x ומדריכה בכחול, y2 = 12x ומדריכה בסגול.
✅ פתרון סופי: (1) y2 = 20x
(2) y2 = 12x
(2) y2 = 12x
סעיף ג – מקום גאומטרי
הישר y = k , k ≠ 0 . נכתוב את הפרבולה הראשונה ונסמן את y :
y2 = 20x
נציב y = k :
k2 = 20x ⇒ E(k220 , k)
באותה דרך עם y2 = 12x :
k2 = 12x ⇒ F(k212 , k)
אמצע הקטע EF :
X = k220 + k2122 , Y = k📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
מכנה משותף 60:
X = 3k2 + 5k2602 = 8k2120 = k215
נציב k = Y :
X = Y215 ⇒ y2 = 15x
ראשית הצירים לא שייכת למקום, כי עבור k = 0 שתי הנקודות מתלכדות. בסקיצה, עבור k = 6 , המקום הגאומטרי בירוק, בין שתי הפרבולות.
✅ פתרון סופי: y2 = 15x
📌 סיכום
| סעיף א | x + y − 3 = 0 x + y − 5 = 0 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | y2 = 20x |
| סעיף ב (2) | y2 = 12x |
| סעיף ג | y2 = 15x |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il