הנדסה אנליטית שאלון 572. 10 פרקים114 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 46.1- קטע מרכזים
הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572
📄 דף הסבר: קטע מרכזים
קטע מרכזים הוא הקטע שמחבר בין מרכז המעגל הגדול M לבין מרכז המעגל הקטן N. משפט: קטע המרכזים עובר דרך נקודת ההשקה של שני מעגלים משיקים.
מעגלים משיקים מבחוץ
MN=R+r
מעגלים משיקים מבפנים
MN=R−r
שלביםלהוכיח שמעגלים משיקים
1מסדרים
בעזרת השלמה לריבוע מביאים כל מעגל לצורה (x−a)²+(y−b)²=R² – מוצאים מרכז ורדיוס.
2קטע המרכזים
מחשבים את MN בנוסחת המרחק בין שתי נקודות.
3משווים
MN=R+r ← משיקים מבחוץ; MN=R−r ← משיקים מבפנים.
קטע המרכזים עובר דרך נקודת ההשקה ✅
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
מוכיחים ששני מעגלים משיקים מבחוץ בעזרת קטע המרכזים, ומוצאים את המשיק המשותף בנקודת ההשקה – בשתי דרכים למציאת נקודת ההשקה.
נתונים שני מעגלים: x²+y²−6x−10y+14=0 , x²+y²−38x−26y+350=0
🔵 סעיף א: הוכחה שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ – קטע מרכזים שווה לסכום הרדיוסים
א. הוכח שהמעגלים משיקים זה לזה מבחוץ.
מעגל ראשון – השלמה לריבוע:
x²−6x → (x−3)²−9
y²−10y → (y−5)²−25
(x−3)²−9+(y−5)²−25+14=0
(x−3)²+(y−5)²=20
מרכז (3,5)
רדיוס r=√20
מעגל שני:
x²−38x → (x−19)²−19²
y²−26y → (y−13)²−169
(x−19)²−361+(y−13)²
−169+350=0
(x−19)²+(y−13)²=361+169−350
(x−19)²+(y−13)²=180
מרכז (19,13)
רדיוס R=√180
קטע המרכזים בנוסחת המרחק:
d=√(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²
MN=√(19−3)²+(13−5)²
MN=√256+64=√320
√20+√180=√320
קטע המרכזים שווה לסכום הרדיוסים: MN=R+r
תשובה: המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ
🟢 סעיף ב: משוואת המשיק המשותף – שיפוע הופכי ונגדי ונקודה המחלקת קטע ביחס נתון
ב. מצא את משוואת המשיק המשותף בנקודת ההשקה.
המשיק מאונך לרדיוסים, ולכן שיפוע המשיק הופכי ונגדי לשיפוע קטע המרכזים.
m=y₂−y₁x₂−x₁=13−519−3=816=12
שיפוע המשיק: m=−2
נקודת ההשקה B נמצאת על קטע המרכזים, והיא מחלקת אותו ביחס הרדיוסים:
BCAB=√20√180=13
הנוסחה לנקודה המחלקת קטע ביחס k:ℓ:
x=ℓx₁+kx₂k+ℓ
y=ℓy₁+ky₂k+ℓ
ℓ=3 , k=1:
x=3·3+19·13+1=284=7
y=5·3+13·14=284=7
נקודת ההשקה B(7,7)
y−y₁=m(x−x₁)
y−7=−2(x−7)
y−7=−2x+14
תשובה: y=−2x+21
🟣 דרך שנייה: נקודת ההשקה כחיתוך שני המעגלים – חיסור המשוואות
מציאת נקודת ההשקה בפתרון שתי משוואות בשני נעלמים (כך חייבים לעשות כשמבקשים חיתוך כללי של שני מעגלים).
מחסרים את משוואת המעגל הראשון מהשנייה (לפני הסידור) – ה־x² וה־y² מתבטלים:
−32x−16y+336=0
מחלקים ב־−16:
2x+y−21=0
y=21−2x
מציבים במשוואת המעגל הראשון:
x²+(21−2x)²−6x
−10(21−2x)+14=0
5x²−70x+245=0
x²−14x+49=0
(x−7)²=0 → x=7
y=21−2·7=7
פתרון יחיד – כמו שצריך למעגלים משיקים.
תשובה: B(7,7)
💡 לזכור
משיקים מבחוץ ← MN=R+r; משיקים מבפנים ← MN=R−r. נקודת ההשקה על קטע המרכזים – מוצאים אותה בחלוקה ביחס הרדיוסים (הדרך הקצרה) או בחיסור משוואות המעגלים.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il