מה הפתרון של שאלה 1 (שאלות קצרות) בבגרות 571 חורף 2023?

א (1): 39150; א (2): C = 2; ב (1): ∢AOB = 2x; ב (2): x/180; ג (1): x = 0, y = 2, y = −2; ג (2): k = 2.5; ד (1): −2 ≤ t ≤ 0; ד (2): לא; ד (3): כן – שתי נקודות פיתול.

מה הפתרון של שאלה 2 (סדרות הנדסיות) בבגרות 571 חורף 2023?

א: הוכחה – מנה q²; ב (1): נכון; ב (2): לא נכון; ג: q = 2/3; ד: n = 7.

מה הפתרון של שאלה 3 (הסתברות) בבגרות 571 חורף 2023?

א: 18/(a(b+1)); ב: a = 10, b = 12; ג: 7/13; ד: ≈ 0.173; ה: 1/5.

מה הפתרון של שאלה 4 (שני מעגלים נחתכים) בבגרות 571 חורף 2023?

א: דמיון ז.ז.; ב: חפיפה ז.צ.ז.; ג (1)–(2): הוכחות (AB חוצה זווית CAE); ד: הוכחה בעזרת שני משולשים שווי שוקיים.

מה הפתרון של שאלה 5 (טריגונומטרייה) בבגרות 571 חורף 2023?

א: cos x = m/(2R); ב: הוכחה במשפט הקוסינוסים; ג: x ≈ 37.76 מעלות; ד: ∢OEG ≈ 115.38 מעלות.

מה הפתרון של שאלה 6 (חקירת פולינום) בבגרות 571 חורף 2023?

א: (0, 0), (−1, 0); ב: n זוגי – חיובית לכל x ≠ 0, −1; n אי־זוגי – חיובית ל־x > 0, שלילית ל־x < 0 (x ≠ −1); ג: n זוגי – מינימום ב־x = −1, 0 ומקסימום ב־x = −n/(n+2); n אי־זוגי – מקסימום ב־x = −1, מינימום ב־x = −n/(n+2); ד: n זוגי – גרף III, אי־זוגי – גרף II; ה: T/a.

מה הפתרון של שאלה 7 (פונקציה טריגונומטרית) בבגרות 571 חורף 2023?

א: x ≠ −2π, −π, 0, π, 2π; אסימפטוטות באותם ערכים; אי־זוגית; ב: אין חיתוך עם הצירים, מקסימום (π/2, −2), מינימום (3π/2, 2); ד: אין נקודות פיתול; ה: השטח ≈ 0.18.

מה הפתרון של שאלה 8 (פונקציה רציונלית) בבגרות 571 חורף 2023?

א: g(x); ב: y = 1, x = −2; חיתוכים (1, 0), (0, −0.5); ד: t = √3 − 2.

בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – חורף 2023

Q: מה הפתרון של שאלה 7 (פונקציה טריגונומטרית) בבגרות 571 חורף 2023?

א: x ≠ −2π, −π, 0, π, 2π; אסימפטוטות באותם ערכים; אי־זוגית; ב: אין חיתוך עם הצירים, מקסימום (π/2, −2), מינימום (3π/2, 2); ד: אין נקודות פיתול; ה: השטח ≈ 0.18.

Q: מה הפתרון של שאלה 8 (פונקציה רציונלית) בבגרות 571 חורף 2023?

א: g(x); ב: y = 1, x = −2; חיתוכים (1, 0), (0, −0.5); ד: t = √3 − 2.

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה; בשאלה 1 עונים על 3 מתוך 4 הסעיפים. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. כאן פתורות כל 8 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2023

שאלון 571 חורף 2023 – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 7

שאלון 571 חורף 2023 – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 7

שאלון 571 חורף 2023 – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 7

שאלון 571 חורף 2023 – עמוד 4 — עמוד 4 מתוך 7

שאלון 571 חורף 2023 – עמוד 5 — עמוד 5 מתוך 7

שאלון 571 חורף 2023 – עמוד 6 — עמוד 6 מתוך 7

שאלון 571 חורף 2023 – עמוד 7 — עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות
שאלה 1 – שאלות קצרות: סכום סדרה, זווית בין משיק למיתר, אסימפטוטות, אינטגרל מצטבר
שאלה 2 – סדרות הנדסיות וסכום אינסופי
שאלה 3 – הסתברות: שתי קופסאות פירות והסתברות בינומית
פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
שאלה 4 – גאומטרייה: שני מעגלים נחתכים
שאלה 5 – טריגונומטרייה: משולש חסום במעגל, משפט הקוסינוסים
פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 – חקירת פולינום עם n זוגי ואי־זוגי
שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית ושטח
שאלה 8 – פונקציה רציונלית עם חור ובעיית קיצון

שאלה 1 – שאלות קצרות: סכום סדרה, זווית בין משיק למיתר, אסימפטוטות, אינטגרל מצטבר

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. בעבור כל n טבעי מתקיים:
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n² − 2n − 1)

(1) חשבו את הסכום: 7 · 12 + 10 · 17 + … + 58 · 97.

(2) נתון:
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n² + 8n + C)
מצאו את C. נמקו.

ב. נתון מעגל שמרכזו O. AB הוא מיתר במעגל. AE משיק למעגל בנקודה A. נתון: ∢EAB = x (ראו סרטוט).

(1) הביעו באמצעות x את ∢AOB.

(2) הביעו באמצעות x את היחס בין אורך הקשת הקטנה AB ובין היקף המעגל.

ג. נתונה הפונקציה f(x) = √(4x² + 1)x.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

נתונה הפונקציה g(x) = k · f(x + 3) , k > 0 פרמטר. המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה g(x) הוא 10.

(2) מצאו את k.

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת לכל x. הפונקציה f(x) היא אי־זוגית.

נתונה הפונקציה g(t) = ∫₋₂^t f(x)dx בתחום −2 ≤ t ≤ 2.

(1) מצאו את תחום הירידה של הפונקציה g(t).

(2) האם יש ערכים של t שבעבורם g(t) > 0? נמקו.

(3) האם לגרף הפונקציה g(t) יש נקודות פיתול? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – חישוב הסכום

נסמן S_n = n(5n² − 2n − 1). האיבר הכללי a_k = (3k − 2)(5k − 3).

האיבר 7 · 12: 3k − 2 = 7 ⟸ k = 3. האיבר 58 · 97: 3k − 2 = 58 ⟸ k = 20 (ובדיקה: 5 · 20 − 3 = 97).

7 · 12 + … + 58 · 97 = S₂₀ − S₂📐 נוסחה: סכום של קטע מהסדרהa_k+1 + … + a_n = S_n − S_k

S₂₀ = 20(5 · 400 − 40 − 1)

S₂₀ = 20 · 1959 = 39180

S₂ = 2(20 − 4 − 1) = 30

39180 − 30 = 39150

✅ פתרון סופי: 39150

סעיף א (2) – הערך של C

אגף שמאל הוא סכום n + 1 האיברים הראשונים, ולכן הוא S_n+1:

S_n+1 = (n + 1) ·📐 נוסחה: סכום עד n + 1S_n+1 = S_n + a_n+1

· (5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1)

5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1 =

= 5n² + 10n + 5 − 2n − 2 − 1

= 5n² + 8n + 2

נשווה ל־(n + 1)(5n² + 8n + C) לכל n:

C = 2

✅ פתרון סופי: C = 2

סעיף ב (1) – הזווית AOB

הזווית ∢EAB היא זווית בין משיק למיתר, והיא שווה לזווית היקפית הנשענת על הקשת AB. הזווית המרכזית ∢AOB נשענת על אותה קשת:

∢AOB = 2 · ∢EAB📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

∢AOB = 2x📐 משפט: זווית מרכזיתזווית מרכזית = פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת

✅ פתרון סופי: ∢AOB = 2x

סעיף ב (2) – יחס הקשת להיקף

L_AB2πR = 2x360📐 נוסחה: אורך קשתL = 2πR · זווית מרכזית360

L_AB2πR = x180

✅ פתרון סופי: x180

סעיף ג (1) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 0, והמונה שם √1 = 1 ≠ 0:

x = 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס

אופקיות: נוציא x² מהשורש:

x > 0 : f(x) = x√(4 + 1/x²)x📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית√(4x² + 1) = |x|√(4 + 1x²)|x| = x כש־x > 0 , |x| = −x כש־x < 0

f(x) → √4 = 2

x < 0 : f(x) = −x√(4 + 1/x²)x

f(x) → −2

✅ פתרון סופי: x = 0 , y = 2 (כאשר x → ∞) , y = −2 (כאשר x → −∞)

סעיף ג (2) – הערך של k

ההזזה f(x + 3) לא משנה את האסימפטוטות האופקיות, והכפל ב־k > 0 מכפיל אותן:

y = 2k , y = −2k📐 נוסחה: הזזה ומתיחהf(x + 3) – הזזה שמאלה ב־3 (לא משנה אסימפטוטות אופקיות)k · f – מכפיל את ערכי y פי k

המרחק ביניהן:

2k − (−2k) = 4k = 10

k = 2.5

✅ פתרון סופי: k = 2.5

סעיף ד (1) – תחום הירידה של g

g′(t) = f(t)📐 נוסחה: אינטגרל מצטברg(t) = ∫_a^t f(x)dx⟹ g′(t) = f(t)

לפי הגרף: בתחום −2 < t < 0 מתקיים f(t) < 0, ובתחום 0 < t < 2 מתקיים f(t) > 0.

לכן g יורדת ב־−2 ≤ t ≤ 0 ועולה ב־0 ≤ t ≤ 2.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת

✅ פתרון סופי: −2 ≤ t ≤ 0

סעיף ד (2) – האם יש t עם g(t) > 0

g(−2) = ∫₋₂⁻² f(x)dx = 0

מ־t = −2 עד t = 0 הפונקציה g יורדת, ולכן g(t) < 0 שם.

g(2) = ∫₋₂² f(x)dx = 0📐 משפט: פונקציה אי־זוגית∫_−a^a f(x)dx = 0(השטחים משני צדי הראשית שווים ובסימנים הפוכים)

מ־t = 0 עד t = 2 הפונקציה g עולה מ־g(0) < 0 עד g(2) = 0, ולכן g(t) ≤ 0.

בכל התחום g(t) ≤ 0.

✅ פתרון סופי: לא – g(t) ≤ 0 בכל התחום

סעיף ד (3) – נקודות פיתול של g

g″(t) = f′(t)

נקודת פיתול של g היא נקודה שבה f′ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של f.

