בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – קיץ 2025 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטריה אנליטית, וקטורים, טריגונומטריה במרחב, מספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים ושלושה רבעים. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד א'

שאלון 572 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – מעגל, משיק ומקום גאומטרי – אליפסה

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל I שמשוואתו היא x2 − 6x + y2 + t = 0. t הוא פרמטר קטן מ־9.

א. הביעו באמצעות t את רדיוס המעגל.

הישר y = x משיק למעגל.

ב. מצאו את הערך של t.

הזיזו את מעגל I שמאלה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים O.

A היא נקודה כלשהי על מעגל II כך ש־−1.5 ≤ yA ≤ 1.5.

דרך נקודה A מעבירים מיתר AB המאונך לציר ה־y.

נקודה P נמצאת על המיתר AB כך שמתקיים AB = 2 · PO.

ג. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה K היא המוקד הימני, והנקודה F היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג.

C היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש CKF.

ד. חשבו את היקף המשולש CKF.

ה. האם קיימת נקודה C שבעבורה שטח המשולש CKF הוא 3? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – רדיוס המעגל

נשלים לריבוע את הביטוי עם x:
x2 − 6x + 9 − 9 + y2 + t = 0
(x − 3)2 + y2 = 9 − t📐 מעגל בצורה כללית(x − a)2 + (y − b)2 = R2
R = √9 − t
✅ פתרון סופי: R = √9 − t

סעיף ב – הערך של t

משיק למעגל: המרחק מן המרכז (3 , 0) אל הישר x − y = 0 שווה לרדיוס:
d = |3 − 0|√12 + (−1)2 = 3√2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
3√2 = √9 − t
92 = 9 − t
t = 4.5
✅ פתרון סופי: t = 4.5

סעיף ג – המקום הגאומטרי

מעגל II: מרכז בראשית ואותו רדיוס, R2 = 4.5:
x2 + y2 = 4.5📐 מעגל בצורה כללית(x − a)2 + (y − b)2 = R2
נסמן A(xA , yA). המיתר מאונך לציר ה־y, כלומר אופקי, ולכן B היא הנקודה הסימטרית: B(−xA , yA).
AB = 2|xA|
נסמן P(x , y). P על המיתר, ולכן y = yA. לפי הנתון:
PO = AB2 = |xA|
x2 + y2 = xA2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
A על מעגל II, ולכן xA2 = 4.5 − yA2 = 4.5 − y2:
x2 + y2 = 4.5 − y2
x2 + 2y2 = 4.5
נחלק ב־4.5:
x24.5 + y22.25 = 1📐 אליפסהx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2 , F(c , 0)
זו משוואת אליפסה. (התנאי −1.5 ≤ yA ≤ 1.5 מבטיח y2 ≤ 2.25, כלומר כל האליפסה מתקבלת.)
-2-112-1.51.5xyABPKF
✅ פתרון סופי: x24.5 + y22.25 = 1

סעיף ד – היקף המשולש CKF

a2 = 4.5 ⟸ a = 3√2 = 3√22
b2 = 2.25
c2 = 4.5 − 2.25 = 2.25 ⟸ c📐 אליפסהx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2 , F(c , 0)
= 1.5
K(1.5 , 0) , F(−1.5 , 0)
⟸ KF = 3
לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים של כל נקודה עליה מן המוקדים הוא 2a:
CK + CF = 2a = 3√2📐 הגדרת האליפסהסכום המרחקים מן המוקדים = 2a
PCKF = 3√2 + 3 ≈ 7.24
✅ פתרון סופי: 3√2 + 3 ≈ 7.24

סעיף ה – שטח 3?

הבסיס KF = 3 על ציר ה־x, והגובה הוא |yC|:
S = 3 · |yC|2📐 שטח משולשS = a · h2
על האליפסה |y| ≤ b = 1.5, ולכן:
S ≤ 3 · 1.52 = 2.25 < 3
✅ פתרון סופי: לא קיימת – השטח המקסימלי 2.25

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אR = √9 − t
סעיף בt = 4.5
סעיף גx24.5 + y22.25 = 1
סעיף ד3√2 + 3 ≈ 7.24
סעיף הלא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים במרחב: פירמידה שבסיסה מקבילית

📄 נוסח השאלה

נתונה פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא מקבילית.

SA הוא גובה הפירמידה.

הנקודה M היא אמצע האלכסון BD.

נסמן: AS = w , AD = v , AB = u.

א. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטור SM.

נתון כי SM מאונך ל־DB.

ב. הוכיחו כי |u| = |v|.

נתון: A(0 , 0 , 0) , B(0 , 5 , 0) , S(0 , 0 , 6) , D(3 , p , 0) , p > 0.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות D ו־C.

דרך האלכסון AC מעבירים מישור המקביל למקצוע SD. המישור חותך את המקצוע SB בנקודה K.

ד. מצאו את משוואת המישור.

ה. לפניכם שתי טענות I–II. קבעו בעבור כל אחת מן הטענות אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. הישר KM מקביל לישר SD.

II. כל ישר שמאונך למישור ACK, מאונך לישר SD.

סרטוט הפירמידה מתוך השאלון

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הווקטור SM

M אמצע BD, ולכן:
AM = 12(u + v)📐 אמצע קטע (וקטורים)AM = 12(AB + AD)
SM = SA + AM📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)PQ + QR = PR
SM = −w + 12u + 12v
✅ פתרון סופי: SM = 12u + 12v − w

סעיף ב – הוכחה ש־|u| = |v|

DB = DA + AB = u − v
הווקטורים מאונכים, ולכן המכפלה הסקלרית 0:
(12u + 12v − w) · (u − v) = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
SA גובה, ולכן w מאונך לבסיס: w · u = w · v = 0. נפתח:
12u2 − 12u · v
+ 12v · u − 12v2 − 0 + 0 = 0
12|u|2 − 12|v|2 = 0📐 ריבוע וקטורa · a = |a|2
|u|2 = |v|2
|u| = |v|
✅ פתרון סופי: הוכח: |u| = |v|

סעיף ג – שיעורי D ו־C

לפי סעיף ב, AD = AB. AB = 5:
AD = √32 + p2 + 02 = 5📐 אורך וקטור|(a , b , c)| = √a2 + b2 + c2
9 + p2 = 25
p2 = 16 ⟸ p = 4 (p > 0)
D(3 , 4 , 0)
במקבילית BC = AD = (3 , 4 , 0):
C = B + AD📐 נקודה בעזרת וקטורP = S + SP
= (0 + 3 , 5 + 4 , 0)
C(3 , 9 , 0)
✅ פתרון סופי: D(3 , 4 , 0) , C(3 , 9 , 0)

סעיף ד – משוואת המישור

AC = (3 , 9 , 0)
SD = (3 , 4 , −6)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
המישור מכיל את AC ומקביל ל־SD, ולכן הנורמל (a , b , c) מאונך לשניהם:
3a + 9b = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟸ a · b = 0
3a + 4b − 6c = 0
מהראשונה a = −3b. נציב: −9b + 4b − 6c = 0, כלומר c = −5b6. ניקח b = −6:
(a , b , c) = (18 , −6 , 5)
המישור עובר דרך A(0 , 0 , 0), ולכן d = 0:
18x − 6y + 5z = 0📐 משוואת מישורax + by + cz + d = 0(a , b , c) – וקטור נורמל
✅ פתרון סופי: 18x − 6y + 5z = 0

סעיף ה – הטענות I ו־II

הנקודה K: הצגה פרמטרית של הישר SB:
(0 , 0 , 6) + s(0 , 5 , −6)
= (0 , 5s , 6 − 6s)
נציב במישור:
0 − 30s + 5(6 − 6s) = 0
30 − 60s = 0 ⟸ s = 12
K(0 , 2.5 , 3)
טענה I. M אמצע BD: M(1.5 , 4.5 , 0).
KM = (1.5 , 2 , −3)
= 12(3 , 4 , −6)
KM = 12SD
הווקטורים מקבילים (וגם: K ו־M אמצעי SB ו־BD, כלומר KM קטע אמצעים במשולש SBD). טענה I נכונה.
טענה II. המישור ACK הוא המישור מסעיף ד, והוא מקביל ל־SD. ישר המאונך למישור מקביל לנורמל (18 , −6 , 5), ולפי הבנייה בסעיף ד:
(18 , −6 , 5) · (3 , 4 , −6)
= 54 − 24 − 30 = 0
כלומר כיוון כל ישר כזה מאונך לכיוון SD. טענה II נכונה.
הסרטוט בקנה מידה (המישור ACK בירוק, KM בסגול):
ABCDSKM
✅ פתרון סופי: I – נכונה ; II – נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א12u + 12v − w
סעיף בהוכחה
סעיף גD(3 , 4 , 0)
C(3 , 9 , 0)
סעיף ד18x − 6y + 5z = 0
סעיף הI נכונה, II נכונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: מקום גאומטרי, ריבוע ושורשים

📄 נוסח השאלה

א. הביעו באמצעות x ו־y את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות z = x + iy במישור גאוס המקיימות |z| = |z − (2 + 2i)|.

z הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה z2 − z(2 + 2i) + 4i = 0.

A ו־B הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה.

ב. הראו כי הנקודות A ו־B נמצאות על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודות C ו־D נמצאות על הצירים כך ש־ABCD הוא ריבוע.

סובבו את הריבוע ABCD סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית a (0 < a < 90).

כל שמונה הנקודות (הנקודות A , B , C , D וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה zn = b, שבה n הוא מספר טבעי ו־b הוא מספר ממשי.

ג. (1) מצאו את הערך של b ואת הערך של a בעבור n = 8.

(2) מצאו ערך אפשרי של n בעבור a = 15, ומצאו את הערך של b המתאים לו.

(בשאלון זווית הסיבוב מסומנת באות יוונית; כאן היא מסומנת a. הזוויות במעלות.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי

📐 אנך אמצעי (מקום גאומטרי)|z − z1| = |z − z2|– האנך האמצעי לקטע שבין שתי הנקודות
√x2 + y2📐 גודל מספר מרוכב|x + iy| = √x2 + y2
= √(x − 2)2 + (y − 2)2
x2 + y2
= x2 − 4x + 4 + y2 − 4y + 4
0 = −4x − 4y + 8
x + y = 2
✅ פתרון סופי: y = 2 − x

סעיף ב – A ו־B על המקום הגאומטרי

נפתור בנוסחת השורשים. הדיסקרימיננטה:
(2 + 2i)2 − 4 · 4i
= 4 + 8i − 4 − 16i = −8i
שורש של −8i: −8i = 8 cis 270, ולכן √8 cis 135 = 2√2(−√22 + √22i) = −2 + 2i.
z = 2 + 2i ± (−2 + 2i)2📐 נוסחת השורשיםz = −b ± √b2 − 4ac2a
z = 4i2 = 2i , z = 42 = 2
בדיקה: פירוק:
(z − 2)(z − 2i)
= z2 − (2 + 2i)z + 4i ✓
A(2 , 0): 2 + 0 = 2 ✓. B(0 , 2): 0 + 2 = 2 ✓. שתי הנקודות על הישר x + y = 2.
✅ פתרון סופי: z = 2 , z = 2i – על הישר

סעיף ג (1) – n = 8

הריבוע ABCD: A = 2 , B = 2i , C = −2 , D = −2i, כלומר 2 cis(90k). אחרי הסיבוב: 2 cis(a + 90k).
פתרונות z8 = b הם 8 נקודות על מעגל, במרווחים שווים של 3608 = 45. אחת מהן היא z = 2:
b = 28 = 256📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]n = rn cis(na)
הפתרונות: 2 cis(45k). הנקודות המסובבות הן אלה שבין נקודות הריבוע, בזוויות 45, 135, 225, 315:
a = 45
✅ פתרון סופי: b = 256 , a = 45

סעיף ג (2) – a = 15

הנקודות בזוויות:
0 , 15 , 90 , 105
180 , 195 , 270 , 285
פתרונות zn = b נמצאים במרווחים שווים של 360n. z = 2 פתרון, ולכן b = 2n והפתרונות הם 2 cis(360kn).
כדי שגם 2 cis 15 יהיה פתרון, 15 צריך להיות כפולה של 360n:
15 = 360kn ⟸ n = 24k
עם n = 24 הפתרונות הם כל הזוויות שהן כפולות של 15 – וכל שמונה הנקודות ביניהן:
n = 24
b = 224 = 16,777,216
(כל n שהוא כפולה של 24 מתאים, עם b = 2n.)
בסרטוט: הריבוע ABCD בכחול, הריבוע המסובב ב־15 בסגול, והישר x + y = 2 בכתום:
-22-2i2ixyABCD
✅ פתרון סופי: n = 24 , b = 224

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אx + y = 2
סעיף ב2 , 2i
סעיף ג (1)b = 256 , a = 45
סעיף ג (2)n = 24 , b = 224
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e עם פרמטר והפונקציה 1/(f+2)

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = exa − ex, a הוא פרמטר שונה מ־0.

א. ענו על התת־סעיפים (1)–(3) בעבור a > 0 ובעבור a < 0. הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־y של הפונקציה f(x).

(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

ב. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x) בעבור a = 3 ואיזה מן הגרפים מתאר את הפונקציה f(x) בעבור a = −3. נמקו את קביעותיכם.

הציבו a = 3 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ג–ה.

נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) + 2.

ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ה. לפניכם טענה: ∫−2−4 g(x) dx > ∫32 g(x) dx. האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.

הגרפים I–IV מתוך השאלון

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

המכנה שונה מ־0: ex ≠ a.
a > 0:
ex ≠ a ⟸ x ≠ ln a📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
a < 0: ex > 0 > a, ולכן המכנה אף פעם לא 0 – מוגדרת לכל x.
✅ פתרון סופי: a > 0: x ≠ ln a ; a < 0: כל x

סעיף א (2) – אסימפטוטות אופקיות

x → −∞: ex → 0:
f(x) → 0a − 0 = 0📐 שאיפה של exx → ∞ : ex → ∞x → −∞ : ex → 0
x → ∞: נחלק מונה ומכנה ב־ex:
f(x) = 1aex − 1 → 10 − 1 = −1
אותה תוצאה בשני המקרים (a חיובי או שלילי).
✅ פתרון סופי: y = 0 , y = −1

סעיף א (3) – עלייה וירידה

f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת e בחזקת x(ex)′ = ex
= ex(a − ex) − ex · (−ex)(a − ex)2
f′(x) = aex − e2x + e2x(a − ex)2
= aex(a − ex)2
ex והמכנה חיוביים, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של a:
a > 0: f′ > 0 – עולה בתחומים x < ln a ו־x > ln a.
a < 0: f′ < 0 – יורדת לכל x.
✅ פתרון סופי: a > 0: עולה x < ln a , x > ln a ; a < 0: יורדת לכל x

סעיף ב – זיהוי הגרפים

a = 3: עולה, ויש אסימפטוטה אנכית ב־x = ln3 ≈ 1.1 – מימין לציר ה־y. החיתוך עם ציר ה־y:
f(0) = 13 − 1 = 12 > 0
הגרף שעולה, עם אסימפטוטה אנכית מימין לציר ה־y: גרף II. (בגרף I הענפים יורדים, ובגרף IV האסימפטוטה משמאל לציר ה־y.)
a = −3: מוגדרת לכל x (אין אסימפטוטה אנכית) ויורדת מ־y = 0 אל y = −1:
f(0) = 1−3 − 1 = −14
זה גרף III.
✅ פתרון סופי: a = 3: גרף II ; a = −3: גרף III

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g

צריך ש־f תהיה מוגדרת (x ≠ ln3) ושהמכנה f(x) + 2 יהיה שונה מ־0:
ex3 − ex = −2
ex = −6 + 2ex
ex = 6 ⟸ x = ln6📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
נפשט את g לשימוש בהמשך:
f(x) + 2 = ex + 6 − 2ex3 − ex
= 6 − ex3 − ex
g(x) = 3 − ex6 − ex (x ≠ ln3)
✅ פתרון סופי: x ≠ ln3 , x ≠ ln6

סעיף ג (2) – האסימפטוטות של g

אנכית: ב־x = ln6 המכנה 0 והמונה 3 − 6 = −3 ≠ 0:
x = ln6
(ב־x = ln3 אין אסימפטוטה: שם f → ±∞ ולכן g → 0 – זו נקודה חסרה על ציר ה־x.)
אופקיות: לפי האסימפטוטות של f:
x → −∞: f → 0 ⟸ g → 10 + 2
= 12
x → ∞: f → −1 ⟸ g → 1−1 + 2
= 1
✅ פתרון סופי: x = ln6 , y = 12 , y = 1

סעיף ד – סקיצה של g

f עולה בכל תחום (a = 3), ולכן גם f + 2 עולה, ו־g = 1f + 2 יורדת בכל תחום שבו f + 2 לא מחליפה סימן.📐 הפונקציה 1 חלקי uבתחום שבו u לא מחליפה סימן: כש־u עולה, 1u יורדת (ולהפך)
g(0) = 3 − 16 − 1 = 0.4
משמאל: יורדת מ־y = 12 דרך (0 , 0.4), מגיעה לנקודה החסרה (ln3 , 0) וממשיכה לרדת אל −∞ ליד x = ln6. אין חיתוך עם ציר ה־x.
מימין ל־ln6: יורדת מ־+∞ ומתקרבת ל־y = 1 מלמעלה. הגרף בקנה מידה:
-4-2ln334-2½12xy0.4
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ה – האם הטענה נכונה?

האינטגרל השמאלי: בתחום −4 ≤ x ≤ −2 הפונקציה יורדת מתחת ל־12 ונשארת חיובית (x < ln3):
0 < g(x) < 12
אורך התחום 2, ולכן השטח קטן משטח מלבן 2 · 12:
∫−2−4 g(x) dx < 1
האינטגרל הימני: ln6 ≈ 1.79 < 2, ולכן בתחום 2 ≤ x ≤ 3 הגרף בענף הימני, מעל y = 1:
g(x) > 1
אורך התחום 1:
∫32 g(x) dx > 1
כלומר האינטגרל השמאלי קטן מן הימני.
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א (1)a > 0: x ≠ ln a
a < 0: כל x
סעיף א (2)y = 0 , y = −1
סעיף א (3)a > 0 עולה
a < 0 יורדת
סעיף בII (a = 3) , III (a = −3)
סעיף ג (1)x ≠ ln3
x ≠ ln6
סעיף ג (2)x = ln6
y = 12 , y = 1
סעיף הלא נכונה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 29 – פתרון בגרות 2025 א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln, ריבוע הפונקציה ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ln(xn), n הוא מספר טבעי זוגי.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) לפניכם ארבעה גרפים, I–IV. קבעו איזה מהם מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

הגרפים I–IV מתוך השאלון

הציבו n = 2 בפונקציה f(x), וענו על סעיפים ב–ד.

נתונה הפונקציה g(x) = (f(x))2 − 4, המוגדרת לכל x ≠ 0.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נתונה הפונקציה k(x) = g′(x)g(x), בתחום x > 0.

ד. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה k(x).

(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה k(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e2 ו־x = e3.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

xn > 0📐 תנאי ל־lnln(x) ⟸ x > 0
n זוגי, ולכן xn חיובי לכל x ≠ 0 (ושווה 0 כש־x = 0):
✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף א (2) – איזה גרף

n זוגי, ולכן (−x)n = xn:
f(−x) = ln((−x)n) = ln(xn)📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x) לכל x בתחום
= f(x)
הפונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־y, ומוגדר משני צדי הציר. גרפים III ו־IV קיימים רק בצד אחד, וגרף I אינו סימטרי. לכן גרף II.
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x

g(x) = (ln(x2))2 − 4 = 0
ln(x2) = 2
או
ln(x2) = −2
x2 = e2 ⟸ x = ±e📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
x2 = e−2 ⟸ x = ±1e
✅ פתרון סופי: (±e , 0) , (±1e , 0)

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון

סקיצה 1 – הגרף של f(x) = ln(x2) (כחול, הגרף מסעיף א (2) עם n = 2):
f זוגית; בתחום x > 0 היא עולה, שלילית ב־0 < x < 1, מתאפסת ב־x = 1 וחיובית ב־x > 1.
−e−11e−22xy
מ־f ל־g: g = f2 − 4. קוראים מהסקיצה בתחום x > 0:
• 0 < x < 1: f שלילית ועולה אל 0, כלומר המרחק שלה מ־0 קטן – ולכן f2 יורדת.📐 הפונקציה f2איפה ש־f מתקרבת ל־0, f2 יורדת; איפה ש־f מתרחקת מ־0, f2 עולה
• x > 1: f חיובית ועולה – ולכן f2 עולה.
לכן ל־f2 (וגם ל־g, שהיא הזזה של 4 למטה) יש מינימום ב־x = 1, שם f = 0:
g(1) = 02 − 4 = −4
g זוגית, ולכן גם x = −1 מינימום.
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , −4) , (−1 , −4)

סעיף ג – סקיצה של g

ליד x = 0: ln(x2) → −∞, ובריבוע → +∞ – אסימפטוטה אנכית x = 0. כש־x → ±∞, g → ∞.
הגרף סימטרי לציר ה־y: יורד מ־+∞ (ליד 0) דרך (1e , 0) עד המינימום (1 , −4), ועולה דרך (e , 0). הגרף בקנה מידה:
-e-11e-44xy(1 , −4)(−1 , −4)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של k

בתחום x > 0, והמכנה g(x) שונה מ־0 (סעיף ב(1)):
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1e , x ≠ e

סעיף ד (2) – השטח

בתחום e2 ≤ x ≤ e3: ln(x2) = 2ln x ≥ 4, ולכן g ≥ 16 − 4 > 0 ו־g′ > 0, כלומר k > 0 – השטח הוא האינטגרל.
k היא מנה שבה המונה הוא נגזרת המכנה:
S = ∫e3e2 g′(x)g(x) dx📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
= [ ln g(x) ]e3e2
g(e3) = (ln e6)2 − 4 = 36 − 4
= 32
g(e2) = (ln e4)2 − 4 = 16 − 4
= 12
S = ln32 − ln12 = ln3212 = ln83📐 חוק לוגריתמיםln a − ln b = lnab
S ≈ 0.98
✅ פתרון סופי: S = ln83 ≈ 0.98

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (1)x ≠ 0
סעיף א (2)גרף II
סעיף ב (1)(±e , 0)
(±1e , 0)
סעיף ב (2)מינ׳ (±1 , −4)
סעיף ד (1)x > 0
x ≠ 1e , e
סעיף ד (2)ln83 ≈ 0.98
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל 3: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 572 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות