בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2023 מועד מיוחד

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות לבחירה, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד מיוחד

שאלון 572 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2023 מועד מיוחד – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – גאומטרייה אנליטית: ישרים, מעגל ופרבולה

📄 נוסח השאלה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1 : 4y − 3x − 20 = 0 , ℓ2 : x = −4.

א. מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1 ו־ℓ2.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים ℓ1 ו־ℓ2. המעגל משיק לישר ℓ1 בנקודה A שבה x = 4. המרכז M נמצא ברביע הראשון (ראו סרטוט).

המעגל המשיק לשני הישרים – סרטוט מתוך השאלון

ב. מצאו את שיעורי הנקודה M.

הישר ℓ2 הוא מדריך של פרבולה קנונית.

ג. האם הישר ℓ1 משיק בנקודה A לפרבולה זו? נמקו את תשובתכם.

ד. מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה זו בשתי נקודות, שאחת מהן היא הנקודה A.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

נקודה כללית (x , y). המרחק מ־ℓ2 : x + 4 = 0 הוא |x + 4|.
|4y − 3x − 20|√(16 + 9) = |x + 4|📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√(A2 + B2)
|4y − 3x − 20| = 5|x + 4|
שתי אפשרויות:
4y − 3x − 20 = 5x + 20
4y = 8x + 40 , y = 2x + 10
4y − 3x − 20 = −5x − 20
4y = −2x , y = −x2
xyA(4 , 8)M(1 , 12)ℓ1ℓ2y = 2x + 10
✅ פתרון סופי: y = 2x + 10 , y = −x2

סעיף ב – שיעורי M

x = 4 : 4y = 12 + 20
y = 8 , A(4 , 8)
הרדיוס MA מאונך למשיק ℓ1. השיפוע של ℓ1 הוא 34, ולכן השיפוע של MA הוא −43.📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 8 = −43(x − 4)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
M נמצאת במרחקים שווים מ־ℓ1 ו־ℓ2, כלומר על אחד הישרים מסעיף א. ברביע הראשון – על y = 2x + 10:
2x + 10 − 8 = −43x + 163
6x + 6 = −4x + 16
10x = 10 , x = 1
y = 2 · 1 + 10 = 12
עם הישר y = −x2 מתקבל (16 , −8) – ברביע הרביעי.
✅ פתרון סופי: M(1 , 12)

סעיף ג – האם ℓ1 משיק לפרבולה ב־A

x = −p2 = −4 , p = 8📐 פרבולה קנוניתy2 = 2px , מדריך x = −p2
y2 = 16x
A(4 , 8) : 82 = 64 = 16 · 4
A על הפרבולה. משוואת המשיק לפרבולה ב־A:
8y = 8(x + 4)📐 משיק לפרבולהy · y1 = p(x + x1)
y = x + 4
שיפוע המשיק הוא 1, ושיפוע ℓ1 הוא 34 – אלה ישרים שונים.
✅ פתרון סופי: לא. המשיק ב־A הוא y = x + 4

סעיף ד – המעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות

הפרבולה סימטרית ביחס לציר ה־x, ולכן נקודת ההשקה השנייה היא (4 , −8) ומרכז המעגל על ציר ה־x.
הרדיוס בנקודת ההשקה מאונך למשיק המשותף y = x + 4 (שיפוע 1), ולכן שיפוע הרדיוס −1:📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 8 = −(x − 4) , y = −x + 12
y = 0 : x = 12
המרכז (12 , 0):
R2 = (12 − 4)2 + (0 − 8)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2)
= 64 + 64 = 128
xyA(4 , 8)(4 , −8)(12 , 0)ℓ1ℓ2
✅ פתרון סופי: (x − 12)2 + y2 = 128

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy = 2x + 10 , y = −x2
סעיף בM(1 , 12)
סעיף גלא. המשיק ב־A הוא y = x + 4
סעיף ד(x − 12)2 + y2 = 128
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 64 – משיק לפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים בתיבה

📄 נוסח השאלה

נתונה תיבה ABCDA′B′C′D′ שהבסיס שלה, ABCD, הוא מלבן (ראו סרטוט).

הנקודה E נמצאת על המקצוע DD′ כך ש־DE : ED′ = 3 : 2.

הנקודה F נמצאת על האלכסון BD′ ומתקיים: BF = t · BD′. 0 < t < 1 הוא פרמטר.

התיבה ABCDA′B′C′D′ – סרטוט מתוך השאלון

נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w (וקטורים).

א. הביעו את הווקטורים BD′ ו־FE באמצעות u , v , w ו־t, אם יש צורך.

נתון כי FE מקביל למישור הבסיס ABCD.

ב. מצאו את t.

הנקודה C היא ראשית הצירים. הנקודה B נמצאת על ציר ה־x בכיוון החיובי שלו, והנקודה D נמצאת על ציר ה־y בכיוון החיובי שלו. נתון: F(4 , 9 , 12).

ג. מצאו את |u| , |v| ו־|w|.

מן הנקודה F העבירו ישר המאונך למישור EFBD. ישר זה חותך את הפאה CDD′C′ בנקודה P.

ד. מצאו את שיעורי הנקודה P.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הווקטורים BD′ ו־FE

BD′ = BA + AD + DD′📐 חיבור וקטורים (כלל המצולע)AC = AB + BC
BD′ = −u + v + w
לפי היחס DE : ED′ = 3 : 2: DE = 35 w. וגם BF = t(−u + v + w).
FE = FB + BA + AD + DE
FE = −t(−u + v + w) − u + v + 35w
FE = (t − 1)u + (1 − t)v + (35
− t)w
✅ פתרון סופי: BD′ = −u + v + w
FE = (t − 1)u + (1 − t)v
+ (35 − t)w

סעיף ב – הערך של t

הווקטורים u ו־v נמצאים במישור הבסיס, ו־w מאונך לו. FE מקביל לבסיס רק אם המקדם של w הוא 0:
35 − t = 0
t = 35 = 0.6
✅ פתרון סופי: t = 0.6

סעיף ג – אורכי הווקטורים

נסמן CB = b , CD = d , CC′ = h. אז:
B(b , 0 , 0) , D(0 , d , 0)
D′(0 , d , h)
|u| = AB = CD = d , |v| = AD = CB = b , |w| = h.
F = B + 0.6 · BD′📐 נקודה על קטעF = B + t · BD′
BD′ = (−b , d , h)
F = (b − 0.6b , 0.6d , 0.6h)
= (0.4b , 0.6d , 0.6h)
(0.4b , 0.6d , 0.6h)
= (4 , 9 , 12)
b = 10 , d = 15 , h = 20
✅ פתרון סופי: |u| = 15 , |v| = 10 , |w| = 20

סעיף ד – שיעורי הנקודה P

B(10 , 0 , 0) , D(0 , 15 , 0)
E(0 , 15 , 12)
E = D + 0.6 · DD′. נמצא וקטור נורמל n = (a , b , c) למישור EFBD:
DB = (10 , −15 , 0) , DE
= (0 , 0 , 12)
n · DB = 10a − 15b = 0📐 וקטור נורמל למישורמאונך לשני וקטורים במישור:
n · DB = 0 , n · DE = 0
n · DE = 12c = 0
c = 0 , a = 1.5b
n = (3 , 2 , 0)
הנקודה F על האלכסון BD′, ולכן היא במישור הזה. הישר דרך F בכיוון הנורמל:
(x , y , z)📐 הצגה פרמטרית של ישרr = A + s · n
= (4 , 9 , 12) + s(3 , 2 , 0)
הפאה CDD′C′ נמצאת במישור x = 0 (המישור yz):
4 + 3s = 0 , s = −43
y = 9 + 2 · (−43) = 193 , z = 12
בדיקה: 0 ≤ 193 ≤ 15 ו־0 ≤ 12 ≤ 20 – הנקודה על הפאה.
✅ פתרון סופי: P(0 , 193 , 12)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אBD′ = −u + v + w
FE = (t − 1)u + (1 − t)v
+ (35 − t)w
סעיף בt = 0.6
סעיף ג|u| = 15 , |v| = 10 , |w| = 20
סעיף דP(0 , 193 , 12)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים

📄 נוסח השאלה

z = x + iy הוא מספר מרוכב (x ו־y הם מספרים ממשיים).

א. (1) הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות |z2 − i| = |z2 + 3i| היא y = −12x.

(2) תנו דוגמה למספר מרוכב הנמצא על המקום הגאומטרי הזה.

ב. פתרו את המשוואה: z6 = 1.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של מצולע I. המקום הגאומטרי שמצוין בתת־סעיף א(1) חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I בנקודה A.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה A.

הנקודה A היא קודקוד של מצולע משוכלל אחר החסום באותו מעגל, מצולע II. נתון: מספר הקודקודים של מצולע II שווה למספר הקודקודים של מצולע I.

ד. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של מצולע II.

נסמן: w = r · cis t , 0 < t < 60 (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כל הזוויות במעלות). כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I במספר w, כך שקודקודי מצולע I מתלכדים עם קודקודי מצולע II.

ה. מצאו את w.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – המקום הגאומטרי

z2 = (x + iy)2
= (x2 − y2) + 2xy i
z2 − i = (x2 − y2) + (2xy − 1)i
z2 + 3i = (x2 − y2) + (2xy + 3)i
(x2 − y2)2 + (2xy − 1)2📐 ערך מוחלט של מספר מרוכב|a + bi| = √(a2 + b2)
= (x2 − y2)2 + (2xy + 3)2
(2xy − 1)2 = (2xy + 3)2
4x2y2 − 4xy + 1
= 4x2y2 + 12xy + 9
−16xy = 8
xy = −12
y = −12x
✅ פתרון סופי: הוכח: y = −12x

סעיף א (2) – דוגמה

x = 1 : y = −12
בדיקה: xy = 1 · (−12) = −12.
✅ פתרון סופי: z = 1 − 12i (לדוגמה)

סעיף ב – פתרון z6 = 1

1 = cis 0
z = cis 0 + 360k6 = cis(60k)📐 שורשים של מספר מרוכבzn = r cis t :
z = n√r · cis t + 360kn
k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5
✅ פתרון סופי: cis 0 , cis 60 , cis 120
cis 180 , cis 240 , cis 300

סעיף ג – שיעורי A

הקודקודים במרחק 1 מן הראשית, ולכן המעגל החוסם הוא x2 + y2 = 1. נציב y = −12x:
x2 + 14x2 = 1
4x4 − 4x2 + 1 = 0
(2x2 − 1)2 = 0
x2 = 12
ברביע הרביעי x > 0:
x = 1√2 , y = −12x = −1√2
✅ פתרון סופי: A(1√2 , −1√2)

סעיף ד – קודקודי מצולע II

A = 1√2 − 1√2i = cis(−45)
מצולע II הוא משושה משוכלל חסום במעגל היחידה, והזווית בין שני קודקודים סמוכים היא 3606 = 60:📐 מצולע משוכלל במישור גאוסקודקודים: cis(t + 360n · k)
cis(−45 + 60k) , k
= 0 , 1 , … , 5
✅ פתרון סופי: cis(−45) , cis 15 , cis 75
cis 135 , cis 195 , cis 255

סעיף ה – הערך של w

w · cis(60k) = r cis(t + 60k)📐 כפל מספרים מרוכביםr1cis t1 · r2cis t2 =
r1r2 cis(t1 + t2)
הקודקודים צריכים להישאר על מעגל היחידה, ולכן r = 1. הסיבוב בזווית t צריך להעביר את קודקודי I לקודקודי II:
t = −45 + 60k
בתחום 0 < t < 60: t = 15.
✅ פתרון סופי: w = cis 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)הוכח: y = −12x
סעיף א (2)z = 1 − 12i (לדוגמה)
סעיף בcis 0 , cis 60 , cis 120
cis 180 , cis 240 , cis 300
סעיף גA(1√2 , −1√2)
סעיף דcis(−45) , cis 15 , cis 75
cis 135 , cis 195 , cis 255
סעיף הw = cis 15
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 43 – שורשי היחידה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציה מעריכית

📄 נוסח השאלה

f(x) היא פונקצייה המוגדרת לכל x, ו־f′(x) היא פונקציית הנגזרת שלה, המוגדרת גם היא לכל x.

נתון: f′(x) = −2x · e−x2a. a הוא פרמטר.

לפונקצייה f(x) יש נקודת פיתול בנקודה שבה x = √2.

א. מצאו את a.

נתון: f(0) = a.

ב. מצאו את הפונקצייה f(x).

ג. (1) האם הפונקצייה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).

(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונות הפונקציות h(x) = 1f′(x) , m(x) = eh(x).

שלושה מבין הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתארים את הפונקציות f′(x) , h(x) , m(x).

ד. התאימו לכל פונקצייה את הגרף המתאר אותה.

ה. (1) מצאו את תחומי הירידה של הפונקצייה m(x).

(2) קבעו אם הביטוי ∫21 h(x) · m(x) dx חיובי או שלילי. נמקו את קביעתכם.

הגרפים I–IV מתוך השאלון
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הערך של a

f″(x) = −2 · e−x2a + (−2x) · (−2xa)📐 נגזרת של מכפלה ושל e בחזקת פונקציה(uv)′ = u′v + uv′
(eu)′ = u′ · eu
· e−x2a
f″(x) = e−x2a(−2 + 4x2a)
בנקודת פיתול f″ = 0; e−x2a > 0:📐 נקודת פיתולf″ = 0 ומחליפה סימן
−2 + 4x2a = 0
x2 = a2
(√2)2 = a2
a = 4
בדיקה: הביטוי −2 + x2 מחליף סימן ב־x = √2.
✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ב – הפונקצייה f(x)

f′(x) = −2x · e−x24
נחפש פונקצייה שהנגזרת שלה היא f′. לפי (eu)′ = u′ · eu:
(e−x24)′ = −x2 · e−x24📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(eu)′ = u′ · eu
(4e−x24)′ = −2x · e−x24
f(x) = 4e−x24 + C
f(0) = 4 + C = 4 , C = 0
✅ פתרון סופי: f(x) = 4e−x24

סעיף ג (1) – זוגיות

f(−x) = 4e−(−x)24 = 4e−x24 = f(x)📐 פונקצייה זוגיתf(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: זוגית

סעיף ג (2) – אסימפטוטות

הפונקצייה מוגדרת לכל x – אין אסימפטוטה אנכית.
כאשר x → ±∞: −x24 → −∞, ולכן:
4e−x24 → 0
✅ פתרון סופי: y = 0

סעיף ג (3) – נקודת הקיצון

f′(x) = −2x · e−x24 = 0
x = 0
הסימן של f′ הפוך לסימן של x:
x < 0 : f′(x) > 0
x > 0 : f′(x) < 0
f(0) = 4e0 = 4
✅ פתרון סופי: (0 , 4) מקסימום

סעיף ג (4) – סקיצה

זוגית, עולה עד (0 , 4) ואחר כך יורדת, שואפת ל־0 משני הצדדים, ונקודות פיתול ב־x = ±√2.
xy(0 , 4)f(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד – התאמת הגרפים

f′(x) = −2x · e−x24
הנגזרת חיובית כאשר x < 0, שלילית כאשר x > 0, עוברת בראשית ושואפת ל־0. זה גרף I.
h(x) = 1f′(x) = −ex242x
הפונקצייה h לא מוגדרת ב־x = 0 (אסימפטוטה אנכית), חיובית כאשר x < 0, שלילית כאשר x > 0, ושואפת ל־±∞. זה גרף II.
m(x) = eh(x) > 0
כאשר x < 0 מתקיים h > 0, ולכן m > 1.
כאשר x > 0 מתקיים h < 0, ולכן 0 < m < 1.
ליד הראשית מימין h → −∞, ולכן m → 0. זה גרף III.
✅ פתרון סופי: f′(x) – גרף I
h(x) – גרף II
m(x) – גרף III