לפי הגרף, ל־f יש מינימום בתחום −2 < x < 0 ומקסימום בתחום 0 < x < 2 – בכל אחת מהן f′ מחליפה סימן.📐 משפט: נקודת פיתולg″ מחליפה סימן ⟺ g′ עוברת מעלייה לירידה (או להפך)

ב־x = 0 יש ל־f משיק אופקי, אבל f עולה משני הצדדים (f′ ≥ 0), ולכן זו לא נקודת פיתול של g.

✅ פתרון סופי: כן – שתי נקודות פיתול, בשיעורי ה־x של נקודות הקיצון של f

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	39150
סעיף א (2)	C = 2
סעיף ב (1)	2x
סעיף ב (2)	x180
סעיף ג (1)	x = 0 , y = 2 , y = −2
סעיף ג (2)	k = 2.5
סעיף ד (1)	−2 ≤ t ≤ 0
סעיף ד (2)	לא
סעיף ד (3)	כן

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 43 – אינטגרל מצטבר מבגרות 2023

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרות הנדסיות וסכום אינסופי

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אין־סופית A שהאיבר הכללי שלה הוא a_n ומנתה היא q.

בונים סדרה חדשה B שהאיבר הכללי שלה הוא b_n = a_n · qⁿ⁻¹.

א. הוכיחו שגם סדרה B היא סדרה הנדסית.

ב. בנוגע לכל אחד מן ההיגדים (1)–(2) שלפניכם קבעו אם הוא נכון או לא נכון, ונמקו את קביעתכם.

(1) אם הסדרה A לא מתכנסת – בהכרח גם הסדרה B לא מתכנסת.

(2) אם הסדרה A יורדת – בהכרח היא גם מתכנסת.

נתון כי שתי הסדרות מתכנסות, וכי היחס בין הסכום של כל איברי הסדרה B לסכום של כל איברי הסדרה A הוא 35.

ג. מצאו את q.

נתון: n הוא מספר טבעי המקיים b₁a₁ + b₂a₂ + … + b_na_n = 2059729.

ד. מצאו את n.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – B סדרה הנדסית

b_n = a₁qⁿ⁻¹ · qⁿ⁻¹ = a₁q²ⁿ⁻²📐 נוסחה: סדרה הנדסיתa_n = a₁qⁿ⁻¹a_n+1a_n = q קבוע

b_n = a₁(q²)ⁿ⁻¹

b_n+1b_n = a₁(q²)ⁿa₁(q²)ⁿ⁻¹ = q²

המנה קבועה – B סדרה הנדסית עם b₁ = a₁ ומנה q².

✅ פתרון סופי: הוכח: מנה q²

סעיף ב (1)

A לא מתכנסת, ולכן |q| ≥ 1:

|q| ≥ 1 ⟹ q² ≥ 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופיתS = a₁1 − qמתכנסת ⟺ |q| < 1

המנה של B היא q² ≥ 1, ולכן גם B לא מתכנסת.

✅ פתרון סופי: נכון

סעיף ב (2)

דוגמה נגדית: a₁ = −1 , q = 2:

A : −1 , −2 , −4 , −8 , …

הסדרה יורדת, אבל |q| = 2 > 1 – לא מתכנסת.

✅ פתרון סופי: לא נכון

סעיף ג – המנה q

שתי הסדרות מתכנסות (|q| < 1), ולשתיהן איבר ראשון a₁:

S_A = a₁1 − q , S_B = a₁1 − q²📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופיתS = a₁1 − qמתכנסת ⟺ |q| < 1

S_BS_A = 1 − q1 − q²

S_BS_A = 1 − q(1 − q)(1 + q) = 11 + q

11 + q = 35

3 + 3q = 5

q = 23

✅ פתרון סופי: q = 23

סעיף ד – הערך של n

b_ka_k = q^k−1 = (23)^k−1

זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון 1 ומנה 23:

S_n = 1 − (2/3)ⁿ1 − 2/3 = 3(1 − (23)ⁿ)📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

3(1 − (23)ⁿ) = 2059729

1 − (23)ⁿ = 20592187

(23)ⁿ = 1282187 = 2⁷3⁷

n = 7

✅ פתרון סופי: n = 7

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	נכון
סעיף ב (2)	לא נכון
סעיף ג	q = 23
סעיף ד	n = 7

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: שני ארגזי פירות והסתברות בינומית

📄 נוסח השאלה

בארגז א' יש a פירות: 3 תפוחים והשאר אגסים.

בארגז ב' יש b פירות: 5 תפוחים והשאר אגסים.

מוציאים באקראי פרי אחד מארגז א'. אם יצא תפוח – מעבירים אותו לארגז ב', ואם יצא אגס – מחזירים אותו לארגז א'. לאחר מכן מוציאים באקראי פרי אחד מארגז ב'.

א. הביעו באמצעות a ו־b את ההסתברות שיצאו 2 תפוחים.

נתון: ההסתברות להוציא באופן המתואר 2 תפוחים היא 965. ההסתברות להוציא באופן המתואר תפוח אחד ואחר כך אגס אחד היא 21130.

ב. מצאו את a ואת b.

ג. חשבו את ההסתברות שמארגז ב' יצא אגס, אם ידוע כי מארגז א' יצא תפוח.

מעבירים את כל הפירות משני הארגזים לארגז אחר שהיה ריק, ומוציאים ממנו באקראי פרי 6 פעמים, עם החזרה.

ד. מצאו את ההסתברות שב־4 מן הפעמים בדיוק יצא תפוח או שבכל 6 הפעמים יצא אגס.

ה. ידוע שב־4 מן הפעמים בדיוק יצא תפוח. מצאו את ההסתברות שהתפוחים יצאו ברציפות, בזה אחר זה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – ההסתברות ל־2 תפוחים

מארגז א' יוצא תפוח בהסתברות 3a. התפוח עובר לארגז ב', ושם עכשיו b + 1 פירות, מהם 6 תפוחים:

P = 3a · 6b + 1📐 נוסחה: עץ הסתברותהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות לאורכו

P = 18a(b + 1)

✅ פתרון סופי: 18a(b + 1)

סעיף ב – a ו־b

18a(b + 1) = 965

a(b + 1) = 130

תפוח ואחר כך אגס: אחרי שהתפוח עבר, בארגז ב' b − 5 אגסים מתוך b + 1:

3a · b − 5b + 1 = 21130📐 נוסחה: עץ הסתברותהסתברות של מסלול = מכפלת ההסתברויות לאורכו

3(b − 5)a(b + 1) = 21130

3(b − 5)130 = 21130

b − 5 = 7

b = 12

a = 13013 = 10

✅ פתרון סופי: a = 10 , b = 12

סעיף ג – הסתברות מותנית

אם מארגז א' יצא תפוח, הוא עבר לארגז ב'. עכשיו בארגז ב' יש 13 פירות: 6 תפוחים ו־7 אגסים.

ההסתברות המותנת היא ההסתברות להוציא אגס מארגז ב' במצב הזה:

P = 713📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

✅ פתרון סופי: 713

סעיף ד – 4 תפוחים או 6 אגסים

בארגז החדש: 10 + 12 = 22 פירות, מהם 3 + 5 = 8 תפוחים ו־14 אגסים.

ההסתברות להוציא תפוח בכל הוצאה:

p = 822 = 411

שני המאורעות זרים (אם בכל הפעמים יצא אגס – אין אף תפוח). נחבר:

P(X = 4) = C(6 , 4)(411)⁴(711)²📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) == C(n , k) · p^k · (1 − p)^n−k

P(X = 4) = 1881601771561 ≈ 0.1062

P(X = 0) = (711)⁶

P(X = 0) = 1176491771561 ≈ 0.0664

P = 3058091771561 ≈ 0.173

✅ פתרון סופי: P ≈ 0.173

סעיף ה – תפוחים ברציפות

כל הסידורים של 4 תפוחים ו־2 אגסים שווי הסתברות. מספר הסידורים:

C(6 , 4) = 15📐 נוסחה: מספר סידוריםC(6 , 4) = 6!4! · 2! = 15

סידורים שבהם 4 התפוחים ברציפות: התפוחים בהטלות 1–4, 2–5 או 3–6, כלומר 3 סידורים:

P = 315 = 15📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

✅ פתרון סופי: 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	18a(b + 1)
סעיף ב	a = 10 , b = 12
סעיף ג	713
סעיף ד	≈ 0.173
סעיף ה	15

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים ומותנת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: שני מעגלים נחתכים

📄 נוסח השאלה סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו־B (ראו סרטוט).

המיתר AC במעגל השמאלי חותך את המעגל הימני בנקודה D.

המיתר AE במעגל הימני חותך את המעגל השמאלי בנקודה F.

הקטע CE עובר דרך הנקודה B.

א. הוכיחו כי △ACE ∼ △BCD.

נתון: DC = FE.

ב. הוכיחו כי △BFE ≅ △BCD.

ג. (1) הוכיחו כי AC · BE = AE · BC.

(2) הוכיחו כי AB הוא חוצה זווית CAE.

ד. הוכיחו כי ∢DEC = ∢FCE.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – △ACE ∼ △BCD

הנקודות A , D , B , E על המעגל הימני, והנקודות A , C , B , F על המעגל השמאלי.

במשולשים ACE ו־BCD:

1. ∢ACE = ∢BCD – זווית משותפת.📐 נוסחה: זווית משותפתזווית משותפת לשני המשולשים שווה בשניהם

2. המרובע ADBE חסום במעגל הימני. הזווית ∢CDB היא זווית חיצונית שלו בקודקוד D (צמודה ל־∢ADB), ולכן שווה לזווית הנגדית ∢AEB:

∢CDB = ∢AEB = ∢AEC📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסוםשווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה

לכן △ACE ∼ △BCD (ז.ז.), בהתאמה A ↔ B , C ↔ C , E ↔ D.📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים, והצלעות המתאימות פרופורציונליות

✅ פתרון סופי: הוכח (ז.ז.)

סעיף ב – △BFE ≅ △BCD

במשולשים BFE ו־BCD:

1. המרובע ACBF חסום במעגל השמאלי. הזווית ∢BFE חיצונית לו בקודקוד F, ולכן:

∢BFE = ∢ACB = ∢BCD📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסוםשווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה

2. מסעיף א:

∢BEF = ∢AEC = ∢CDB

3. נתון:

FE = CD

הצלע FE נמצאת בין הזוויות F ו־E, והצלע CD בין הזוויות C ו־D:

△BFE ≅ △BCD (ז.צ.ז.)📐 משפט: חפיפת משולשים (ז.צ.ז.)צלע ושתי הזוויות שלידה שוות ⟸ המשולשים חופפים

✅ פתרון סופי: הוכח (ז.צ.ז.)

סעיף ג (1) – AC · BE = AE · BC

מהדמיון בסעיף א (לפי ההתאמה A ↔ B , C ↔ C , E ↔ D):

ACBC = AEBD📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים, והצלעות המתאימות פרופורציונליות

מהחפיפה בסעיף ב: BD מתאימה ל־BE:

BD = BE

ACBC = AEBE

AC · BE = AE · BC

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג (2) – AB חוצה את הזווית CAE

מסעיף ג (1):

ACAE = BCBE

הנקודה B על הצלע CE של המשולש ACE, והיא מחלקת אותה ביחס הצלעות AC : AE:

לכן AB חוצה את הזווית CAE.📐 משפט: חוצה זווית – משפט הפוךACAE = BCBE⟸ AB חוצה את הזווית CAE

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ד – ∢DEC = ∢FCE

מהחפיפה בסעיף ב:

BD = BE , BC = BF

∢DBC = ∢FBE

הזוויות ∢DBE ו־∢FBC צמודות לזוויות השוות האלה (כי C , B , E על ישר אחד):

∢DBE = 180 − ∢DBC📐 משפט: זוויות צמודותסכום זוויות צמודות 180 מעלות

∢FBC = 180 − ∢FBE

∢DBE = ∢FBC

המשולשים DBE ו־FBC שווי שוקיים עם זוויות ראש שוות, ולכן זוויות הבסיס שוות:

∢BED = 180 − ∢DBE2📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות – זוויות שוות

∢BCF = 180 − ∢FBC2📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות

∢BED = ∢BCF

כלומר ∢DEC = ∢FCE.

✅ פתרון סופי: הוכח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחה – דמיון (ז.ז.)
סעיף ב	הוכחה – חפיפה (ז.צ.ז.)
סעיף ג (1)	הוכחה
סעיף ג (2)	הוכחה
סעיף ד	הוכחה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה: משולש חסום במעגל, משפט הקוסינוסים

📄 נוסח השאלה סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

משולש BCD חסום במעגל שמרכזו בנקודה O ורדיוסו R.

הנקודות O ו־E נמצאות על הצלע BD כך שמתקיים OE = ED (ראו סרטוט).

נסמן: ∢CDB = x , CD = m. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה x.)

א. הביעו את cos x באמצעות m ו־R.

ב. הוכיחו כי CE = 12√(2m² + R²).

נתון: BC = EC.

ג. חשבו את x.

מעבירים רדיוס OG המקביל לצלע CD, כמתואר בסרטוט.

ד. חשבו את גודל הזווית OEG.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – cos x

המרכז O נמצא על הצלע BD, ולכן BD הוא קוטר: BD = 2R.

∢BCD = 90📐 משפט: זווית היקפית על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה (90 מעלות)

במשולש ישר־הזווית BCD, CD הוא הניצב שליד הזווית x:

cos x = CDBD = m2R📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתcos = ניצב לידיתר

✅ פתרון סופי: cos x = m2R

סעיף ב – אורך CE

E אמצע OD, ולכן ED = R2. במשולש CDE:

CE² = CD² + ED² −📐 משפט: משפט הקוסינוסיםa² = b² + c² − 2bc · cos A

− 2 · CD · ED · cos x

CE² = m² + R²4 − 2 · m · R2 · m2R

CE² = m² + R²4 − m²2

CE² = 2m² + R²4

CE = 12√(2m² + R²)

✅ פתרון סופי: הוכח: CE = 12√(2m² + R²)

סעיף ג – הזווית x

במשולש ישר־הזווית BCD:

BC² = BD² − CD² = 4R² − m²📐 משפט: משפט פיתגורסa² + b² = c²

נשווה ל־CE²:

4R² − m² = 2m² + R²4

16R² − 4m² = 2m² + R²

15R² = 6m²

m² = 2.5R²

m = R√2.5

cos x = R√2.52R = √2.52 ≈ 0.7906

x ≈ 37.76

✅ פתרון סופי: x ≈ 37.76 מעלות

סעיף ד – הזווית OEG

הרדיוס OG מקביל ל־CD, ולכן הזווית בין OG ל־OD שווה לזווית בין DC ל־DB (זוויות מתחלפות):

∢EOG = ∢CDB = x ≈ 37.76📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

במשולש OEG: OG = R , OE = R2:

EG² = R² + R²4 − 2 · R · R2 · cos x📐 משפט: משפט הקוסינוסיםa² = b² + c² − 2bc · cos A

EG² = R²(1.25 − √2.52) ≈ 0.4594R²

EG ≈ 0.6778R

sin ∢OEGOG = sin xEG📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = 2R

sin ∢OEG = R · sin 37.760.6778R ≈ 0.9035

יש שתי זוויות עם סינוס כזה: 64.62 או 115.38. OG = R היא הצלע הגדולה במשולש (R > 0.6778R > 0.5R), ולכן הזווית שמולה, ∢OEG, היא הגדולה במשולש. אילו ∢OEG = 64.62, אז ∢OGE = 180 − 37.76 − 64.62 = 77.62 – גדולה ממנה, סתירה. לכן:

∢OEG ≈ 115.38📐 משפט: צלע גדולה – זווית גדולהמול הצלע הגדולה במשולש – הזווית הגדולה

━ המשולש BCD (כחול) ━ CE (ירוק) ━ המשולש OEG (כתום)

הסרטוט בקנה מידה עם x ≈ 37.76 (בסרטוט כאן BD אופקי).

✅ פתרון סופי: ∢OEG ≈ 115.38 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	cos x = m2R
סעיף ב	הוכחה
סעיף ג	x ≈ 37.76
סעיף ד	∢OEG ≈ 115.38

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – משפט הקוסינוסים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פולינום עם n זוגי ואי־זוגי

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = xⁿ · (x + 1)² , n > 1 הוא מספר טבעי. הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x.

א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ב. מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). הבחינו בין n זוגי ובין n אי־זוגי.

ג. מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. הביעו את תשובותיכם באמצעות n, אם יש צורך. הבחינו בין n זוגי ובין n אי־זוגי.

לפניכם שלושה גרפים I–III. אחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה f(x) עבור n זוגי, ואחד מהם מתאר את הפונקציה f(x) עבור n > 1 ואי־זוגי.

ד. קבעו איזה גרף מתאר את הפונקציה f(x) עבור n זוגי, ואיזה גרף מתאר את הפונקציה f(x) עבור n > 1 ואי־זוגי. נמקו את קביעותיכם.

נתונה הפונקציה g(x) = a · f(x − 2) , a הוא פרמטר חיובי. נסמן ב־T את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה g(x) ובין ציר ה־x.

ה. הביעו באמצעות a ו־T את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x) ובין ציר ה־x. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x (y = 0):

xⁿ(x + 1)² = 0

x = 0 או x = −1

ציר ה־y: f(0) = 0 – הראשית.

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (−1 , 0)

סעיף ב – תחומי חיוביות ושליליות

הגורם (x + 1)² חיובי לכל x ≠ −1, ולכן הסימן של f הוא הסימן של xⁿ (מחוץ ל־x = 0 , −1):

n זוגי: xⁿ > 0 לכל x ≠ 0.📐 נוסחה: חזקה זוגית ואי־זוגיתחזקה זוגית: xⁿ ≥ 0 תמידחזקה אי־זוגית: הסימן של xⁿ הוא הסימן של x

חיובית: x < −1 , −1 < x < 0 , x > 0. שלילית: אין.

n אי־זוגי: xⁿ בסימן של x.

חיובית: x > 0. שלילית: x < −1 , −1 < x < 0.

✅ פתרון סופי: n זוגי: חיובית x ≠ 0 , −1 , שלילית אין ; n אי־זוגי: חיובית x > 0 , שלילית x < 0 , x ≠ −1

סעיף ג – נקודות קיצון

f′(x) = nxⁿ⁻¹(x + 1)² +📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹

+ xⁿ · 2(x + 1)

נוציא גורם משותף xⁿ⁻¹(x + 1):

f′(x) = xⁿ⁻¹(x + 1) ·

· (n(x + 1) + 2x)

f′(x) = xⁿ⁻¹(x + 1)((n + 2)x + n)

f′(x) = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים

x = 0 , x = −1

x = −nn + 2

מתקיים −1 < −nn + 2 < 0.

n זוגי: f ≥ 0 ו־f = 0 ב־x = 0 , −1 – אלה נקודות מינימום. ביניהן f > 0, ולכן ב־x = −nn + 2 מקסימום.

n אי־זוגי: n − 1 זוגי, ולכן xⁿ⁻¹ ≥ 0 והסימן של f′ הוא הסימן של (x + 1)((n + 2)x + n):

נסמן c = −nn + 2:

x	x < −1	−1	−1 < x < c	c	x > c
f′	+	0	−	0	+
f	↗	מקס׳	↘	מינ׳	↗

ב־x = 0 הנגזרת מתאפסת אבל לא מחליפה סימן (חיובית משני הצדדים) – אין קיצון.

✅ פתרון סופי: n זוגי: מינימום x = −1 , x = 0 , מקסימום x = −nn + 2 ; n אי־זוגי: מקסימום x = −1 , מינימום x = −nn + 2

סעיף ד – התאמת גרפים

n זוגי: הפונקציה לא שלילית, עם שני מינימומים על ציר ה־x ומקסימום ביניהם – גרף III.

n אי־זוגי: שלילית משמאל ל־0, מקסימום שנוגע בציר ב־x = −1, מינימום ביניהם, וב־x = 0 משיק אופקי בלי קיצון – גרף II.

(בגרף I הגרף חוצה את ציר ה־x ב־0 בשיפוע שאינו 0, וזה מתאים ל־n = 1 – לא בתחום.)

✅ פתרון סופי: n זוגי: גרף III ; n אי־זוגי: גרף II

סעיף ה – השטח של f

הגרף של f(x − 2) הוא הגרף של f מוזז 2 ימינה – השטח הכלוא בינו לבין ציר ה־x לא משתנה.

