עוד דוגמאות פתורות – הסתברות – בגרות 471

4 יחידות · שאלון 471 · 4 דוגמאות חדשות עם פתרון מלא

עוד דוגמאות פתורות בסגנון שאלות הבגרות בנושא הסתברות (בגרות 471, 4 יחידות). כל דוגמה עם פתרון מלא שלב אחר שלב – כדאי לנסות לפתור לבד, ורק אחר כך להסתכל בפתרון.

דוגמה 1 – טבלה דו ממדית, הסתברות מותנת ותלות

בחברה גדולה 40% מהעובדים הם נשים. 30% מהנשים ו־60% מהגברים מגיעים לעבודה ברכב.
בוחרים עובד באקראי.
א. בנו טבלה דו ממדית ומלאו אותה.
ב. מה ההסתברות שהעובד מגיע לעבודה ברכב?
ג. ידוע שהעובד שנבחר לא מגיע ברכב. מה ההסתברות שזו אישה?
ד. האם המאורעות "העובד אישה" ו"העובד מגיע ברכב" תלויים? נמקו.
ה. בחברה 250 עובדים. כמה גברים מגיעים לעבודה ברכב?

פתרון:
א. מסמנים מאורעות: A – מגיע ברכב , B – אישה.
אחוזים ← הסתברות: P(B) = 25 ← משלים: P(B̅) = 1 − 25 = 35
"30% מהנשים" ← כפל בסה״כ הנשים: P(A ∩ B) = 310 · 25 = 325
"60% מהגברים" ← כפל בסה״כ הגברים: P(A ∩ B̅) = 35 · 35 = 925
משלימים בעמודות: 25 − 325 = 725 , 35 − 925 = 625

	נשים	גברים	סה״כ
יש רכב	325	925	1225
אין רכב	725	625	1325
סה״כ	25	35	1

ב. שורה + שורה = סה״כ:
P(A) = 325 + 925 ← P(A) = 1225
ג. "ידוע" ← הסתברות מותנת.
מכנה – מה שידוע (לא ברכב): P(A̅) = 1325
מונה – מתוכו, אישה: P(A̅ ∩ B) = 725
P = 725 : 1325 = 725 · 2513 ← 713
ד. בודקים: P(A) · P(B) = P(A ∩ B) ?
P(A) · P(B) = 1225 · 25 = 24125
P(A ∩ B) = 325 = 15125
24125 ≠ 15125 ← המאורעות תלויים
ה. כמות = הסתברות · סך הכל:
925 · 250 = 90 ← 90 גברים

דוגמה 2 – דיאגרמת עץ בלי החזרה ומותנת מהעץ

בקופסה 5 כדורים אדומים ו־3 כדורים כחולים. מוציאים באקראי כדור, לא מחזירים אותו, ומוציאים כדור נוסף.
א. מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע?
ב. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהכדורים אדום?
ג. ידוע שהכדור השני אדום. מה ההסתברות שהכדור הראשון כחול?

פתרון:
בונים עץ – בלי החזרה: בקומה השנייה הסה״כ קטן ב־1 (7 כדורים), ומהצבע שנבחר – אחד פחות.(בירוק חזק: המסלולים של סעיף ב – בדיוק אדום אחד; בתכלת: שאר המסלולים)
א. אותו צבע ← אדום־אדום או כחול־כחול:
לאורך מסלול כופלים: 58 · 47 = 2056 , 38 · 27 = 656
בין מסלולים מחברים: 2056 + 656 = 2656 ← 1328
ב. בדיוק אדום אחד ← אדום־כחול או כחול־אדום:
58 · 37 + 38 · 57 = 1556 + 1556 = 3056 ← 1528
ג. "ידוע" ← הסתברות מותנת.
מכנה – השני אדום (אדום־אדום או כחול־אדום): 2056 + 1556 = 3556
מונה – מתוכם, הראשון כחול (כחול־אדום): 1556
P = 1556 : 3556 = 1535 ← 37

דוגמה 3 – הסתברות עם נעלם – שתי שקיות

בשקית א׳ 4 כדורים לבנים ו־6 כדורים שחורים. בשקית ב׳ 8 כדורים, מהם x לבנים והשאר שחורים.
מוציאים באקראי כדור אחד מכל שקית. ההסתברות ששני הכדורים לבנים היא 0.15.
א. מצאו את x.
ב. מה ההסתברות שבדיוק אחד מהכדורים לבן?
ג. מה ההסתברות שלפחות אחד מהכדורים לבן?

פתרון:
א. מסמנים נעלם: בשקית ב׳ לבנים x , שחורים 8 − x
לבן משקית א׳: 410 · לבן משקית ב׳: x8
"גם… וגם…" ← כפל, ומשווים להסתברות הנתונה:
410 · x8 = 0.15
מונה כפול מונה, מכנה כפול מכנה: 4x80 = 0.15
כופלים ב־80: 4x = 12 ← x = 3
← בשקית ב׳: 3 לבנים ו־5 שחורים.
ב. בדיוק אחד לבן ← (לבן מא׳ וגם שחור מב׳) או (שחור מא׳ וגם לבן מב׳):
410 · 58 + 610 · 38 = 2080 + 1880 = 3880 ← 1940
ג. לפחות אחד = 1 − אף אחד:
אף אחד לבן ← שניהם שחורים: 610 · 58 = 3080 = 38
1 − 38 ← 58

דוגמה 4 – עץ עם נעלם P ומותנת – "ידוע שאיחר"

ההסתברות שירד גשם ביום מסוים היא p. ביום גשום ההסתברות שדני יאחר לבית הספר היא 0.3, וביום בלי גשם ההסתברות שיאחר היא 0.1.
ידוע שההסתברות שדני יאחר ביום מקרי היא 0.16.
א. מצאו את p.
ב. ידוע שדני איחר. מה ההסתברות שירד גשם באותו יום?
ג. מה ההסתברות שבשני ימים מקריים דני לא יאחר אף פעם?

פתרון:
בונים עץ: על ענף אחד p ועל השני 1 − p, כי סכום הענפים מכל צומת הוא 1.(בירוק חזק: המסלולים שבהם דני מאחר)
א. מאחר ← (גשם וגם מאחר) או (אין גשם וגם מאחר):
0.3p + 0.1(1 − p) = 0.16
פותחים סוגריים: 0.3p + 0.1 − 0.1p = 0.16
0.2p + 0.1 = 0.16
מעבירים אגפים: 0.2p = 0.06 ← p = 0.060.2 ← p = 0.3
ב. "ידוע" ← הסתברות מותנת.
מכנה – מאחר: 0.16
מונה – מתוכו, גשם וגם מאחר: 0.3 · 0.3 = 0.09
P = 0.090.16 ← 916
ג. לא מאחר ביום אחד = 1 − מאחר: 1 − 0.16 = 0.84
שני ימים, "וגם" ← כפל: 0.84 · 0.84 ← 0.7056

להמשך לימוד

📋 לסיכום המלאסיכום ונוסחאות – הסתברות 4 יחידות 📝 שאלות בגרות בנושא – עם פתרונותשאלות בגרות 471 לפי נושא – הסתברות ✏️ כל הדוגמאות הפתורות באתרלפי קורס ונושא

מתמטריק · eldadh.co.il