סעיף ה (1) – תחומי הירידה של m

לא גוזרים את h ואת m. קוראים מהגרפים: קודם f′, אחר כך h = 1f′, ובסוף m = eh.
סקיצה 1 – הגרף של f′(x) (כחול, גרף I):
ל־f יש נקודת פיתול ב־x = √2 (נתון), ומכיוון ש־f זוגית – גם ב־x = −√2. בנקודות האלה ל־f′ יש נקודות קיצון.📐 משפטנקודת פיתול של f היא נקודת קיצון של f′
f′(−√2) = 2√2 · e−0.5 ≈ 1.72
f′(√2) = −2√2 · e−0.5 ≈ −1.72
xy(−√2 , 1.72)(√2 , −1.72)f′(x)
מהגרף: f′ עולה ב־x < −√2 וב־x > √2, ויורדת ב־−√2 < x < √2.
סקיצה 2 – הגרף של h(x) (סגול, גרף II):
f′ לא מחליפה סימן בתוך x < 0 ובתוך x > 0. לכן h יורדת איפה ש־f′ עולה, ועולה איפה ש־f′ יורדת. ב־x = 0 ‏f′ = 0, ולכן ל־h יש שם אסימפטוטה אנכית.📐 הפונקציה 1 חלקי fבקטע שבו f לא מחליפה סימן: f עולה ⇐ 1f יורדת; f יורדת ⇐ 1f עולה
xy(−√2 , 0.58)(√2 , −0.58)h(x)
מהגרף: h יורדת ב־x < −√2 וב־x > √2.
הפונקציה m: ‏m = eh, ו־et פונקציה עולה. לכן m יורדת בדיוק איפה ש־h יורדת.📐 פונקציה מעריכיתet עולה, ולכן eh(x) עולה ויורדת יחד עם h(x)
x < −√2 , x > √2
✅ פתרון סופי: x < −√2 , x > √2

סעיף ה (2) – סימן האינטגרל

בתחום 1 ≤ x ≤ 2:
h(x) = −ex242x < 0
m(x) = eh(x) > 0
h(x) · m(x) < 0
הפונקצייה שמתחת לאינטגרל שלילית בכל התחום, והגבול העליון גדול מן התחתון:📐 אינטגרל של פונקצייה שליליתf < 0 בתחום – האינטגרל שלילי
✅ פתרון סופי: שלילי

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אa = 4
סעיף בf(x) = 4e−x24
סעיף ג (1)זוגית
סעיף ג (2)y = 0
סעיף ג (3)(0 , 4) מקסימום
סעיף ג (4)ראו סקיצה
סעיף דf′(x) – גרף I
h(x) – גרף II
m(x) – גרף III
סעיף ה (1)x < −√2 , x > √2
סעיף ה (2)שלילי
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 30 – הרכבה על פונקציה: e בחזקת f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציה לוגריתמית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 1 − ln xln x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).

(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = ln(−f(x)).

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה g(x).

(3) מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה g(x).

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).

נסמן ב־a את שיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) וגרף הפונקצייה g(x).

ג. מבין הביטויים I–III קבעו איזה ביטוי הוא הגדול ביותר ואיזה ביטוי הוא הקטן ביותר (אין צורך למצוא את הערך של a). נמקו את תשובתכם.

I. ∫a+2a+1 (g(x) − f(x)) dx

II. ∫a+4a+3 (g(x) − f(x)) dx

III. המספר 1

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

ln x מוגדר רק עבור x > 0, והמכנה ln x ≠ 0:📐 תחום של lnln x מוגדר כאשר x > 0
ln x ≠ 0 , x ≠ 1
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1

סעיף א (2) – אסימפטוטות

f(x) = 1ln x − 1
ליד x = 1 המכנה ln x שואף ל־0, ולכן f שואפת ל־±∞. אסימפטוטה אנכית:
x = 1
כאשר x שואף ל־∞ (וגם כאשר x שואף ל־0 מימין), |ln x| שואף ל־∞:
1ln x → 0 , f(x) → −1
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = −1

סעיף א (3) – עלייה וירידה

f′(x) = −1(ln x)2 · 1x = −1x(ln x)2📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
(1u)′ = −u′u2
המונה −1 שלילי, ובתחום ההגדרה המכנה x(ln x)2 חיובי.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־0 < x < 1 וב־x > 1.
✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < 1 , x > 1 ; עלייה: אין

סעיף א (4) – סקיצה של f

חיתוך עם ציר ה־x: 1 − ln x = 0, x = e. משמאל ל־1 הגרף מתחת ל־y = −1 ויורד אל −∞; מימין ל־1 הוא יורד מ־+∞ דרך (e , 0) אל y = −1.
xy(e , 0)y = −1x = 1f(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g

g(x) = ln(−f(x)) מוגדרת כאשר:📐 תחום של lnln u מוגדר כאשר u > 0
−f(x) > 0 , f(x) < 0
לפי הסקיצה של f (או: 1ln x < 1): כאשר 0 < x < 1 כל הענף מתחת ל־−1; כאשר x > 1: f < 0 מימין לנקודה (e , 0).
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1 , x > e

סעיף ב (2) – אסימפטוטות של g

ליד x = 1 משמאל, −f שואפת ל־+∞, ולכן גם g שואפת ל־+∞.
ליד x = e מימין, −f שואפת ל־0 (חיובית), ולכן g שואפת ל־−∞.
כאשר x שואף ל־∞, −f שואפת ל־1:
g(x) → ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: x = 1 , x = e , y = 0

סעיף ב (3) – חיוביות ושליליות

ln u > 0 כאשר u > 1, ו־ln u < 0 כאשר 0 < u < 1.📐 סימן של lnln u > 0 כאשר u > 1
g(x) > 0 : −f(x) > 1 , f(x) < −1
לפי סעיף א, f(x) < −1 בתחום 0 < x < 1 (1ln x < 0), ו־−1 < f(x) < 0 בתחום x > e.
✅ פתרון סופי: חיובית: 0 < x < 1 ; שלילית: x > e

סעיף ב (4) – סקיצה של g

בתחום 0 < x < 1: חיובית, יוצאת מ־0 (נקודה ריקה בראשית) ועולה אל האסימפטוטה x = 1. בתחום x > e: שלילית, עולה מ־−∞ אל y = 0.
לא גוזרים את g. מהסקיצה של f (סעיף א(4)): f יורדת בשני התחומים, ולכן −f עולה בהם. ‏ln פונקציה עולה, ולכן גם g = ln(−f) עולה בשני התחומים. אין נקודות קיצון.📐 הרכבה עם lnln עולה, ולכן ln(u(x)) עולה ויורדת יחד עם u(x)
xyx = 1x = eg(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג – הגדול והקטן מבין I–III

לפי הסקיצות, החיתוך x = a נמצא בתחום x > e (בתחום 0 < x < 1 g > 0 ו־f < −1). מימין ל־a: g עולה ו־f יורדת, ולכן:
x > a : g(x) − f(x) > 0
ההפרש g − f עולה (פונקצייה עולה פחות פונקצייה יורדת). וגם g(x) < 0 ו־f(x) > −1:
0 < g(x) − f(x) < 0 − (−1) = 1
בכל אחד משני האינטגרלים אורך התחום הוא 1, והפונקצייה חיובית וקטנה מ־1:📐 חסם לאינטגרל0 < F(x) < 1 בקטע באורך 1 – האינטגרל בין 0 ל־1
0 < I < 1 , 0 < II < 1
ההפרש g − f עולה, והתחום של II [a + 3 , a + 4] נמצא מימין לתחום של I [a + 1 , a + 2], ולכן:
I < II < 1
✅ פתרון סופי: הגדול ביותר: III (המספר 1) ; הקטן ביותר: I

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x > 0 , x ≠ 1
סעיף א (2)x = 1 , y = −1
סעיף א (3)ירידה: 0 < x < 1 , x > 1 ; עלייה: אין
סעיף א (4)ראו סקיצה
סעיף ב (1)0 < x < 1 , x > e
סעיף ב (2)x = 1 , x = e , y = 0
סעיף ב (3)חיובית: 0 < x < 1 ; שלילית: x > e
סעיף ב (4)ראו סקיצה
סעיף גהגדול ביותר: III (המספר 1) ; הקטן ביותר: I
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 29 – בהינתן f(x): שרטוט ln(−f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות