מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאות – וקטורים4 יחידות · שאלון 472

כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

1. גופים וזוויות במרחב

מנסרהשני בסיסים שווים ומקבילים, המקצועות הצדדיים מקבילים ושווים · V = S · h
פירמידהבסיס וקודקוד אחד מעליו · V = 13 · S · h (S – שטח הבסיס, h – הגובה)
פירמידה ישרהכל המקצועות הצדדיים שווים ← הגובה יורד למרכז המעגל החוסם את הבסיס (בריבוע ובמלבן – מפגש האלכסונים)
זווית בין ישר למישורהזווית בין הישר וההיטל שלו על המישור
זווית בין שני מישוריםמנקודה על ישר החיתוך: ישר בכל מישור, מאונך לישר החיתוך – הזווית ביניהם
ABCDSO
פירמידה ישרה SABCD (כחול): הגובה SO (סגול) יורד למפגש האלכסונים. הזווית בין המקצוע SC לבסיס היא הזווית SCO (ירוק חזק)
במשולש ישר הזווית: SOC : tan(SCO) = SOOC – כלים טריגונומטריים במרחב
🔹 מקצועות נסתרים מסרטטים בקו מקווקו.
🔹 "גובה" = הקטע המאונך מהקודקוד אל מישור הבסיס.

2. חיבור, חיסור וכפל בסקלר

📐 חיבור וחיסור
AB + BC = AC (חוק המשולש)
BA = −AB
AB = OB − OA (סוף פחות התחלה)
📐 מקבילית ABCD
AC = AB + AD
DB = AB − AD
ABAB
וקטור AB: מתחיל בנקודה A ונגמר בנקודה B. החץ מראה את הכיוון.
ABCABBCAC
המסלול A → B → C שווה לדרך הישירה: AB + BC = AC
📐 כפל בסקלר
v = k · u ⟺ u ∥ v
k > 0 ← אותו כיוון
k < 0 ← כיוון הפוך
|k · u| = |k| · |u|
🔹 וקטורים שווים = אותו גודל ואותו כיוון (לא משנה איפה הם מתחילים).
🔹 בכל מסלול סגור הסכום הוא 0.

3. קומבינציה לינארית וחלוקת קטע

📐 אמצע קטע
M אמצע BC ⟸ AM = 12(AB + AC)
📐 נקודה שמחלקת קטע
AP : PB = m : n ⟸ AP = mm + n · AB
בשיעורים: P = n · A + m · Bm + n
ABCMPuv
AB = u , AC = v (כחול), AM (ירוק חזק), PM (תכלת)
דוגמה: M אמצע BC , AP : PB = 1 : 2
AM = 12u + 12v · AP = 13u
PM = AM − AP = 16u + 12v
🔹 מבטאים כל וקטור דרך וקטורי הבסיס (u , v , ובמרחב גם w) – הולכים במסלול לאורך צלעות ידועות.

4. מכפלה סקלרית

📐 הגדרה
u · v = |u| · |v| · cos
cos – של הזווית בין הווקטורים
cos = u · v|u| · |v|
📐 תכונות
u · u = |u|2
u ⊥ v ⟺ u · v = 0
|u + v|2 = |u|2 + 2u · v + |v|2
(u + v) · w = u · w + v · w
דוגמה: |u| = 2 , |v| = 3 , זווית 60 מעלות
u · v = 2 · 3 · 12 = 3
|u + v|2 = 4 + 6 + 9 = 19 ← |u + v| = √19
🔹 מכפלה שלילית ← זווית קהה. מכפלה 0 ← ניצבים.
🔹 אורך קטע = שורש של המכפלה של הווקטור בעצמו.

5. ישר מאונך למישור, גובה ונפח

📐 ישר מאונך למישור
ישר מאונך למישור ⟺ הוא מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור
a · u = 0
a · v = 0
a – וקטור בכיוון הישר · u , v – במישור, u ∦ v
📐 נפח
V = S · h (מנסרה)
V = 13 · S · h (פירמידה)
S – שטח הבסיס, h – הגובה
📐 שטח משולש
S = 12 · |AB| · |AC| · sin A
את cos A מוצאים מהמכפלה הסקלרית
🔹 "גובה" = הקטע המאונך מהקודקוד אל מישור הבסיס – מאונך לשני וקטורים לא מקבילים בבסיס.
🔹 אורך הגובה = שורש של המכפלה של וקטור הגובה בעצמו.

6. מערכת צירים במרחב (שיעורים)

📐 בשיעורים
u = (x1 , y1 , z1) , v = (x2 , y2 , z2)
AB = B − A
|u| = √x12 + y12 + z12
u · v = x1x2 + y1y2 + z1z2
M = (xA + xB2 , yA + yB2 , zA + zB2)
דוגמה: A(1 , 2 , 3) , B(3 , 0 , 4)
AB = (2 , −2 , 1) ← |AB| = √4 + 4 + 1 = 3
🔹 מקבילים ⟺ השיעורים פרופורציוניים: (2 , −2 , 1) ∥ (−4 , 4 , −2).
🔹 מקבילית ABCD: D = A + C − B.

✔️ סדר פתרון שאלה בווקטורים

  1. סרטוט: הגוף, הנקודות הנתונות, וקטורי הבסיס u , v , w.
  2. בלי שיעורים: מבטאים וקטורים דרך הבסיס, מסלולים, אמצע קטע וחלוקת קטע.
  3. ניצבים ← המכפלה הסקלרית שווה 0.
    אורך ← |u|2 = u · u.
  4. עם שיעורים: שיעורי נקודות, וקטורים בין נקודות, אורכים ומכפלה סקלרית.
  5. ישר מאונך למישור ← מאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור.
  6. נפח: V = 13 · S · h , הגובה מאונך למישור הבסיס.
  7. שטח משולש: S = 12 · |AB| · |AC| · sin A
    את cos A מוצאים מהמכפלה הסקלרית.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא וקטורים, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות