מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותטריגונומטריה – משפטי הסינוסים והקוסינוסים, שטח, מעגל וזהויות

5 יחידות · שאלון 571 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

1. במשולש ישר זווית

📐 שלוש ההגדרות
sin ∢A = ניצב מוליתר
cos ∢A = ניצב לידיתר
tan ∢A = ניצב מולניצב ליד
📐 משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2 (a, b הניצבים, c היתר)
  • מחפשים צלע: רושמים את השבר וכפל בהצלבה.
  • מחפשים זווית: הפעולה ההפוכה sin−1, cos−1, tan−1. המחשבון במצב מעלות.

2. ערכים מדויקים

x030456090
sin x012√22√321
cos x1√32√22120
tan x0√331√3לא מוגדר
🔹 מאיפה זה בא: בריבוע שצלעו 1 האלכסון √2 (זווית 45); במשולש שווה צלעות שצלעו 2 הגובה √3 (זוויות 30 ו־60).
🔹 "תשובה מדויקת" = עם שורשים, בלי מחשבון.

3. משפט הסינוסים ורדיוס המעגל החוסם ל-4 ו-5 יחידות

📐 משפט הסינוסים
asin ∢A = bsin ∢B = csin ∢C = 2R
כל צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה; R – רדיוס המעגל החוסם
ROABCabc
הצלע a מול ∢A, b מול ∢B, c מול ∢C (כחול); המעגל החוסם (סגול) והרדיוס R (ירוק חזק)
  • משתמשים כשיש זוג: צלע והזווית שמולה, ועוד צלע או זווית.
  • לוקחים שני שברים בלבד, וכפל בהצלבה.
  • רדיוס המעגל החוסם: מספיק זוג אחד של צלע וזווית שמולה.
✏️ דוגמה
במשולש ABC נתון BC = 6 ו־∢A = 30.
(1) מצאו את רדיוס המעגל החוסם R.
(2) נתון גם ∢B = 45. מצאו את AC.
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←
📚 שיעור 31 – משפט הסינוסים עם רדיוס המעגל החוסם (קיץ 2022 מועד א, סעיף א)
📐 זוויות שסכומן 180 מעלות
sin(180 − x) = sin x
🔹 מוצאים זווית ממשפט הסינוסים: ל־sin x = k יש במשולש שתי אפשרויות, x חדה ו־180 − x קהה. בוחרים לפי הנתונים (למשל "הזווית קהה").

4. משפט הקוסינוסים רק ל-5 יחידות (571)

📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos ∢C
הזווית ∢C מול הצלע c, והיא הזווית שבין a ל־b
  • שתי צלעות והזווית שביניהן ← הצלע השלישית.
  • שלוש צלעות ← זווית.
  • כש־∢C = 90: cos 90 = 0 ומקבלים את משפט פיתגורס.
📐 הבעת הקוסינוס של זווית
cos ∢C = a2 + b2 − c22ab
📐 זוויות שסכומן 180 מעלות
cos(180 − x) = −cos x (הקוסינוס של זווית קהה שלילי)
✏️ דוגמה
(1) במשולש a = 5, b = 8 והזווית שביניהן ∢C = 60. מצאו את c.
(2) צלעות המשולש a = 3, b = 5, c = 7. מצאו את ∢C.
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←
📚 שיעור 16 – משפט הקוסינוסים

5. שטח משולש בעזרת טריגונומטריה

📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin ∢C
שתי צלעות והזווית שביניהן
ABCabh
שתי הצלעות a ו־b (סגול) והזווית ∢C שביניהן (ירוק חזק).
הגובה h = b · sin ∢C, ולכן S = a · h2 = a · b · sin ∢C2
📐 שטח משולש
S = צלע · הגובה לצלע2
🔹 נתון השטח ומחפשים צלע או זווית: מציבים בנוסחה ופותרים.
🔹 שטח מרובע: מחלקים לשני משולשים באלכסון.
🔹 הנוסחה עובדת גם כשהזווית קהה: הסינוס של זווית קהה חיובי, למשל sin 150 = sin 30 = 12.
🔄 מקרה הפוך: נתון השטח, מחפשים את הזווית
sin ∢C = 2Sa · b
יש שתי תשובות אפשריות: ∢C חדה, או 180 − ∢C קהה. בוחרים לפי הנתונים.
✏️ דוגמה
(1) במשולש a = 4, b = 6, והזווית שביניהן ∢C = 30. מצאו את שטח המשולש.
(2) מקרה הפוך: a = 4, b = 6 ושטח המשולש S = 6. מצאו את ∢C.
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←
📚 שיעור 17 – שטח משולש

6. משפטים במעגל שחוזרים בשאלות טריגונומטריה

זווית היקפית וזווית מרכזיתזווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
זווית היקפית על קוטרשווה 90 מעלות
משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות 180 מעלות
מרובע בר חסימהאם סכום שתי זוויות נגדיות 180 מעלות – אפשר לחסום אותו במעגל
טרפז חסום במעגלשווה שוקיים
מרכז המעגל החסוםנקודת המפגש של חוצי הזוויות
🔹 כל המשפטים בגאומטריה: הסיכומים "משפטים במשולשים", "משפטים במרובעים" ו"משפטים במעגל" באתר.

7. זהויות בסיסיות

📐 זוויות שסכומן 180 מעלות
sin(180 − x) = sin x
cos(180 − x) = −cos x
📐 זוויות שסכומן 90 מעלות
sin(90 − x) = cos x
cos(90 − x) = sin x
📐 הזהות היסודית
sin2x + cos2x = 1
📐 טנגנס
tan x = sin xcos x
🔹 במשולש: ∢A + ∢B + ∢C = 180, ולכן למשל sin(∢A + ∢B) = sin ∢C.

8. זווית כפולה

📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2sin x · cos x
📐 קוסינוס של זווית כפולה
cos(2x) = cos2x − sin2x
cos(2x) = 2cos2x − 1
cos(2x) = 1 − 2sin2x
🔹 בוחרים את הצורה של cos(2x) שמשאירה פונקציה אחת: רק cos x – הצורה השנייה; רק sin x – השלישית.

9. סינוס וקוסינוס של סכום והפרש

📐 סכום והפרש זוויות
sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b
sin(a − b) = sin a · cos b − cos a · sin b
cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b
cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b
🔹 הוכחת זהות: מתחילים מהאגף המסובך ומשנים אותו צעד אחר צעד עד לאגף השני.

✔️ סדר פתרון שאלת טריגונומטריה (שאלה 5 ב־571)

  1. מסמנים בשרטוט את הנתונים, ואת הזווית הנתונה כפרמטר (למשל α).
  2. מביעים זוויות נוספות בעזרת α: סכום זוויות במשולש, משפטים במעגל, זוויות צמודות.
  3. בוחרים משולש שבו יש שלושה נתונים והנעלם.
  4. יש זוג צלע וזווית שמולה ← משפט הסינוסים (ו־2R). שתי צלעות והזווית שביניהן או שלוש צלעות ← משפט הקוסינוסים.
  5. מפשטים בעזרת הזהויות (180, 90, זווית כפולה, סכום והפרש).
  6. מציבים את הערך המספרי רק בסוף, אם נתון.
הבעה בעזרת פרמטרמשאירים α או R בתשובה
תשובה מדויקתמשתמשים בערכים המדויקים של 30, 45, 60
הוכחהכותבים נימוק לכל שוויון (משפט או זהות)

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא טריגונומטריה, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות