הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 98 – בגרות 582 קיץ 2023 מועד ב׳ – שילוב: מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 582 · קיץ 2023 מועד ב׳ · שאלה 1
בגרות 582 קיץ 2023 מועד ב׳ – שילוב: מקום גאומטרי, אליפסה ומעגלים
📄 נוסח השאלה
נתונות הנקודות A(0 , 24) ו־B(18 , 0) . הנקודה C מקיימת: AC2 + BC2 = 1250 .
א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות C .
את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א הזיזו 9 יחידות שמאלה ו־12 יחידות למטה. המקום הגאומטרי שהתקבל אחרי ההזזה חותך את ציר ה־y בנקודות E ו־G (yE > yG).
אליפסה שמשוואתה קנונית עוברת דרך הנקודות E ו־G . מוקדי האליפסה הם F1 ו־F2 (המוקד F1 על החלק החיובי של ציר ה־x). נתון כי הישר EF1 מקביל לישר GF2 , והמרחק בין שני הישרים הוא 24 (ראו סרטוט).
ב. (1) מצאו את שיעורי הנקודה F1 . (2) מצאו את משוואת האליפסה.
ג. מצאו את המשוואות של שני מעגלים שמשיקים לישר EF1 , לציר ה־x ולציר ה־y , ונמצאים ברביעים שונים.
✏️ פתרון
סעיף א – המקום הגאומטרי
נסמן C(x , y) ונכתוב את ריבועי המרחקים:
AC2 = x2 + (y − 24)2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
BC2 = (x − 18)2 + y2
נציב בתנאי AC2 + BC2 = 1250 ונפתח סוגריים:
x2 + y2 − 48y + 576
+ x2 − 36x + 324 + y2 = 1250
2x2 + 2y2 − 36x − 48y = 350
מחלקים ב־2:
x2 + y2 − 18x − 24y = 175
משלימים לריבוע:
(x − 9)2 − 81 + (y − 12)2 − 144 = 175📐 השלמה לריבועx2 − 2kx = (x − k)2 − k2
(x − 9)2 + (y − 12)2 = 400📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו (9 , 12) ורדיוסו 20.
✅ פתרון סופי: (x − 9)2 + (y − 12)2 = 400
סעיף ב (1) – המוקד F₁
אחרי ההזזה (9 שמאלה, 12 למטה) המרכז עובר מ־(9 , 12) ל־(0 , 0) , והרדיוס נשאר 20:
x2 + y2 = 400📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
חיתוך עם ציר ה־y – נציב x = 0 :
y2 = 400 ⇒ y = ±20
E(0 , 20) , G(0 , −20)
האליפסה הקנונית עוברת דרך E ו־G – אלה הקודקודים שלה על ציר ה־y , ולכן b = 20 . המוקדים: F1(c , 0) , F2(−c , 0) .
הישר EF₁ – השיפוע:
m = 0 − 20c − 0 = −20c📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
הישר חותך את ציר ה־y ב־20. כופלים ב־c ומעבירים אגפים:
y = −20cx + 20
20x + cy − 20c = 0
הישר GF₂ – השיפוע:
m = 0 − (−20)−c − 0 = −20c
y = −20cx − 20
20x + cy + 20c = 0
השיפועים שווים – הישרים מקבילים, ויש להם אותם A ו־B . המרחק בין הישרים הוא 24. נכתוב את הנוסחה ונסמן את מה שנציב:
d = |C1 − C2|√A2 + B2📐 מרחק בין ישרים מקביליםd = |C1 − C2|√A2 + B2
נציב A = 20 , B = c ,
ו־C1 = −20c , C2 = 20c :
|−20c − 20c|√202 + c2 = 24
40c√400 + c2 = 24
מחלקים ב־8 וכופלים במכנה (c > 0):
5c = 3√400 + c2
מעלים בריבוע:
25c2 = 9(400 + c2)
25c2 = 3600 + 9c2
16c2 = 3600
c2 = 225 ⇒ c = 15
✅ פתרון סופי: F1(15 , 0)
סעיף ב (2) – משוואת האליפסה
נכתוב את הקשר באליפסה ונסמן את מה שנציב:
a2 = b2 + c2📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2מוקדים (±c , 0)
נציב b = 20 , c = 15 :
a2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625
x2625 + y2400 = 1📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2מוקדים (±c , 0)
✅ פתרון סופי: x2625 + y2400 = 1
סעיף ג – מעגלים המשיקים לישר ולצירים
הישר EF1 עם c = 15 : 20x + 15y − 300 = 0 . מחלקים ב־5:
4x + 3y − 60 = 0
מעגל שמשיק לשני הצירים: המרחק של המרכז מכל ציר שווה לרדיוס R , ולכן המרכז הוא (±R , ±R) לפי הרביע. גם המרחק מהמרכז לישר שווה ל־R :
d = |4x0 + 3y0 − 60|√42 + 32📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
רביע ראשון – נציב את המרכז (R , R) :
|4R + 3R − 60|5 = R
|7R − 60| = 5R
7R − 60 = 5R ⇒ R = 30
60 − 7R = 5R ⇒ R = 5
רביע שני – המרכז (−R , R) :
|−4R + 3R − 60|5 = R
|−R − 60| = 5R ⇒ R + 60 = 5R ⇒ R = 15
רביע שלישי – המרכז (−R , −R) :
|−7R − 60| = 5R ⇒ 7R + 60 = 5R
יוצא R = −30 – אין פתרון חיובי, אין מעגל ברביע השלישי.
רביע רביעי – המרכז (R , −R) :
|4R − 3R − 60| = 5R
|R − 60| = 5R ⇒ 60 − R = 5R ⇒ R = 10
האפשרות השנייה, R − 60 = 5R , נותנת R = −15 , ולכן נפסלת.
נכתוב את כל המעגלים שמצאנו:
(x − 5)2 + (y − 5)2 = 25📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b) , רדיוס R
(x − 30)2 + (y − 30)2 = 900
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225
(x − 10)2 + (y + 10)2 = 100
שני המעגלים הראשונים ברביע הראשון, השלישי ברביע השני והרביעי ברביע הרביעי. התשובה: כל שני מעגלים מהרשימה שנמצאים ברביעים שונים. בסקיצה: הישר בסגול, המעגלים ברביע הראשון בירוק, ברביע השני בכחול וברביע הרביעי בתכלת.
✅ פתרון סופי: לדוגמה: (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225
(או כל זוג ברביעים שונים מתוך ארבעת המעגלים)
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225
(או כל זוג ברביעים שונים מתוך ארבעת המעגלים)
📌 סיכום
| סעיף א | (x − 9)2 + (y − 12)2 = 400 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | F1(15 , 0) |
| סעיף ב (2) | x2625 + y2400 = 1 |
| סעיף ג | שניים ברביעים שונים מתוך: (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 (x − 30)2 + (y − 30)2 = 900 (x + 15)2 + (y − 15)2 = 225 (x − 10)2 + (y + 10)2 = 100 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il