הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 102 – בגרות 582 חורף 2022 – שילוב: פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · חורף 2022 · שאלה 1
בגרות 582 חורף 2022 – שילוב: פרבולה ואליפסה עם מוקד משותף
📄 נוסח השאלה
הנקודה (t , 0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. t הוא פרמטר חיובי. אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 4t . בסעיפים שלפניכם הביעו את תשובותיכם באמצעות t , אם יש צורך.
א. מצאו את משוואת הפרבולה ואת משוואת האליפסה.
המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בשתי נקודות, A ו־B . הנקודה A נמצאת מעל לנקודה B .
ב. מצאו את שיעורי הנקודות A ו־B .
ישר המאונך לציר ה־x עובר במוקד הפרבולה וחותך את הפרבולה בשתי נקודות, C ו־D . הנקודה C נמצאת מעל לנקודה D .
ג. מצאו את שיעורי הנקודות C ו־D .
ד. (1) הסבירו מדוע ארבע הנקודות A , B , C ו־D נמצאות על מעגל אחד.
(2) מצאו את שיעורי מרכז המעגל הזה.
✏️ פתרון
סעיף א – הפרבולה והאליפסה
הפרבולה – לפרבולה y2 = 2px המוקד הוא (p2 , 0) :
p2 = t ⇒ p = 2t📐 פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2
y2 = 2 · 2t · x = 4tx
האליפסה – הציר הראשי 2a , והמוקד נותן c = t :
2a = 4t ⇒ a = 2t
נכתוב את הקשר ונסמן את מה שנציב:
b2 = a2 − c2📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2מוקדים (±c , 0)
נציב a = 2t , c = t :
b2 = (2t)2 − t2 = 3t2
x24t2 + y23t2 = 1
✅ פתרון סופי: y2 = 4tx
x24t2 + y23t2 = 1
x24t2 + y23t2 = 1
סעיף ב – הנקודות A ו־B
המדריך של הפרבולה:
x = −p2 = −t📐 פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד F(p2 , 0) , מדריך x = −p2
נכתוב את משוואת האליפסה ונסמן את x :
x24t2 + y23t2 = 1
נציב x = −t :
(−t)24t2 + y23t2 = 1
14 + y23t2 = 1
y23t2 = 34
y2 = 94t2 ⇒ y = ±1.5t
✅ פתרון סופי: A(−t , 1.5t) , B(−t , −1.5t)
סעיף ג – הנקודות C ו־D
הישר עובר במוקד (t , 0) ומאונך לציר ה־x , ולכן משוואתו x = t . נכתוב את משוואת הפרבולה ונסמן את x :
y2 = 4t · x
נציב x = t :
y2 = 4t · t = 4t2
y = ±2t
✅ פתרון סופי: C(t , 2t) , D(t , −2t)
סעיף ד (1) – ארבע נקודות על מעגל
הקטעים AB ו־CD מאונכים לציר ה־x , ולכן הם מקבילים זה לזה, והמרובע ABDC הוא טרפז.
הנקודות A ו־B סימטריות ביחס לציר ה־x , וגם C ו־D . לכן השוקיים שוות:
AC = √(2t)2 + (0.5t)2 = BD📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
המרובע ABDC הוא טרפז שווה שוקיים.
AC = BD📐 טרפז בר חסימהטרפז שווה שוקיים הוא בר חסימה במעגל
לכן אפשר לחסום את הטרפז במעגל – ארבע הנקודות על מעגל אחד.
✅ פתרון סופי: טרפז שווה שוקיים – בר חסימה
סעיף ד (2) – מרכז המעגל
ציר ה־x הוא האנך האמצעי של המיתר AB (וגם של CD), ומרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של כל מיתר. לכן המרכז הוא M(k , 0) .
המרכז במרחק שווה מ־A ומ־C . נשווה את ריבועי המרחקים:
MA2 = MC2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
(k + t)2 + (1.5t)2
= (k − t)2 + (2t)2
נפתח סוגריים. k2 ו־t2 מופיעים בשני הצדדים ומצטמצמים:
2kt + 2.25t2 = −2kt + 4t2
4kt = 1.75t2
מחלקים ב־4t (t > 0):
k = 1.75t4 = 7t16
בסקיצה (עבור t = 1): הפרבולה בכחול, האליפסה בסגול, הישרים x = ±t בתכלת, הטרפז בירוק והמעגל בירוק בהיר.
✅ פתרון סופי: M(7t16 , 0)
📌 סיכום
| סעיף א | y2 = 4tx x24t2 + y23t2 = 1 |
|---|---|
| סעיף ב | A(−t , 1.5t) B(−t , −1.5t) |
| סעיף ג | C(t , 2t) D(t , −2t) |
| סעיף ד | M(7t16 , 0) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il