מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותחקירת פונקציית שורש

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: חקירת שורש – 471

1. תחום הגדרה של פונקציית שורש

📐 הכלל
√▢ → ▢ ≥ 0
אין שורש למספר שלילי. אפס מותר, כי √0 = 0
📐 שורש במכנה
1√▢ → ▢ > 0
בלי שווה: אסור לחלק ב־0
📐 כמה שורשים
תנאי לכל שורש, ולוקחים את החלק המשותף על ציר המספרים
  1. מעתיקים את מה שבתוך השורש (רק אותו).
  2. כותבים אי שוויון: הביטוי ≥ 0, ובמכנה > 0.
  3. פותרים וכותבים: ת"ה: …
דוגמאות:
y = √x − 5 ← x − 5 ≥ 0 ← ת"ה: x ≥ 5
y = √x + √x + 1 ← x ≥ 0 וגם x ≥ −1 ← ת"ה: x ≥ 0
y = 1√x − 5 ← ת"ה: x > 5
🔹 כשמחלקים או כופלים אי שוויון במספר שלילי, הופכים את סימן אי השוויון.

2. תחום הגדרה: שורש לא לינארי (ביטוי ריבועי)

📐 אי שוויון ריבועי
משווים ל־0, מוצאים שורשים, מציירים סקיצה של פרבולה
לוקחים את מה שמעל ציר x (וגם עליו)
  1. ▢ ≥ 0 ← משווים ל־0 ופותרים (הוצאת גורם משותף או נוסחת השורשים).
  2. מקדם x2 חיובי ← פרבולה "צוחקת"; שלילי ← "בוכה".
  3. מסמנים איפה הפרבולה מעל ציר x.
צוחקת: y = √x2 + 5x ← x(x + 5) = 0 ← x = 0, x = −5
ת"ה: x ≤ −5 או x ≥ 0
בוכה: y = √−x2 − 5x ← אותם שורשים ← ת"ה: −5 ≤ x ≤ 0
xy(−5, 0)(0, 0)
x2 + 5x (כחול) צוחקת: ת"ה מחוץ לשורשים (ירוק חזק)
xy(−5, 0)(0, 0)
−x2 − 5x (כחול) בוכה: ת"ה בין השורשים (ירוק חזק)
🔹 שורש של ריבוע שלם במכנה: 1√x2 + 6x + 9 ← (x + 3)2 > 0 ← ת"ה: x ≠ −3
🔹 √x2 − 9 ← ת"ה: x ≤ −3 או x ≥ 3

3. משוואות עם שורשים

📐 השיטה
מבודדים את השורש ← מעלים בריבוע ← פותרים ← בדיקה
(√▢)2 = ▢
  1. משאירים את השורש לבד באגף אחד.
  2. מעלים את שני האגפים בריבוע.
  3. פותרים (משוואה ריבועית: נוסחת השורשים).
  4. מציבים כל פתרון במשוואה המקורית. פתרון שלא מקיים אותה – נופל.
דוגמה: √2x + 7 = x − 4
2x + 7 = x2 − 8x + 16 ← x2 − 10x + 9 = 0 ← x = 9, x = 1
בדיקה: x = 9: √25 = 5 ✔ · x = 1: √9 = 3 ≠ −3 ← נופל
תשובה: x = 9
xy195(9, 5)(1, 3)(1, −3)
y = √2x + 7 (כחול) ו־y = x − 4 (ירוק חזק) נפגשים רק ב־(9, 5) (סגול). ב־x = 1 הגרפים לא נפגשים (תכלת): הפתרון "נולד" מההעלאה בריבוע.
🔹 √x = −3 ← אין פתרון (שורש לא יוצא שלילי).
🔹 x − 4√x = 0 ← x = 4√x ← x2 = 16x ← x = 0, x = 16 (שניהם עוברים בדיקה).
🔹 שני שורשים: √x2 − 5x + 12 = 2√6 − x ← בריבוע: x2 − 5x + 12 = 4(6 − x) ← x = 4, x = −3

4. נגזרת של פונקציית שורש

📐 נגזרת שורש
(√x)' = 12√x
(a√x)' = a2√x  ·  (√xa)' = 12a√x
📐 שורש של ביטוי
(√f(x))' = f'(x)2√f(x)
📐 נגזרת של מכפלה
(f · g)' = f' · g + g' · f
(2x − √x)' = 2 − 12√x
(2√2x + 1)' = 2 · 22√2x + 1 = 2√2x + 1
(x · √x)' = 1 · √x + 12√x · x = √x + x2√x
🔹 √x · √x = x – עוזר לסדר את הנגזרת אחרי כפל בהצלבה.

5. חקירה: חיתוך עם הצירים ונקודות קיצון

📐 חיתוך עם הצירים
ציר y: מציבים x = 0 (אם 0 בתחום) · ציר x: מציבים y = 0
📐 נקודות קיצון
f'(x) = 0 ← מבודדים שורש, מעלים בריבוע, בדיקה
y מציבים בפונקציה המקורית, וסוג הקיצון לפי טבלה (נגזרת לפני ואחרי)
דוגמה: f(x) = 2x − 6√x + 7 · ת"ה: x ≥ 0
f'(x) = 2 − 3√x = 0 ← √x = 1.5 ← x = 2.25
f(2.25) = 4.5 − 9 + 7 = 2.5
x0 < x < 2.252.25x > 2.25
f'f'(1) = −10f'(4) = 12
f↘מינימום↗
xy2.25(2.25, 2.5)(0, 7)
f(x) = 2x − 6√x + 7 (כחול): מינימום (2.25, 2.5) (סגול), חיתוך עם ציר y (0, 7) (ירוק חזק). יורדת ב־0 < x < 2.25, עולה ב־x > 2.25
🔹 קיצון קצה: בקצה של תחום ההגדרה (למשל x = 7 כשהת"ה הוא −7 ≤ x ≤ 7) יש נקודת קיצון. קובעים את סוגה לפי העלייה והירידה לידה.
🔹 f(x) = −16x + √x ← x = 9 ← מקסימום (9, 1.5)

6. שיפוע ומשוואת משיק

📐 שיפוע ומשיק
שיפוע: m = f'(x1)
y − y1 = m(x − x1)
  1. גוזרים ומציבים את x1 בנגזרת ← m.
  2. y1 מציבים בפונקציה המקורית.
  3. מציבים במשוואת הישר ומסדרים.
דוגמה: f(x) = 3√x, x = 4
m = 32√4 = 34 · f(4) = 3√4 = 6
y − 6 = 34(x − 4) ← y = 34x + 3
xy43(4, 6)
f(x) = 3√x (כחול) והמשיק y = 34x + 3 (ירוק חזק) בנקודה (4, 6) (סגול)
🔹 נתון השיפוע ומחפשים נקודה: f'(x) = m ופותרים. למשל ב־f(x) = 2x − 6√x + 7: f'(x) = 1 ← (9, 7)

✔️ סדר חקירה ושאלות מבגרויות

  1. תחום הגדרה – מה שבשורש ≥ 0, במכנה > 0.
  2. חיתוך עם הצירים (ציר x: בדיקה אחרי העלאה בריבוע).
  3. נגזרת (שורש, שורש של ביטוי, מכפלה) ← f'(x) = 0 ← בדיקה.
  4. טבלה: סוג הקיצון, עלייה וירידה. לא לשכוח קיצון קצה.
  5. סקיצה.
xy(√2, 2)(−√2, −2)(−2, 0)(2, 0)
f(x) = x√4 − x2 (כחול) · ת"ה −2 ≤ x ≤ 2 · מקסימום (√2, 2), מינימום (−√2, −2) (סגול) · קיצון קצה (−2, 0) מקסימום, (2, 0) מינימום (ירוק חזק)
g(x) = 1f(x)ת"ה בלי השורשים של f (אסור 0 במכנה), אין חיתוך עם ציר x
−f(x)שיקוף בציר x: מקסימום ↔ מינימום
f(x) − cהזזה למטה ב־c
y = k חותךקו אופקי: סופרים נקודות חיתוך לפי הסקיצה
גרף f'f' חיובית איפה ש־f עולה, ומתאפסת בקיצון
🔹 פרק 4 (בגרויות 382): 2018 א, 2019 ב, 2021 א. פרק 5 (בגרויות 481): 2016 ב, 2017 ב, חורף 2018, 2020 ב, חורף מאוחר 2021, חורף 2022, חורף 2024.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא חקירת פונקציית שורש, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות