מה הפתרון של שאלה 1 (שאלות קצרות) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: הוכחה באינדוקציה; ב (1): הוכחה; ב (2): רדיוס המעגל החוסם √3R/2; ג (1): f – גרף ד, h – גרף ג, k – גרף א; ג (2): n אי־זוגי (n ≥ 3); ד (2): f′ עולה לכל x ≠ 0, אין ירידה; ד (3): הסדר 3, 4, 2, 1.

מה הפתרון של שאלה 2 (סדרה חשבונית) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: הוכחה; ב: ההפרש d שלילי; ג: 39 איברים; ד: d = −2.

מה הפתרון של שאלה 3 (הסתברות) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: 3p/5; ב: 54%; ג: 90/529 ≈ 0.170; ד: ≈ 0.9976.

מה הפתרון של שאלה 4 (גאומטריה במעגל) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: הוכחת דמיון; ב: 4S/3; ג: 175S/96; ד: הוכחה; ה: הזוויות COE ו־CKE ישרות ולכן O, C, E, K על המעגל שקוטרו CE.

מה הפתרון של שאלה 5 (טרפז חסום ומשפט הסינוסים) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א (1): 2x − 120, 120, 180 − 2x; א (2): AB = √3k/(2 sin x), DC = k·sin(2x − 120)/sin x; ב: x = 75 מעלות; ג: k = 2.

מה הפתרון של שאלה 6 (פונקציה רציונלית עם פרמטר) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: x ≠ 4; אסימפטוטות x = 4, y = 1; חיתוכים (±a, 0), (0, −a²/16); מינימום ב־x = a²/4; ב (2): השטח a²/12.

מה הפתרון של שאלה 7 (חקירת פונקציית שורש) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: x 0; אין חיתוך עם הצירים; אסימפטוטות x = −1, y = 2 מימין, y = −2 משמאל; עולה ב־x > 0, יורדת ב־x < −1; ג: גרף I; ד: השטח ≈ 0.217.

מה הפתרון של שאלה 8 (בעיית קיצון) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: 0 < x < 45 מעלות; ב: h/(2 sin x) − h cos 2x; ג: x = π/6 (30 מעלות); ד: היחס 4.

בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2023 מועד ב'

Q: מה הפתרון של שאלה 8 (בעיית קיצון) בבגרות 571 קיץ 2023 מועד ב'?

א: 0 < x < 45 מעלות; ב: h/(2 sin x) − h cos 2x; ג: x = π/6 (30 מעלות); ד: היחס 4.

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות, סדרות והסתברות (שאלות 1–3; בשאלה 1 עונים על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 5 שאלות, לפחות שאלה אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. כאן פתורות כל 8 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד ב'

שאלון 571 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 1 — עמוד 1 מתוך 7

שאלון 571 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 2 — עמוד 2 מתוך 7

שאלון 571 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 3 — עמוד 3 מתוך 7

שאלון 571 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 4 — עמוד 4 מתוך 7

שאלון 571 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 5 — עמוד 5 מתוך 7

שאלון 571 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 6 — עמוד 6 מתוך 7

שאלון 571 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 7 — עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

פרק ראשון – שאלות קצרות, סדרות והסתברות
שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, גאומטרייה, התאמת גרפים, גרף הנגזרת
שאלה 2 – סדרה חשבונית: סכום האיברים האמצעיים
שאלה 3 – הסתברות: מנויים בחיפה ובתל אביב, מותנית וברנולי
פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
שאלה 4 – גאומטרייה: משיק, חותך וטרפז במעגל
שאלה 5 – טריגונומטריה: טרפז חסום במעגל ומשפט הסינוסים
פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר ושטח
שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש וגרף הנגזרת השנייה
שאלה 8 – בעיית קיצון טריגונומטרית: מלבן ומשולש

שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, גאומטרייה, התאמת גרפים, גרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. בעבור כל n טבעי הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי מתקיים: A2 + A2² + … + A2ⁿ = A(1 − 12ⁿ) . A הוא פרמטר.

ב. הנקודה B היא אמצע הקטע AC. AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

מן הנקודה C מעבירים ישר המשיק למעגל בנקודה D. בנקודה A מעבירים משיק נוסף למעגל. שני המשיקים נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).

(1) הוכיחו כי המרובע AODE הוא בר חסימה במעגל.

(2) הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החוסם את המרובע AODE.

ג. לפניכם שלוש פונקציות והגרפים א–ד. כל אחת מן הפונקציות מתוארת על ידי אחד מן הגרפים.

f(x) = √(x²(x + 2)) , h(x) = √(x(x + 2)) , k(x) = x√(x + 2)

(1) בעבור כל אחת מן הפונקציות, קבעו איזה מן הגרפים מתאר אותה. נמקו את קביעותיכם.

נתונה הפונקציה g(x) = xⁿ√(x + 2) , n הוא פרמטר טבעי גדול מ־1.

(2) מצאו עבור אילו ערכים של n הגרף הנותר מתאר את הפונקציה g(x).

ד. לפניכם גרף של הפונקציה f(x), המוגדרת לכל x ≠ 0.

הישרים y = 2 ו־x = 0 הם אסימפטוטות של הפונקציה f(x). הפונקציה f(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.

(1) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

(2) רשמו את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת f′(x) (אם יש כאלה).

נתון: a > 0 הוא פרמטר.

(3) סדרו את הביטויים (1)–(4) שלפניכם מן הקטן ביותר אל הגדול ביותר (כתבו בצד שמאל את מספרו של הביטוי הקטן ביותר וכן הלאה).

(1) ∫_a^a+1 f(x)dx , (2) ∫_a+1^a+2 f(x)dx , (3) ∫_a^a+1 f′(x)dx , (4) המספר 2.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

נוכיח באינדוקציה.

שלב 1 – בדיקה עבור n = 1:📐 שיטה: אינדוקציה1. בדיקה עבור n = 12. הנחה עבור n = k3. הוכחה עבור n = k + 1

אגף שמאל:

אגף ימין:

A(1 − 12) = A2

שני האגפים שווים ✔

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור n = k:

A2 + … + A2^k = A(1 − 12^k)

שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1: צריך להראות ש־

A2 + … + A2^k + A2^k+1 = A(1 − 12^k+1)

לפי ההנחה, סכום k המחוברים הראשונים הוא A(1 − 12^k). לכן אגף שמאל:

A(1 − 12^k) + A2^k+1

= A − A2^k + A2^k+1

נרחיב את A2^k ל־2A2^k+1:

= A − 2A2^k+1 + A2^k+1

= A − A2^k+1

= A(1 − 12^k+1)

קיבלנו את אגף ימין, ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הטענה הוכחה לכל n טבעי

סעיף ב (1) – המרובע AODE בר חסימה

הרדיוס OA מאונך למשיק AE, והרדיוס OD מאונך למשיק CE:

∢OAE = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∢ODE = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

אלה זוויות נגדיות במרובע AODE:

∢OAE + ∢ODE = 90 + 90 = 180📐 משפט: מרובע בר חסימהסכום זוגות זוויות נגדיות 180 מעלות

סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות, ולכן המרובע בר חסימה במעגל.

✅ פתרון סופי: המרובע AODE בר חסימה (זוויות נגדיות 90 + 90)

סעיף ב (2) – רדיוס המעגל החוסם את AODE

הזווית ∢OAE = 90 היא זווית היקפית במעגל החוסם, ולכן OE הוא קוטר של המעגל החוסם:

r = OE2📐 משפט: זווית היקפית ישרהזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

נחשב אורכים. AB = 2R ו־B אמצע AC:

BC = AB = 2R

OC = OB + BC = R + 2R = 3R

AC = 4R

במשולש ODC (ישר־זווית ב־D):

CD² = OC² − OD²📐 משפט: משפט פיתגורסa² + b² = c²

CD² = 9R² − R² = 8R²

CD = √8R = 2√2R

המשולשים CDO ו־CAE דומים: ∢CDO = ∢CAE = 90 וזווית C משותפת. לכן:

AEDO = CACD📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים, והצלעות המתאימות פרופורציונליות

AER = 4R2√2R

AE = 4R2√2 = √2R

במשולש OAE (ישר־זווית ב־A):

OE² = OA² + AE²📐 משפט: משפט פיתגורסa² + b² = c²

OE² = R² + 2R² = 3R²

OE = √3R

רדיוס המעגל החוסם:

r = √3R2

━ המעגל הנתון (כחול) ━ המשיקים (ירוק) ━ המעגל החוסם את AODE (סגול)

הסרטוט בקנה מידה עם R = 1.

✅ פתרון סופי: r = √32R

סעיף ג (1) – התאמת גרפים

f(x): x² ≥ 0, ולכן התנאי הוא x + 2 ≥ 0:

x ≥ −2📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

הפונקציה היא שורש, ולכן f(x) ≥ 0 לכל x. היא מתאפסת ב־x = −2 וב־x = 0 וחיובית ביניהן.

תחום אחד שמתחיל ב־−2, גרף שלא יורד מתחת לציר – גרף ד.📐 משפט: ערך שורששורש ריבועי אינו שלילי

h(x): צריך x(x + 2) ≥ 0:

x ≤ −2 או x ≥ 0📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

תחום ההגדרה בנוי משני חלקים נפרדים – זה גרף ג.

k(x): תחום x ≥ −2. בתחום −2 < x < 0 השורש חיובי ו־x שלילי, ולכן k(x) < 0. נבדוק את השיפוע בראשית:

k′(x) = √(x + 2) + x2√(x + 2)

k′(0) = √2 ≠ 0

הגרף חוצה את הראשית בשיפוע (לא משיק אופקי) – זה גרף א. (בגרף ב המשיק בראשית אופקי.)

✅ פתרון סופי: f – גרף ד , h – גרף ג , k – גרף א

סעיף ג (2) – הערכים של n

הגרף שנותר הוא גרף ב: בתחום −2 < x < 0 הוא מתחת לציר ה־x, ובתחום x > 0 מעליו.

בתחום −2 < x < 0 מתקיים √(x + 2) > 0, ולכן הסימן של g(x) הוא הסימן של xⁿ.

כדי ש־xⁿ יהיה שלילי עבור x שלילי, החזקה n צריכה להיות אי־זוגית. עבור x > 0 אז g(x) > 0 ✔

בנוסף n > 1, ולכן g′(0) = 0 – משיק אופקי בראשית, כמו בגרף ב.

n = 3 , 5 , 7 , …

✅ פתרון סופי: n אי־זוגי, n ≥ 3

סעיף ד (1) – סקיצה של f′(x)

משמאל ל־0 (x < 0): f עולה, ולכן f′(x) > 0. הפונקציה קעורה כלפי מעלה, ולכן f′ עולה.

כאשר x → −∞ הגרף של f מתיישר לאסימפטוטה האופקית, ולכן f′(x) → 0. ליד x = 0 הגרף של f עולה בתלילות, ולכן f′(x) → ∞.

מימין ל־0 (x > 0): f יורדת, ולכן f′(x) < 0, ושוב f′ עולה: מ־−∞ ליד x = 0 אל 0 כאשר x → ∞.

━ f′(x) (ירוק)

סעיף ד (2) – תחומי עלייה וירידה של f′

הפונקציה f קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה, ולכן f″(x) > 0 – כלומר f′ עולה בכל תחום הגדרתה.

אין תחום שבו f′ יורדת.📐 משפט: קעירותקעורה כלפי מעלה ⟸ f″ > 0 ⟸ f′ עולה

✅ פתרון סופי: עולה: x < 0 , x > 0 ; יורדת: אין

סעיף ד (3) – סידור הביטויים

בתחום x > 0 הפונקציה יורדת אל האסימפטוטה y = 2, ולכן f(x) > 2 לכל x > 0.

ביטוי (3):

∫_a^a+1 f′(x)dx = f(a + 1) − f(a)📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

הפונקציה יורדת ב־x > 0, ולכן f(a + 1) < f(a):

(3) < 0

ביטוי (2): אורך הקטע 1 ו־f(x) > 2 בו:

∫_a+1^a+2 f(x)dx > ∫_a+1^a+2 2dx = 2📐 משפט: השוואת אינטגרליםאם g(x) > h(x) בקטע אז האינטגרל של g גדול יותר

(2) > 2 = (4)

ביטוי (1) לעומת (2): f יורדת, ולכן כל ערך שלה בקטע [a , a + 1] גדול מכל ערך בקטע [a + 1 , a + 2] (שניהם באורך 1):

(1) > (2)📐 משפט: השוואת אינטגרליםאם g(x) > h(x) בקטע אז האינטגרל של g גדול יותר

הסדר מהקטן לגדול:

(3) < (4) < (2) < (1)

✅ פתרון סופי: 3 , 4 , 2 , 1 (מהקטן לגדול)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	הוכחה
סעיף ב (2)	√32R
סעיף ג (1)	f – ד , h – ג , k – א
סעיף ג (2)	n אי־זוגי (n ≥ 3)
סעיף ד (1)	סקיצה
סעיף ד (2)	עולה x ≠ 0 , אין ירידה
סעיף ד (3)	3 , 4 , 2 , 1

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 77 – קשר בין f, f′, f″ (שאלה קצרה 2023)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרה חשבונית: סכום האיברים האמצעיים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית בת 3n איברים: a₁ , a₂ , … , a_3n. הפרש הסדרה הוא d.

נסמן ב־S*_n את סכום n האיברים האמצעיים בסדרה (a_n+1 , … , a_2n), וב־S_3n את סכום כל איברי הסדרה.

א. הוכיחו כי S*_n = 13S_3n.

נתון: a₁ > 0 , S*_n = 0.

ב. האם הפרש הסדרה d חיובי או שלילי? נמקו.

נתון גם: a₁ = 19|d|.

ג. מצאו את מספר האיברים בסדרה.

מאיברי הסדרה הנתונה בונים סדרה חשבונית חדשה: a₂ , a₅ , a₈ , … , a_3n−4. סכום הסדרה החדשה הוא 36.

ד. מצאו את d.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הוכחה

האיברים האמצעיים a_n+1 , … , a_2n הם סדרה חשבונית בת n איברים. האיבר הראשון והאחרון שלה:

a_n+1 = a₁ + nd📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a_2n = a₁ + (2n − 1)d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

S*_n = n2(a_n+1 + a_2n)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתS_n = n2(a₁ + a_n)

S*_n = n2(a₁ + nd + a₁ + (2n − 1)d)

S*_n = n2(2a₁ + (3n − 1)d)

סכום כל 3n האיברים:

S_3n = 3n2(2a₁ + (3n − 1)d)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתS_n = n2(2a₁ + (n − 1)d)

נשווה:

S_3n = 3 · n2(2a₁ + (3n − 1)d)

S_3n = 3S*_n

S*_n = 13S_3n

✅ פתרון סופי: S*_n = 13S_3n הוכח

סעיף ב – סימן ההפרש

נתון S*_n = 0, ולפי סעיף א:

n2(2a₁ + (3n − 1)d) = 0

n > 0, ולכן:

2a₁ + (3n − 1)d = 0

d = −2a₁3n − 1

המונה שלילי (כי a₁ > 0) והמכנה חיובי (כי n ≥ 1), ולכן d < 0.

✅ פתרון סופי: ההפרש d שלילי

סעיף ג – מספר האיברים

ההפרש שלילי, ולכן |d| = −d:

a₁ = 19|d| = −19d

נציב במשוואה מסעיף ב:

2 · (−19d) + (3n − 1)d = 0

−38d + (3n − 1)d = 0

נחלק ב־d (d ≠ 0):

−38 + 3n − 1 = 0

3n = 39

n = 13

מספר האיברים בסדרה הוא 3n:

3n = 39

✅ פתרון סופי: 39 איברים

סעיף ד – הפרש הסדרה

הסדרה החדשה: a₂ , a₅ , … , a₃₅ (כי 3n − 4 = 39 − 4 = 35). ההפרש בה 3d. מספר האיברים:

a₃₅ = a₂ + (m − 1) · 3d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

האינדקסים 2, 5, …, 35 עולים ב־3:

35 = 2 + (m − 1) · 3

33 = 3(m − 1)

m = 12

נבטא את האיבר הראשון והאחרון באמצעות d (a₁ = −19d):

a₂ = a₁ + d = −19d + d = −18d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a₃₅ = a₁ + 34d = −19d + 34d = 15d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

סכום הסדרה החדשה:

S = 122(a₂ + a₃₅)📐 נוסחה: סכום סדרה חשבוניתS_n = n2(a₁ + a_n)

S = 6(−18d + 15d)

S = 6 · (−3d) = −18d

לפי הנתון הסכום הוא 36:

−18d = 36

d = −2

בהתאם לסעיף ב, d שלילי ✔

✅ פתרון סופי: d = −2

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	שלילי
סעיף ג	39
סעיף ד	d = −2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: מנויים בחיפה ובתל אביב, מותנית וברנולי

📄 נוסח השאלה

המנויים של עיתון מסוים גרים בחיפה או בתל אביב בלבד.

בבוקר מסוים חלק מן המנויים קיבלו את העיתון בזמן, והשאר לא קיבלו אותו בזמן.

ההסתברות שמנוי שגר בחיפה קיבל את העיתון בזמן היא 34.

ההסתברות שמנוי שקיבל את העיתון בזמן גר בחיפה היא 59.

נסמן ב־p את ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בחיפה.

א. הביעו באמצעות p את ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בתל אביב וקיבל את העיתון בזמן.

נתון: ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בתל אביב ולא קיבל את העיתון בזמן גדולה פי 1.5 מן ההסתברות שמנוי שנבחר באקראי גר בתל אביב וקיבל את העיתון בזמן.

ב. מהו אחוז המנויים שקיבלו את העיתון בזמן?

בוחרים באקראי שני מנויים שלא קיבלו את העיתון בזמן.

ג. מהי ההסתברות שהראשון גר בתל אביב והשני גר בחיפה?

בבוקר זה התקשרו 6 מנויים שלא קיבלו את העיתון בזמן.

ד. מהי ההסתברות שלכל היותר 4 מהם גרים בחיפה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – גר בתל אביב וקיבל בזמן

נסמן: H – גר בחיפה, A – גר בתל אביב, Z – קיבל את העיתון בזמן.

P(H) = p , P(A) = 1 − p

לפי הנתון הראשון:

P(Z | H) = 34

P(H ∩ Z) = P(H) · P(Z | H) = 34p📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

לפי הנתון השני:

P(H | Z) = P(H ∩ Z)P(Z) = 59📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

34pP(Z) = 59

P(Z) = 34p · 95 = 2720p

מי שקיבל בזמן גר בחיפה או בתל אביב:

P(A ∩ Z) = P(Z) − P(H ∩ Z)📐 נוסחה: הסתברות שלמהP(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B)

P(A ∩ Z) = 2720p − 1520p = 1220p = 35p

✅ פתרון סופי: 35p

סעיף ב – אחוז המקבלים בזמן

לפי הנתון:

P(A ∩ Z̄) = 1.5 · 35p = 910p

כל מנוי מתל אביב קיבל בזמן או לא קיבל בזמן:

P(A) = P(A ∩ Z) + P(A ∩ Z̄)📐 נוסחה: הסתברות שלמהP(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B)

1 − p = 35p + 910p

1 − p = 1510p = 1.5p

1 = 2.5p

p = 0.4

נציב ב־P(Z) מסעיף א:

P(Z) = 2720 · 0.4 = 0.54

✅ פתרון סופי: 54%

סעיף ג – הראשון מתל אביב והשני מחיפה

נחשב את ההסתברויות של מי שלא קיבל בזמן (p = 0.4):

P(Z̄) = 1 − 0.54 = 0.46📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)

P(H ∩ Z̄) = P(H) − P(H ∩ Z)

P(H ∩ Z̄) = 0.4 − 34 · 0.4 = 0.1

P(A ∩ Z̄) = 910 · 0.4 = 0.36

בין מי שלא קיבלו בזמן:

P(A | Z̄) = 0.360.46 = 1823📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P(H | Z̄) = 0.10.46 = 523📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

הבחירות של שני המנויים בלתי תלויות (אוכלוסייה גדולה):

P = 1823 · 523📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

P = 90529 ≈ 0.170

✅ פתרון סופי: 90529 ≈ 0.170

סעיף ד – לכל היותר 4 מחיפה

כל אחד מ־6 המנויים (שלא קיבלו בזמן) גר בחיפה בהסתברות 523, באופן בלתי תלוי. זו התפלגות ברנולי עם n = 6 , p = 523.

"לכל היותר 4" – המשלים הוא "5 או 6":

P(X ≤ 4) =📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)

= 1 − P(X = 5) − P(X = 6)

P(X = 5) = 6 · (523)⁵ · 1823📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) == C(n , k) · p^k · (1 − p)^n−k

P(X = 5) ≈ 0.00228

P(X = 6) = (523)⁶📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) == C(n , k) · p^k · (1 − p)^n−k

P(X = 6) ≈ 0.00011

P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0.00228 − 0.00011

P(X ≤ 4) ≈ 0.9976

✅ פתרון סופי: ≈ 0.9976

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	35p
סעיף ב	54%
סעיף ג	90529 ≈ 0.170
סעיף ד	≈ 0.9976

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 37 – בגרות 2023 מועד ב

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: משיק, חותך וטרפז במעגל

📄 נוסח השאלה סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

הנקודה B נמצאת מחוץ למעגל. BC משיק למעגל בנקודה C. הישר BA חותך את המעגל בנקודות E ו־A.

הנקודה D נמצאת על המעגל כך ש־CD ∥ EA. המיתרים ED ו־AC נחתכים בנקודה K (ראו סרטוט).

א. הוכיחו: △CEB ∼ △DCE.

נתון: ED = 7 , AK = 3. נסמן ב־S את שטח המשולש CEK.

ב. הביעו באמצעות S את שטח המשולש CKD.

נתון גם: BC = 35√32.

ג. הביעו באמצעות S את שטח המשולש CEB.

הנקודה O היא מרכז המעגל.

ד. הוכיחו: ∢COE = ∢CKE.

נתון: ∢CAE = 45 מעלות.

ה. הסבירו מדוע הנקודות O , C , E , K נמצאות על מעגל אחד.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחת דמיון

נשווה זוויות במשולשים CEB ו־DCE:

זוג ראשון: ∢BCE היא זווית בין המשיק BC למיתר CE, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על CE:

∢BCE = ∢CDE📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

זוג שני: CD ∥ BA, ו־CE חותך אותם:

∢CEB = ∢DCE📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

שתי זוויות שוות, ולכן:

△CEB ∼ △DCE📐 משפט: דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים

(התאמה: C ↔ D , E ↔ C , B ↔ E.)

━ המעגל (כחול) ━ המשיק BC (ירוק) ━ האלכסונים CA , ED (סגול) ━ המשולש CEK (תכלת)

הסרטוט בקנה מידה לפי הנתונים: ED = 7 , AK = 3 , BC = 35√32

✅ פתרון סופי: △CEB ∼ △DCE הוכח

סעיף ב – שטח המשולש CKD

CD ∥ EA, ולכן המרובע CDAE הוא טרפז חסום במעגל – טרפז שווה שוקיים, ואלכסוניו שווים:

AC = ED = 7📐 משפט: מיתרים מקביליםמיתרים מקבילים במעגל ⟸ טרפז שווה שוקיים, אלכסונים שווים

KC = AC − AK = 7 − 3 = 4

המשולשים KEA ו־KDC דומים (EA ∥ CD, זוויות מתחלפות), ולכן:

EKKD = AKKC = 34📐 משפט: דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים

ו־EK + KD = ED = 7:

EK = 3 , KD = 4

למשולשים CEK ו־CKD אותו גובה מ־C לישר ED, ולכן:

S_CKDS_CEK = KDEK = 43📐 משפט: יחס שטחיםמשולשים עם אותו גובה – יחס השטחים = יחס הבסיסים

S_CKD = 43S

✅ פתרון סופי: S_CKD = 43S

סעיף ג – שטח המשולש CEB

שטח המשולש DCE:

S_DCE = S_CEK + S_CKD = S + 43S = 73S

לפי סעיף א, △CEB ∼ △DCE והצלע CB מתאימה לצלע DE. יחס הדמיון:

k = CBDE = 35√327 = 5√32

k² = 2532

S_CEB = k² · S_DCE📐 משפט: יחס שטחים במשולשים דומיםS₁ : S₂ = k²k – יחס הדמיון

S_CEB = 2532 · 73S

S_CEB = 17596S

✅ פתרון סופי: S_CEB = 17596S

סעיף ד – הוכחה: ∢COE = ∢CKE

∢COE היא זווית מרכזית ו־∢CAE זווית היקפית, שתיהן נשענות על הקשת CE:

∢COE = 2∢CAE📐 משפט: זווית מרכזיתזווית מרכזית = פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת

∢CKE היא זווית חיצונית למשולש KCD:

∢CKE = ∢KCD + ∢KDC📐 משפט: זווית חיצוניתזווית חיצונית למשולש = סכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה

∢KCD = ∢ACD, ו־CD ∥ EA:

∢ACD = ∢CAE📐 משפט: זוויות מתחלפותבין ישרים מקבילים זוויות מתחלפות שוות

∢KDC = ∢EDC היא זווית היקפית שנשענת על הקשת CE, כמו ∢CAE:

∢EDC = ∢CAE📐 משפט: זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת – שוות

לכן:

∢CKE = ∢CAE + ∢CAE = 2∢CAE

∢CKE = ∢COE

✅ פתרון סופי: ∢COE = ∢CKE = 2∢CAE הוכח

סעיף ה – O, C, E, K על מעגל אחד

לפי סעיף ד, עם ∢CAE = 45:

∢COE = ∢CKE = 2 · 45 = 90

הנקודות O ו־K רואות את הקטע CE בזווית ישרה, ולכן שתיהן נמצאות על המעגל שהקטע CE הוא קוטרו (זווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר).

לכן O , C , E , K נמצאות על מעגל אחד – המעגל שקוטרו CE.📐 משפט: זווית היקפית ישרהזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

✅ פתרון סופי: כי ∢COE = ∢CKE = 90 – שתיהן על המעגל שקוטרו CE

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	43S
סעיף ג	17596S
סעיף ד	הוכחה
סעיף ה	הסבר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטריה: טרפז חסום במעגל ומשפט הסינוסים

📄 נוסח השאלה סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

הטרפז ABCD (AB ∥ DC) חסום במעגל. המשכי השוקיים AD ו־BC נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).

נתון: ∢ACB = 60 מעלות, AC = k. נסמן ∢CDE = x (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית).

א. (1) הביעו באמצעות x את הזוויות של המשולש ACE.

(2) הביעו באמצעות x ו־k את AB ואת DC.

נתון: שטח המשולש ABE גדול פי 3 משטח המשולש DCE.

ב. מצאו את x.

נתון: אורך התיכון לצלע EC במשולש AEC הוא √7.

ג. מצאו את k.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – הזוויות של המשולש ACE

טרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס AB שוות:

∢EAB = ∢EBA📐 משפט: טרפז חסום במעגלטרפז חסום במעגל הוא שווה שוקיים

∢CDE היא זווית חיצונית של המרובע החסום ABCD (צמודה ל־∢ADC), ולכן היא שווה לזווית שמול ∢ADC:

∢ABC = ∢CDE = x📐 משפט: זווית חיצונית למרובע חסוםשווה לזווית הפנימית שמול הזווית הצמודה לה

∢EAB = ∢EBA = x

במשולש ABE:

∢E = 180 − 2x📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות

הנקודות E , C , B על ישר אחד, ולכן:

∢ACE = 180 − ∢ACB📐 משפט: זוויות צמודותסכומן 180 מעלות

∢ACE = 180 − 60 = 120

במשולש ACE:

∢CAE = 180 − 120 − (180 − 2x)📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות

∢CAE = 2x − 120

✅ פתרון סופי: ∢CAE = 2x − 120 , ∢ACE = 120 , ∢AEC = 180 − 2x

סעיף א (2) – AB ו־DC

AB: במשולש ABC (∢ABC = x, ∢ACB = 60):

ABsin 60 = ACsin x📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = 2R

AB = k · sin 60sin x = √3k2 sin x

DC: במשולש ADC: ∢DAC = ∢CAE = 2x − 120 , ו־∢ADC = 180 − x (צמודה ל־∢CDE):

DCsin(2x − 120) = ACsin(180 − x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = 2R

sin(180 − x) = sin x📐 נוסחה: זהותsin(180 − a) = sin a

DC = k · sin(2x − 120)sin x

✅ פתרון סופי: AB = √3k2 sin x , DC = k sin(2x − 120)sin x

סעיף ב – הזווית x

DC ∥ AB, ולכן △DCE ∼ △ABE (זוויות מתאימות). יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

(ABDC)² = 3📐 משפט: יחס שטחים במשולשים דומיםS₁ : S₂ = k²

ABDC = √3

נציב מסעיף א (2) (k ו־sin x מצטמצמים):

√32 sin(2x − 120) = √3

2 sin(2x − 120) = 1

sin(2x − 120) = 12

2x − 120 = 30 או 2x − 120 = 150

x = 75 או x = 135

הזוויות של המשולש ACE חיוביות: 2x − 120 > 0 ו־180 − 2x > 0, כלומר 60 < x < 90. לכן:

x = 75

✅ פתרון סופי: x = 75 מעלות

סעיף ג – הערך של k

עם x = 75 הזוויות של המשולש AEC:

∢CAE = 2 · 75 − 120 = 30

∢AEC = 180 − 2 · 75 = 30

∢ACE = 120

∢CAE = ∢AEC, ולכן המשולש שווה שוקיים:

CE = CA = k📐 משפט: משולש שווה שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות

נסמן ב־M את אמצע EC:

CM = k2

נוריד אנך AH מ־A להמשך EC (מעבר ל־C). הזווית ∢ACH = 180 − 120 = 60. במשולש ACH (ישר־זווית ב־H):

AH = k · sin 60 = √32k📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר

CH = k · cos 60 = k2📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר

MH = MC + CH = k2 + k2 = k

במשולש AMH (ישר־זווית ב־H):

AM² = AH² + MH²📐 משפט: משפט פיתגורסa² + b² = c²

AM² = 34k² + k² = 74k²

AM = √72k

לפי הנתון AM = √7:

√72k = √7

k = 2

━ הטרפז והשוקיים (כחול) ━ AC = k (סגול) ━ התיכון AM (ירוק)

הסרטוט בקנה מידה עם התשובות: זווית CDE של 75 מעלות ו־k = 2.

✅ פתרון סופי: k = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)	2x − 120 , 120 , 180 − 2x
סעיף א (2)	AB = √3k2 sin x DC = k sin(2x − 120)sin x
סעיף ב	x = 75
סעיף ג	k = 2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² − a²(x − 4)² , a הוא פרמטר, 0 < a < 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. הביעו באמצעות a אם יש צורך.

(4) מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה. הביעו באמצעות a אם יש צורך.

(5) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = x²(x − 4)².

ב. (1) הראו כי g(x) > f(x) לכל x בתחום ההגדרה של הפונקציות.

(2) הביעו באמצעות a את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(x), על ידי הגרף של g(x), על ידי הישר x = 1 ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

(x − 4)² ≠ 0📐 נוסחה: תחום הגדרההמכנה שונה מ־0

x ≠ 4

✅ פתרון סופי: x ≠ 4

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 4. המונה שם:

4² − a² = 16 − a² ≠ 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס

(כי 0 < a < 4), ולכן:

x = 4

אופקית: נפתח את המכנה: (x − 4)² = x² − 8x + 16. מעלת המונה שווה למעלת המכנה (2), והמקדמים המובילים 1 ו־1:

y = 11 = 1📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית – מנהמעלת המונה = מעלת המכנה ⟸ y = יחס המקדמים המובילים

✅ פתרון סופי: x = 4 , y = 1

סעיף א (3) – נקודות חיתוך עם הצירים

ציר ה־x (y = 0):

x² − a² = 0

x = a או x = −a

ציר ה־y (x = 0):

f(0) = 0 − a²(0 − 4)² = −a²16

✅ פתרון סופי: (a , 0) , (−a , 0) , (0 , −a²16)

סעיף א (4) – נקודת הקיצון

נגזור לפי נגזרת של מנה, u = x² − a² , v = (x − 4)²:

u′ = 2x

v′ = 2(x − 4)📐 נוסחה: נגזרת((x − 4)²)′ = 2(x − 4)

f′(x) = u′v − uv′v²📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

u′v − uv′ = 2x(x − 4)² −

− (x² − a²) · 2(x − 4)

f′(x) = u′v − uv′(x − 4)⁴

נצמצם ב־(x − 4):

f′(x) = 2x(x − 4) − 2(x² − a²)(x − 4)³

f′(x) = 2x² − 8x − 2x² + 2a²(x − 4)³

f′(x) = 2(a² − 4x)(x − 4)³

נשווה ל־0:

a² − 4x = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים

x = a²4

מכיוון ש־a < 4, מתקיים a²4 < 4. טבלת סימנים:

x	x < a²4	a²4	a²4 < x < 4
מונה	+	0	−
מכנה	−	−	−
f′	−	0	+
f	↘	מינ׳	↗

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית – נקודת מינימום.

✅ פתרון סופי: x = a²4 – מינימום

סעיף א (5) – סקיצה

נאסוף: משמאל הגרף מתקרב ל־y = 1 מלמטה, יורד, חותך את ציר ה־x ב־−a, את ציר ה־y ב־(0 , −a²16), מגיע למינימום ב־x = a²4 ועולה – חותך ב־a ושואף ל־∞ ליד x = 4.

מימין ל־x = 4: המונה של f′ שלילי והמכנה חיובי – הפונקציה יורדת מ־∞ אל האסימפטוטה y = 1.

━ f(x) (כחול)

הסרטוט בקנה מידה לדוגמה עם a = 2. המינימום: (1 , −13)

סעיף ב (1) – g(x) > f(x)

g(x) − f(x) = x² − (x² − a²)(x − 4)²

g(x) − f(x) = a²(x − 4)²

המונה a² > 0 והמכנה ריבוע חיובי (כי x ≠ 4), ולכן g(x) − f(x) > 0.

✅ פתרון סופי: g(x) − f(x) = a²(x − 4)² > 0

סעיף ב (2) – השטח

לפי ב (1) הגרף של g מעל הגרף של f, ולכן:

S = ∫₀¹ (g(x) − f(x))dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b (g(x) − f(x))dx(g מעל f)

S = ∫₀¹ a²(x − 4)²dx

S = a² [−1x − 4]₀¹📐 נוסחה: אינטגרל∫ 1(x − b)²dx = −1x − b + c

S = a²(−11 − 4 − (−10 − 4))

S = a²(13 − 14)

S = a²12

━ f(x) (כחול) ━ g(x) (ירוק) ━ השטח (תכלת)

✅ פתרון סופי: S = a²12

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)	x ≠ 4
סעיף א (2)	x = 4 , y = 1
סעיף א (3)	(±a , 0) , (0 , −a²16)
סעיף א (4)	x = a²4 מינימום
סעיף א (5)	סקיצה
סעיף ב (1)	הוכחה
סעיף ב (2)	a²12

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – חקירת מנה עם פרמטר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש וגרף הנגזרת השנייה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 2x√(x² + x).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) האם לגרף הפונקציה f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו.

(3) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

(4) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ג. לפניכם ארבעה גרפים I–IV. איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f″(x)? נמקו.

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f″(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 1 ו־x = 2.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

x² + x > 0📐 נוסחה: תחום הגדרהמכנה ≠ 0 , ביטוי בשורש ≥ 0 ⟸ ביטוי בשורש במכנה > 0

x(x + 1) > 0

הפרבולה x(x + 1) חיובית מחוץ לשורשים −1 ו־0:

x < −1 או x > 0

✅ פתרון סופי: x < −1 או x > 0

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0): x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך.

ציר ה־x (f(x) = 0): המונה מתאפס רק ב־x = 0, שאינו בתחום – אין חיתוך.

✅ פתרון סופי: לא – אין נקודות חיתוך עם הצירים

סעיף א (3) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = −1 וב־x = 0.

ב־x = −1 המונה −2 ≠ 0, ולכן כאשר x → −1 משמאל f(x) → −∞:

x = −1📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס

ב־x = 0 גם המונה מתאפס. עבור x > 0 נכתוב √(x² + x) = √x · √(x + 1):

f(x) = 2x√x · √(x + 1) = 2√x√(x + 1)

x → 0⁺ : f(x) → 0

לכן x = 0 אינה אסימפטוטה.

אופקיות: נוציא x² מהשורש: √(x² + x) = |x| · √(1 + 1x).

x → ∞ : f(x) = 2xx√(1 + 1/x) → 2

x → −∞ : f(x) = 2x−x√(1 + 1/x) → −2

✅ פתרון סופי: x = −1 , y = 2 (מימין) , y = −2 (משמאל)

סעיף א (4) – תחומי עלייה וירידה

נגזור לפי נגזרת של מנה, עם u = 2x , v = √(x² + x):

u′ = 2

v′ = 2x + 12√(x² + x)📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u

f′(x) = 2√(x² + x) − 2x · 2x + 12√(x² + x)x² + x📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

נכפיל מונה ומכנה ב־√(x² + x):

f′(x) = 2(x² + x) − x(2x + 1)(x² + x)√(x² + x)

f′(x) = 2x² + 2x − 2x² − x(x² + x)√(x² + x)

f′(x) = x(x² + x)√(x² + x)

המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של x:

x > 0: f′ > 0 – עולה.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת

x < −1: f′ < 0 – יורדת.

✅ פתרון סופי: עולה: x > 0 ; יורדת: x < −1

סעיף ב – סקיצה

נאסוף: בתחום x < −1 הגרף יורד מהאסימפטוטה y = −2 אל −∞ (ליד x = −1). בתחום x > 0 הגרף עולה מ־0 (עיגול ריק בראשית) אל האסימפטוטה y = 2.

━ f(x) (כחול)

סעיף ג – הגרף של f″(x)

נבדוק את הקעירות של f בכל אחד מהתחומים לפי הסקיצה:

• x < −1: f יורדת ומתרחקת מהאסימפטוטה כלפי −∞ בתלילות הולכת וגדלה – f′ יורדת (שלילית ותלולה יותר), ולכן f″ < 0.

• x > 0: f עולה ומתיישרת לאסימפטוטה y = 2 – השיפוע f′ קטן, ולכן f″ < 0.

לכן הגרף של f″ נמצא מתחת לציר ה־x בשני התחומים.

רק בגרף I שני הענפים מתחת לציר ה־x.📐 משפט: קעירותקעורה כלפי מעלה ⟸ f″ > 0 ⟸ f′ עולה

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ד – השטח

בקטע 1 ≤ x ≤ 2 מתקיים f″(x) < 0 (סעיף ג), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:

S = −∫₁² f″(x)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר ה־xS = −∫_a^b g(x)dx(כאשר g(x) ≤ 0 בקטע)

פונקציה קדומה של f″ היא f′:

S = −(f′(2) − f′(1))📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

S = f′(1) − f′(2)

f′(1) = 1(1 + 1)√(1 + 1) = 12√2

f′(2) = 2(4 + 2)√(4 + 2)

f′(2) = 26√6 = 13√6

S = 12√2 − 13√6

S ≈ 0.3536 − 0.1361 ≈ 0.217

✅ פתרון סופי: S = 12√2 − 13√6 ≈ 0.217

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)	x < −1 או x > 0
סעיף א (2)	לא
סעיף א (3)	x = −1 , y = 2 , y = −2
סעיף א (4)	עולה x > 0 , יורדת x < −1
סעיף ב	סקיצה
סעיף ג	גרף I
סעיף ד	≈ 0.217

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – חקירת שורש של פונקציית מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון טריגונומטרית: מלבן ומשולש

📄 נוסח השאלה סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

הנקודה E היא אמצע הצלע AB.

על הקטע AB בנו מלבן ABCD ומשולש ישר־זווית AFB (∢AFB = 90 מעלות), כמתואר בסרטוט.

נתון: ∢FAB = 2x , ∢ECB = x , AB = h.

א. מצאו את תחום הערכים האפשריים של x.

ב. הביעו באמצעות x ו־h את ההפרש CE − AF.

ג. מצאו את x שבעבורו ההפרש CE − AF מינימלי.

ד. מצאו את היחס בין שטח המלבן ABCD לשטח המשולש AFB בעבור x שמצאתם בסעיף ג.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הערכים של x

במשולש AFB הזווית F ישרה, ולכן הזווית ∢FAB חדה:

0 < 2x < 90📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות

0 < x < 45

גם במשולש EBC (ישר־זווית ב־B) הזווית x חדה – תנאי שכבר מתקיים.

ברדיאנים: 0 < x < π4.

✅ פתרון סופי: 0 < x < 45 מעלות (0 < x < π4)

סעיף ב – ההפרש CE − AF

במשולש EBC (ישר־זווית ב־B): EB = h2 הוא הניצב שמול הזווית x, ו־CE הוא היתר:

sin x = EBCE = h/2CE📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר

CE = h2 sin x

במשולש AFB (ישר־זווית ב־F): AF הוא הניצב שליד הזווית 2x, ו־AB = h הוא היתר:

cos 2x = AFAB = AFh📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר

AF = h cos 2x

ההפרש:

CE − AF = h2 sin x − h cos 2x

✅ פתרון סופי: CE − AF = h2 sin x − h cos 2x

סעיף ג – x שבעבורו ההפרש מינימלי

נסמן d(x) = h2 sin x − h cos 2x ונגזור (x ברדיאנים):

d′(x) = −h cos x2 sin²x + 2h sin 2x📐 נוסחה: נגזרות(1sin x)′ = −cos xsin²x(cos 2x)′ = −2 sin 2x

נשווה ל־0 ונחלק ב־h:

2 sin 2x = cos x2 sin²x📐 משפט: קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים

4 sin x cos x = cos x2 sin²x📐 נוסחה: זווית כפולהsin 2x = 2 sin x cos x

נכפיל ב־2 sin²x:

8 sin³x cos x = cos x

cos x(8 sin³x − 1) = 0

בתחום 0 < x < π4 מתקיים cos x ≠ 0, ולכן:

sin³x = 18

sin x = 12

x = π6

בדיקת סוג הקיצון (סימן הנגזרת):

x = π12 :

d′ ≈ h(−7.21 + 1) < 0

x = 2π9 :

d′ ≈ h(−0.93 + 1.97) > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית – נקודת מינימום.

✅ פתרון סופי: x = π6 (30 מעלות)

סעיף ד – יחס השטחים

עם x = 30 מעלות:

המלבן: במשולש EBC:

tan 30 = EBBC = h/2BC📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתtan = ניצב מולניצב ליד

BC = h2 tan 30 = h2 · √3 = √32h

S_ABCD = AB · BC = h · √32h = √32h²

המשולש: ∢FAB = 60 מעלות:

AF = h cos 60 = h2📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר

BF = h sin 60 = √32h📐 נוסחה: טריגונומטריה במשולש ישר־זוויתsin = ניצב מוליתר , cos = ניצב לידיתר

S_AFB = AF · BF2📐 נוסחה: שטח משולש ישר־זוויתS = ניצב · ניצב2

S_AFB = 12 · h2 · √32h

S_AFB = √38h²

היחס:

S_ABCDS_AFB = √32√38 = 4

━ המלבן (כחול) ━ המשולש AFB (ירוק) ━ CE (סגול)

הסרטוט בקנה מידה עבור הזווית של המינימום, 30 מעלות.

✅ פתרון סופי: 4 (שטח המלבן פי 4 משטח המשולש)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א	0 < x < 45 מעלות
סעיף ב	h2 sin x − h cos 2x
סעיף ג	x = π6 (30 מעלות)
סעיף ד	4

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות

⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.