הכפל ב־a > 0 מכפיל כל ערך y פי a, ולכן גם את השטח:

T = a · S_f📐 נוסחה: הזזה ומתיחה ושטחf(x − 2) – הזזה ימינה, השטח לא משתנהa · f – השטח גדל פי a

S_f = Ta

✅ פתרון סופי: Ta

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א	(0 , 0) , (−1 , 0)
סעיף ב	זוגי: אין שליליות ; אי־זוגי: חיובית x > 0
סעיף ג	זוגי: מינ׳ −1 , 0 מקס׳ −nn + 2 ; אי־זוגי: מקס׳ −1 מינ׳ −nn + 2
סעיף ד	זוגי III , אי־זוגי II
סעיף ה	Ta

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 90 – חקירה עם n זוגי ואי־זוגי

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2 sin(x)cos²(x) − 1 בתחום −2π ≤ x ≤ 2π.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־x.

(3) האם הפונקציה f(x) זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית? הוכיחו את תשובתכם.

ב. ענו על התת־סעיפים (1)–(2) שלפניכם בעבור התחום 0 ≤ x ≤ 2π.

(1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) (בתחום −2π ≤ x ≤ 2π).

ד. הוכיחו כי לפונקציה f(x) אין נקודות פיתול.

ה. חשבו את השטח הכלוא בין גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ובין ציר ה־x , בתחום 1.7 ≤ x ≤ 2.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

cos²x − 1 = −sin²x📐 נוסחה: זהות טריגונומטריתsin²x + cos²x = 1⟹ sin²x + 2cos²x = 1 + cos²x

f(x) = 2 sin x−sin²x = −2sin x

המכנה מתאפס כאשר:

sin x = 0 ⟹ x = kπ

בתחום −2π ≤ x ≤ 2π:

x ≠ −2π , −π , 0 , π , 2π

✅ פתרון סופי: −2π < x < 2π , x ≠ −π , 0 , π

סעיף א (2) – אסימפטוטות

בכל הנקודות האלה המונה 2 sin x מתאפס יחד עם המכנה, אבל אחרי הצמצום f(x) = −2sin x – המונה −2 ≠ 0, ולכן כולן אסימפטוטות:

x = −2π , x = −π , x = 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס

x = π , x = 2π

✅ פתרון סופי: x = −2π , −π , 0 , π , 2π

סעיף א (3) – זוגיות

f(−x) = −2sin(−x) = −2−sin x = 2sin x📐 נוסחה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)sin(−x) = −sin x

f(−x) = −f(x)

✅ פתרון סופי: אי־זוגית

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך עם ציר ה־y.

f(x) = −2sin x ≠ 0 – אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם הצירים

סעיף ב (2) – נקודות קיצון

f′(x) = 2 cos xsin²x📐 נוסחה: נגזרת של 1 חלקי f(1f)′ = −f′f²(sin x)′ = cos x

cos x = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים

x = π2 , x = 3π2

f(π2) = −21 = −2

f(3π2) = −2−1 = 2

המכנה sin²x > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של cos x:

בתחום 0 < x < π:

x	0 < x < π2	π2	π2 < x < π
f′	+	0	−
f	↗	מקס׳	↘

בתחום π < x < 2π:

x	π < x < 3π2	3π2	3π2 < x < 2π
f′	−	0	+
f	↘	מינ׳	↗

✅ פתרון סופי: (π2 , −2) מקסימום , (3π2 , 2) מינימום

סעיף ג – סקיצה

בתחום 0 < x < 2π לפי סעיף ב: בין 0 ל־π הגרף שלילי עם מקסימום (π2 , −2); בין π ל־2π חיובי עם מינימום (3π2 , 2).

הפונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית: מינימום (−π2 , 2) ומקסימום (−3π2 , −2).

━ f(x) (כחול)

סעיף ד – אין נקודות פיתול

נגזור את f′(x) = 2 cos xsin²x לפי נגזרת של מנה, u = 2 cos x , v = sin²x:

u′ = −2 sin x

v′ = 2 sin x cos x

f″(x) = u′v − uv′v²📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

u′v − uv′ = −2 sin x · sin²x −

− 2 cos x · 2 sin x cos x

u′v − uv′ = −2 sin x ·

· (sin²x + 2 cos²x)

f″(x) = u′v − uv′sin⁴x

נצמצם ב־sin x:

f″(x) = −2(sin²x + 2 cos²x)sin³x

f″(x) = −2(1 + cos²x)sin³x📐 נוסחה: זהות טריגונומטריתsin²x + cos²x = 1⟹ cos²x − 1 = −sin²x

המונה 2(1 + cos²x) ≥ 2 > 0 – לעולם לא מתאפס. f″ מחליפה סימן רק באסימפטוטות, שאינן בתחום ההגדרה.

לכן אין נקודות פיתול.📐 משפט: נקודת פיתולf″(x) = 0ו־f″ מחליפה סימן

✅ פתרון סופי: הוכח: f″(x) ≠ 0

סעיף ה – השטח

בקטע 1.7 ≤ x ≤ 2 (בין π2 ≈ 1.571 ל־π): cos x < 0, ולכן f′(x) < 0 – השטח מתחת לציר:

S = −∫_1.7² f′(x)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫_a^b f′(x)dx(כאשר f′ ≤ 0 בקטע)

S = −(f(2) − f(1.7))📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

S = f(1.7) − f(2)

S = −2sin 1.7 + 2sin 2

S ≈ −2.0168 + 2.1995

S ≈ 0.183

✅ פתרון סופי: S ≈ 0.18

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x ≠ −π , 0 , π
סעיף א (2)	x = −2π , −π , 0 , π , 2π
סעיף א (3)	אי־זוגית
סעיף ב (1)	אין
סעיף ב (2)	מקסימום (π2 , −2) , מינימום (3π2 , 2)
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	הוכחה
סעיף ה	≈ 0.18

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – פונקציה רציונלית עם חור ובעיית קיצון

📄 נוסח השאלה

לפניכם שלוש פונקציות שלכל אחת מהן יש שני ערכי x שבהם היא אינה מוגדרת.

g(x) = x² − 1(x + 1)(x + 2) , h(x) = x³x(x + 2) , k(x) = x³ − 1x²(x + 2)

ידוע כי לאחת משלוש הפונקציות יש אסימפטוטה אופקית אחת ואסימפטוטה אנכית אחת בלבד.

א. מבין שלוש הפונקציות הנתונות, קבעו איזו פונקצייה מקיימת את כל התכונות האלה. נמקו את קביעתכם.

ענו על סעיפים ב–ד עבור הפונקצייה שקבעתם בסעיף א.

ב. (1) מצאו את המשוואה של האסימפטוטה האופקית ואת המשוואה של האסימפטוטה האנכית של הפונקצייה.

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים.

נתון כי לפונקצייה זו אין נקודות קיצון.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה.

נסמן נקודה A על גרף הפונקצייה, שבעבורה x = t , −1 < t < 1.

מן הנקודה A מעבירים שני ישרים, האחד מאונך לציר ה־x והאחר מאונך לאסימפטוטה האנכית של הפונקצייה, כך שנוצר מלבן על ידי שני הישרים, על ידי האסימפטוטה האנכית ועל ידי ציר ה־x.

ד. מצאו את ערכו של t שבעבורו היקף המלבן המתקבל הוא מינימלי. תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – איזו פונקציה

g(x): לא מוגדרת ב־x = −1 , −2. נצמצם:

g(x) = (x − 1)(x + 1)(x + 1)(x + 2)📐 נוסחה: נקודת אי־רציפות (חור)המונה והמכנה מתאפסים יחד ⟸ מצמצמים; אם אחרי הצמצום המכנה לא מתאפס – חור, לא אסימפטוטה

g(x) = x − 1x + 2 , x ≠ −1

ב־x = −1 חור, ב־x = −2 אסימפטוטה אנכית אחת. מעלות שוות – אסימפטוטה אופקית אחת y = 1. ✓

h(x): h(x) = x²x + 2 (x ≠ 0). מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה – אין אסימפטוטה אופקית. ✗

k(x): ב־x = 0 המונה −1 ≠ 0 וב־x = −2 המונה −9 ≠ 0 – שתי אסימפטוטות אנכיות. ✗

רק g מקיימת את התכונות.📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית – מנהמעלת המונה = מעלת המכנה ⟸ y = יחס המקדמיםמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה ⟸ אין

✅ פתרון סופי: g(x)

סעיף ב (1) – אסימפטוטות

y = 11 = 1📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית – מנהמעלת המונה = מעלת המכנה ⟸ y = יחס המקדמים המובילים

x = −2📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס

✅ פתרון סופי: y = 1 , x = −2

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x: x − 1 = 0 ⟸ x = 1.

ציר ה־y:

g(0) = 0 − 10 + 2 = −12

✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (0 , −0.5)

סעיף ג – סקיצה

החור: g(−1) = −1 − 1−1 + 2 = −2 – עיגול ריק ב־(−1 , −2).

אין קיצון: g′(x) = 3(x + 2)² > 0 – הפונקציה עולה בכל ענף. משמאל ל־x = −2 הגרף מעל y = 1 ועולה ל־∞; מימין הוא עולה מ־−∞, עובר ב־(0 , −0.5) וב־(1 , 0) ומתקרב ל־y = 1 מלמטה.

━ g(x) (כחול) ━ המלבן (כתום)

עיגול ריק: החור (−1 , −2).

סעיף ד – היקף מינימלי

עבור −1 < t < 1: t − 1 < 0 ו־t + 2 > 0, ולכן הנקודה A מתחת לציר ה־x.

רוחב המלבן – המרחק מהאסימפטוטה x = −2 עד x = t; גובהו – המרחק מציר ה־x עד A:

a = t + 2

b = −g(t) = 1 − tt + 2

P(t) = 2(t + 2) + 2(1 − t)t + 2📐 נוסחה: היקף מלבןP = 2(a + b)

(1 − tt + 2)′ = −(t + 2) − (1 − t)(t + 2)²📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= −3(t + 2)²

P′(t) = 2 − 6(t + 2)²

2 − 6(t + 2)² = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים

(t + 2)² = 3

t + 2 = √3 (t + 2 > 0)

t = √3 − 2 ≈ −0.27

בדיקה: עבור t = −0.5: P′ = 2 − 62.25 < 0; עבור t = 0: P′ = 2 − 64 > 0 – מינימום.

✅ פתרון סופי: t = √3 − 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	g(x)
סעיף ב (1)	y = 1 , x = −2
סעיף ב (2)	(1 , 0) , (0 , −0.5)
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	t = √3 − 2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 46 – נקודת אי רציפות (חור)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.