בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 572 – חורף 2026

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב ומספרים מרוכבים (שאלות 1–3); פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה א'

📄 השאלון המלא – חורף 2026

שאלון 572 חורף 2026 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2026 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2026 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2026 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 572 חורף 2026 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – אליפסה, מקום גאומטרי ומעגל משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה A(1 , 3) נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם (√6.4 , 0).

א. מצאו את משוואת האליפסה.

הנקודה B היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־x. דרך הנקודה A העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה O. הנקודה C היא נקודה כלשהי על הישר AO. הנקודה P היא אמצע הקטע BC.

ב. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות P.

ג. מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם, ומשיק לישר AO בנקודה O.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואת האליפסה

המוקד הימני (√6.4 , 0), ולכן c2 = 6.4:📐 משוואת אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1מוקדים (±c , 0), c2 = a2 − b2
a2 − b2 = 6.4
a2 = b2 + 6.4
הנקודה A(1 , 3) על האליפסה – נציב:
1a2 + 9b2 = 1
1b2 + 6.4 + 9b2 = 1
נכפול ב־b2(b2 + 6.4):
b2 + 9(b2 + 6.4)
= b2(b2 + 6.4)
b2 + 9b2 + 57.6
= b4 + 6.4b2
b4 − 3.6b2 − 57.6 = 0
b2 = 3.6 ± √12.96 + 230.42📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
b2 = 3.6 ± 15.62
b2 = 9.6  או  b2 = −6
b2 חיובי, ולכן b2 = 9.6:
a2 = 9.6 + 6.4 = 16
בדיקה: 116 + 99.6 = 0.0625 + 0.9375 = 1 ✓
✅ פתרון סופי: x216 + y29.6 = 1

סעיף ב – המקום הגאומטרי של P

נקודת החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה־x: y = 0:
x216 = 1  ⇒  x = 4
B(4 , 0)
הישר AO עובר דרך O(0 , 0) ו־A(1 , 3):📐 שיפוע ישרm = y2 − y1x2 − x1
m = 3 − 01 − 0 = 3
AO:   y = 3x
נקודה כלשהי על הישר: C(t , 3t).
נסמן P(x , y) – אמצע BC:📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
x = 4 + t2 ,   y = 0 + 3t2
נבודד את t מהמשוואה הראשונה:
2x = 4 + t
t = 2x − 4
נציב במשוואה השנייה:
y = 3(2x − 4)2
y = 6x − 122
y = 3x − 6
כש־C עוברת על כל הישר, t מקבל כל ערך, ולכן P עוברת על כל הישר y = 3x − 6 (ישר מקביל ל־AO).
✅ פתרון סופי: y = 3x − 6

סעיף ג – המעגל המשיק

-4-224-22xyA(1 , 3)B(4 , 0)Oy = 3x − 6y = 3x
המעגל משיק ל־AO בנקודה O, ולכן הרדיוס למשיק בנקודת ההשקה מאונך לו – המרכז נמצא על הישר המאונך ל־AO בנקודה O.
שיפוע AO הוא 3, ולכן שיפוע המאונך הוא −13:📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y = −13x
נסמן את המרכז M(q , −q3).
הישרים y = 3x ו־y = 3x − 6 מקבילים, והמעגל משיק לשניהם – לכן הקוטר שווה למרחק ביניהם. המרחק הוא המרחק של O(0 , 0) מהישר 3x − y − 6 = 0:
d = |3 · 0 − 0 − 6|√32 + (−1)2 = 6√10📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
R = d2 = 3√10
R2 = 910 = 0.9
המרחק מהמרכז ל־O שווה ל־R:📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
q2 + q29 = 0.9
10q29 = 0.9
q2 = 0.81
q = 0.9  או  q = −0.9
המרכז צריך להיות בין שני הישרים (בצד של הישר y = 3x − 6). נבדוק את המרחק מהישר 3x − y − 6 = 0:
q = 0.9:   M(0.9 , −0.3)📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
d = |2.7 + 0.3 − 6|√10 = 3√10
= R ✓
q = −0.9:   M(−0.9 , 0.3)
d = |−2.7 − 0.3 − 6|√10
= 9√10 ≠ R
המרכז (0.9 , −0.3) והרדיוס בריבוע 0.9:📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 0.9)2 + (y + 0.3)2 = 0.9

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx216 + y29.6 = 1
סעיף בy = 3x − 6
סעיף ג(x − 0.9)2 + (y + 0.3)2
= 0.9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים במרחב: תיבה, מישורים וזווית בין ישרים

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA'B'C'D'.

סרטוט התיבה ABCDA'B'C'D' משאלה 2 בשאלון

נתון כי משוואת המישור A'B'C'D' היא x + 4y − 8z − 142 = 0, וכי B(0 , 7 , 6).

א. מצאו את אורך המקצוע BB'.

נתון כי הצגה פרמטרית של הישר AB היא x = (0 , 7 , 6) + t(0 , 2 , 1). אורך המקצוע AB הוא 5√5, ושיעור ה־y של הקודקוד A הוא שלילי.

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד A.

ג. מצאו את משוואת המישור ABB'A'.

נתונה נקודה M(k , 1 , 3). k הוא פרמטר חיובי. נתון כי גודל הזווית שבין הישר AB ובין הישר AM הוא 60 מעלות.

ד. מצאו את הערך של k (תוכלו להשאיר שורש בתשובתכם).

נתון כי הנקודה M נמצאת על המישור DCC'D'.

ה. מצאו את נפח התיבה.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – אורך המקצוע BB'

ABCDA'B'C'D'
בתיבה המקצוע BB' מאונך לפאה A'B'C'D', והנקודה B' נמצאת עליה. לכן אורך BB' הוא המרחק של B מהמישור A'B'C'D':
BB'📐 מרחק נקודה ממישורd = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|√A2 + B2 + C2
= |0 + 4 · 7 − 8 · 6 − 142|√12 + 42 + (−8)2
BB' = |28 − 48 − 142|√1 + 16 + 64
BB' = |−162|√81 = 1629 = 18
✅ פתרון סופי: BB' = 18

סעיף ב – שיעורי הקודקוד A

הנקודה A על הישר AB, ולכן לאיזשהו t:
A = (0 , 7 + 2t , 6 + t)
הווקטור מ־B ל־A:
BA = t(0 , 2 , 1)
|BA| = |t| · √0 + 4 + 1📐 אורך וקטור|u| = √x2 + y2 + z2
= |t|√5
|t|√5 = 5√5
|t| = 5  ⇒  t = 5
או
t = −5
שיעור ה־y של A הוא 7 + 2t, והוא שלילי:
t = 5:   7 + 10 = 17 > 0
t = −5:   7 − 10
= −3 < 0 ✓
A = (0 , 7 − 10 , 6 − 5)
= (0 , −3 , 1)
✅ פתרון סופי: A(0 , −3 , 1)

סעיף ג – משוואת המישור ABB'A'

המישור מכיל את כיוון AB: (0 , 2 , 1).
הוא מכיל גם את המקצוע BB', שמאונך למישור A'B'C'D' – ולכן כיוון BB' הוא הנורמל של המישור הזה: (1 , 4 , −8).
נחפש נורמל n = (a , b , c) המאונך לשני הכיוונים:📐 מכפלה סקלרית(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3)= a1b1 + a2b2 + a3b3וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
(a , b , c) · (0 , 2 , 1)
= 0
⇒ 2b + c = 0
(a , b , c) · (1 , 4 , −8)
= 0
⇒ a + 4b − 8c = 0
מהמשוואה הראשונה: c = −2b. נציב בשנייה:
a + 4b + 16b = 0
⇒ a = −20b
נבחר b = −1: a = 20 , c = 2.
n = (20 , −1 , 2)
20x − y + 2z + D = 0📐 משוואת מישורAx + By + Cz + D = 0(A, B, C) – הנורמל
נציב את הנקודה A(0 , −3 , 1):
20 · 0 − (−3) + 2 · 1 + D
= 0
5 + D = 0  ⇒  D = −5
20x − y + 2z − 5 = 0
בדיקה: הנקודה B(0 , 7 , 6): 0 − 7 + 12 − 5 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 20x − y + 2z − 5 = 0

סעיף ד – מציאת k

הכיוון של AB: u = (0 , 2 , 1). הווקטור AM:
AM = M − A
= (k − 0 , 1 + 3 , 3 − 1)
= (k , 4 , 2)
cos 60📐 זווית בין ישריםcos = |u · v||u| · |v|
= |(0 , 2 , 1) · (k , 4 , 2)|√5 · √k2 + 16 + 4
12 = |0 + 8 + 2|√5 · √k2 + 20
12 = 10√5 · √k2 + 20
√5 · √k2 + 20 = 20
נעלה בריבוע:
5(k2 + 20) = 400
k2 + 20 = 80
k2 = 60
k חיובי:
k = √60 = 2√15 ≈ 7.75
✅ פתרון סופי: k = √60 = 2√15

סעיף ה – נפח התיבה

הפאה DCC'D' מקבילה לפאה ABB'A', והמרחק ביניהן הוא אורך המקצוע BC. הנקודה M על הפאה DCC'D', ולכן BC שווה למרחק של M מהמישור ABB'A' (סעיף ג):
BC📐 מרחק נקודה ממישורd = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|√A2 + B2 + C2
= |20√60 − 1 + 2 · 3 − 5|√202 + (−1)2 + 22
BC = 20√60√405
נפשט: √60 = 2√15, √405 = 9√5:
BC = 40√159√5 = 40√39 ≈ 7.70
V = AB · BC · BB'📐 נפח תיבהV = אורך · רוחב · גובה
V = 5√5 · 40√39 · 18
V = 5√5 · 80√3
V = 400√15 ≈ 1549.19
✅ פתרון סופי: V = 400√15 ≈ 1549.19

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אBB' = 18
סעיף בA(0 , −3 , 1)
סעיף ג20x − y + 2z − 5 = 0
סעיף דk = √60 = 2√15
סעיף ה400√15 ≈ 1549.19
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – מספרים מרוכבים: פרבולה במישור גאוס, שורשים ומעוין

📄 נוסח השאלה

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z = x + iy במישור גאוס המקיימות |z − 2i| = z − z2i + 2 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

נתון מספר מרוכב w = r(cos t + i sin t), r > 0, 0 < t < 90 (מעלות).

נתון מצולע קמור I, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה z4 = 1r4 · (cos(4t) + i sin(4t)). z הוא משתנה מרוכב.

ב. הביעו באמצעות r ו־t הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I.

נתון מצולע II, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים w , −w , 1w , −1w.

ג. הביעו באמצעות r ו־t הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע II.

נתון כי מצולע II הוא מעוין.

ד. מצאו את הערך של t.

נתון כי הנקודה המייצגת את w נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

ה. מצאו את היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

(בשאלון הזווית של w מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי הוא פרבולה

נציב z = x + iy, z = x − iy:
z − z
= (x + iy) − (x − iy)
= 2iy
z − z2i = 2iy2i = y
z − 2i = x + (y − 2)i
|z − 2i| = √x2 + (y − 2)2📐 ערך מוחלט של מספר מרוכב|x + iy| = √x2 + y2
המשוואה הופכת ל:
√x2 + (y − 2)2 = y + 2
(אגף שמאל אינו שלילי, ולכן צריך y + 2 ≥ 0.) נעלה בריבוע:
x2 + (y − 2)2 = (y + 2)2
x2 + y2 − 4y + 4📐 נוסחאות כפל מקוצר(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
= y2 + 4y + 4
x2 = 8y
y = x28
בכל נקודה של הגרף y ≥ 0, ולכן התנאי y + 2 ≥ 0 מתקיים תמיד. זו פרבולה שקודקודה בראשית.
✅ פתרון סופי: פרבולה: y = x28

סעיף ב – קודקודי מצולע I

z4 = 1r4 · cis(4t)📐 שורשים מסדר n (דה־מואבר)zn = R · cis(a)⇒ z = ⁿ√R · cis(a + 360kn)k = 0, 1, …, n − 1
z = ⁴√1r4 · cis(4t + 360k4)
z = 1r · cis(t + 90k)
k = 0 , 1 , 2 , 3
z1 = 1rcis(t)
z2 = 1rcis(t + 90)
z3 = 1rcis(t + 180)
z4 = 1rcis(t + 270)
(ארבעה שורשים על מעגל ברדיוס 1r בהפרשים של 90 מעלות – מצולע I הוא ריבוע.)
✅ פתרון סופי: 1rcis(t + 90k) , k = 0, 1, 2, 3

סעיף ג – קודקודי מצולע II

w = r · cis(t)
−w: כפל ב־−1 = cis(180) מוסיף 180 מעלות לזווית:📐 כפל בהצגה קוטביתr1cis(a) · r2cis(b)= r1r2 · cis(a + b)
−w = r · cis(t + 180)
1w = 1 · cis(0)r · cis(t)📐 חילוק בהצגה קוטביתr1cis(a)r2cis(b) = r1r2 · cis(a − b)
= 1r · cis(−t)
−1w = 1r · cis(180 − t)
✅ פתרון סופי: r cis(t) , r cis(t + 180) , 1rcis(−t) , 1rcis(180 − t)

סעיף ד – מציאת t

הנקודות w ו־−w סימטריות סביב הראשית, וכך גם 1w ו־−1w. לכן האלכסונים של מצולע II הם הקטעים בין w ל־−w ובין 1w ל־−1w, ושניהם חוצים זה את זה בראשית – זו מקבילית.
מקבילית היא מעוין כאשר האלכסונים מאונכים זה לזה.📐 מעויןמקבילית שבה האלכסונים מאונכים
אלכסון אחד הוא בכיוון של הזווית t (הקטע דרך w), והשני בכיוון של −t (דרך 1w). הזווית ביניהם:
t − (−t) = 2t
2t = 90
t = 45
(0 < 45 < 90 – מתאים.)
✅ פתרון סופי: t = 45 מעלות

סעיף ה – היחס בין השטחים

לפי סעיף ד:
w = r · cis(45)📐 הצגה קוטביתr · cis(a)= r cos a + i · r sin a
= r(cos 45 + i sin 45)
= r√2 + r√2i
הנקודה (r√2 , r√2) על הפרבולה y = x28:
r√2 = 18 · r22
r√2 = r216
נחלק ב־r > 0:
r = 16√2 = 8√2
r2 = 128
-8-448-8-448xyw = 8 + 8i−wy = x²/8
שטח מצולע II (מעוין). האלכסונים: |w − (−w)| = 2r ו־|1w − (−1w)| = 2r:📐 שטח מעויןS = d1 · d22
SII = 2r · 2r2 = 42 = 2
שטח מצולע I (ריבוע שקודקודיו על מעגל ברדיוס 1r): האלכסונים שווים, 2r כל אחד:📐 שטח ריבוע לפי אלכסוןS = d22
SI = (2r)22 = 2r2 = 2128
= 164
−1/161/16−1/161/16xy1/w−1/wאל wאל −w
(בהגדלה: הקודקודים 1w ו־−1w של מצולע II הם גם קודקודים של הריבוע I.)
SIISI = 2164 = 128
✅ פתרון סופי: שטח מצולע II גדול פי 128 משטח מצולע I (היחס 128 : 1)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אy = x28
סעיף ב1rcis(t + 90k), k = 0..3
סעיף גr cis(t), r cis(t + 180)
1rcis(−t), 1rcis(180 − t)
סעיף דt = 45 מעלות
סעיף ה128
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – פונקציית e בהרכבה, אסימפטוטות ושטח

📄 נוסח השאלה

f'(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x). g(x) היא פונקציה המקיימת g(x) = ef(x) · f'(x). הפונקציות f(x) , f'(x) ו־g(x) מוגדרות בתחום x ≠ 0.

נתון כי הפונקציה f(x) יורדת בתחום x > 0 ובתחום x < 0, וכי f'(x) ≠ 0 בכל תחום הגדרתה.

א. כתבו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

נתון כי f(x) = 1x.

ב. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

a הוא פרמטר גדול מ־1. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 1ln a ו־x = 1ln(4a) הוא 5.

ד. מצאו את הערך של a.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחומי חיוביות ושליליות של g(x)

f(x) יורדת בכל אחד מהתחומים, ולכן f'(x) ≤ 0 בהם. נתון f'(x) ≠ 0, ולכן:
f'(x) < 0
(לכל x ≠ 0.)
חזקה של e תמיד חיובית:📐 פונקציה מעריכיתeu > 0 לכל u
ef(x) > 0
מכפלה של מספר חיובי במספר שלילי היא שלילית:
g(x) = ef(x) · f'(x) < 0
✅ פתרון סופי: תחומי שליליות: x < 0 וגם x > 0; אין תחומי חיוביות

סעיף ב (1) – אסימפטוטות של g(x)

f'(x) = −1x2📐 נגזרת של חזקה(xn)' = nxn−11x = x−1
g(x) = e1x · (−1x2) = −e1/xx2
אסימפטוטה אנכית – בדיקה ליד x = 0:
• כאשר x → 0+: 1x → ∞, ולכן e1/x → ∞, וגם 1x2 → ∞. לכן:
g(x) → −∞
• כאשר x → 0−: נסמן u = 1x → −∞. אז g = −eu · u2. הפונקציה eu שואפת ל־0 מהר יותר מכל חזקה של u, ולכן:
g(x) → 0
לכן x = 0 אסימפטוטה אנכית מימין בלבד.
אסימפטוטה אופקית: כאשר x → ±∞: 1x → 0, e1/x → e0 = 1, ו־1x2 → 0:
g(x) → −1 · 0 = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 (מימין) , y = 0

סעיף ב (2) – נקודת הקיצון של g(x)

g(x) = −e1/x · x−2
(e1/x)' = e1/x · (−1x2)📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(eu)' = eu · u'
g'(x)📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= −[e1/x · (−1x2) · x−2
+ e1/x · (−2x−3)]
g'(x) = e1/x · [1x4 + 2x3]
g'(x) = e1/x · 1 + 2xx4
e1/x > 0 ו־x4 > 0, ולכן הסימן של g' הוא הסימן של 1 + 2x:
1 + 2x = 0  ⇒  x = −12
1 + 2x שלילי כאשר x < −12, וחיובי כאשר x > −12 (בלי x = 0).
לכן g יורדת ב־x < −12, ועולה ב־−12 < x < 0 וב־x > 0. ירידה ואחריה עלייה – מינימום ב־x = −12:
g(−12) = −e−2(14) = −4e−2
= −4e2 ≈ −0.541
✅ פתרון סופי: מינימום (−12 , −4e2) ≈ (−0.5 , −0.541)

סעיף ג – סקיצה של g(x)

• משמאל: מתחיל קרוב ל־0 (מתחת לציר), יורד עד המינימום (−½ , −0.541), ואז עולה ומתקרב ל־0 כאשר x → 0− (הגרף לא מגיע לראשית).
• מימין: יוצא מ־−∞ ליד x = 0, עולה ומתקרב לציר ה־x מלמטה.
• כל הגרף מתחת לציר ה־x (סעיף א).
-4-224-2-1xy(−½ , −4/e²)
✅ פתרון סופי: סקיצה – כל הגרף מתחת לציר ה־x, מינימום (−½ , −4/e²)

סעיף ד – מציאת a

שימו לב: g(x) היא בדיוק הנגזרת של ef(x) = e1/x:
(e1/x)' = e1/x · (−1x2)📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(eu)' = eu · u'
= g(x)
לכן e1/x היא פונקציה קדומה של g(x).
a > 1 ⇐ ln a > 0 ו־ln(4a) > ln a, ולכן שני הישרים מימין לציר ה־y, ו־1ln(4a) < 1ln a. בתחום הזה g(x) < 0 (סעיף א), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל:
S📐 שטח מתחת לציר xS = −∫bag(x) dx(כאשר g(x) ≤ 0 בתחום)
= −∫1/ln a1/ln(4a)g(x) dx
S = −[e1/x]1/ln(4a)1/ln a
S = −(eln a − eln(4a))📐 חוק הלוגריתםeln u = u
S = −(a − 4a) = 3a
נתון שהשטח הוא 5:
3a = 5
a = 53
(53 > 1 – מתאים.)
✅ פתרון סופי: a = 53

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אשלילית ב־x < 0 וב־x > 0; אין חיוביות
סעיף ב (1)x = 0 (מימין), y = 0
סעיף ב (2)מינימום (−½ , −4/e²)
סעיף גסקיצה
סעיף דa = 53
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 572
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln, פונקציה קדומה ו־ln של ערך מוחלט

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1x · (a + 1(ln x)2). a הוא פרמטר חיובי.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, בנקודה שבה x = 1e.

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 1 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ג–ו.

g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת g'(x) = f(x). תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x). ידוע שלפונקציה g(x) יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־x.

ג. מצאו פונקציה g(x) המקיימת תנאים אלה.

בעבור הפונקציה g(x) שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו.

ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נתונה הפונקציה h(x) = ln|g(x)|.

ו. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה h(x). (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה h(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ארבעת הגרפים I–IV משאלה 5 בשאלון
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום ההגדרה של f(x)

הביטוי ln x מוגדר רק כאשר x > 0.📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר כאשר u > 0
המכנה (ln x)2 לא יכול להיות 0:
ln x = 0  ⇒  x = 1
גם המכנה x לא מתאפס (כבר x > 0).
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1 (כלומר 0 < x < 1 או x > 1)

סעיף ב – מציאת a

נכתוב את f כסכום:
f(x) = ax + 1x(ln x)2
נגזור את המחובר השני. נגזרת המכנה:
[x(ln x)2]'📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= 1 · (ln x)2
+ x · 2ln x · 1x
= (ln x)2 + 2ln x
[1x(ln x)2]'📐 נגזרת של 1 חלקי פונקציה(1v)' = −v'v2
= −(ln x)2 + 2ln xx2(ln x)4
= −ln x + 2x2(ln x)3
f'(x) = −ax2 − ln x + 2x2(ln x)3
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. נציב x = 1e: ln1e = −1, x2 = 1e2:
f'(1e) = −ae2 − −1 + 21e2 · (−1)3
= −ae2 − 1−1e2
= −ae2 + e2
e2(1 − a) = 0
a = 1
בדיקה: עם a = 1 נסמן u = ln x. מונה הנגזרת (עם מכנה משותף) הוא −(u3 + u + 2) = −(u + 1)(u2 − u + 2). הגורם u2 − u + 2 תמיד חיובי, ולכן הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן רק ב־u = −1, כלומר רק ב־x = 1e – באמת נקודת קיצון אחת ✓
✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – מציאת g(x)

g'(x) = f(x)
= 1x + 1x(ln x)2
∫1x dx = ln x📐 נגזרת של ln(ln x)' = 1x
במחובר השני 1x היא הנגזרת הפנימית של ln x:
∫(ln x)−2 · 1x dx📐 אינטגרל עם נגזרת פנימית∫(u(x))n · u'(x) dx= (u(x))n+1n + 1 + C
= (ln x)−1−1 = −1ln x
g(x) = ln x − 1ln x + C
נקודת הפיתול של g היא נקודה שבה ל־g' = f יש קיצון. לפי סעיף ב, ל־f יש קיצון יחיד ב־x = 1e, ושם הנגזרת של f מחליפה סימן – לכן זו נקודת הפיתול של g.
היא על ציר ה־x:
g(1e) = 0
ln1e − 1ln1e + C = 0
−1 − 1−1 + C = 0
−1 + 1 + C = 0  ⇒  C = 0
✅ פתרון סופי: g(x) = ln x − 1ln x

סעיף ד (1) – אסימפטוטות של g(x)

ליד x = 1: ln x → 0, ולכן 1ln x שואף לאין־סוף:
x → 1−:   ln x → 0−
⇒ g → +∞
x → 1+:   ln x → 0+
⇒ g → −∞
ליד x = 0: ln x → −∞, 1ln x → 0, ולכן g → −∞.
כאשר x → ∞: ln x → ∞ ו־1ln x → 0, ולכן g → ∞ – אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 1 ; אין אסימפטוטה אופקית

סעיף ד (2) – חיתוך עם ציר ה־x

ln x − 1ln x = 0
נכפול ב־ln x (שונה מ־0):
(ln x)2 = 1
ln x = 1  או  ln x = −1
x = e או x = 1e.📐 הגדרת lnln x = b ⇐ x = eb
✅ פתרון סופי: (1e , 0) , (e , 0)

סעיף ד (3) – עלייה וירידה

g'(x) = f(x)
= 1x · (1 + 1(ln x)2)
בתחום ההגדרה x > 0, ו־1 + 1(ln x)2 > 0.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית ב־0 < x < 1 וב־x > 1.
✅ פתרון סופי: עולה ב־0 < x < 1 וב־x > 1; אין תחומי ירידה

סעיף ה – סקיצה של g(x)

• ב־0 < x < 1: עולה מ־−∞ (ליד x = 0), חותכת את ציר ה־x ב־(1e , 0) (זו גם נקודת הפיתול), וממשיכה ל־+∞ ליד x = 1.
• ב־x > 1: עולה מ־−∞ (ליד x = 1), חותכת את ציר ה־x ב־(e , 0), וממשיכה לעלות לאט.
1/e1e4-4-224xyx = 1(1/e , 0)(e , 0)
✅ פתרון סופי: סקיצה עם x = 0, x = 1, (1/e , 0), (e , 0)

סעיף ו (1) – תחום ההגדרה של h(x)

צריך ש־g(x) תהיה מוגדרת, ו־|g(x)| > 0:📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר כאשר u > 0
x > 0 , x ≠ 1
g(x) ≠ 0
⇒ x ≠ 1e , x ≠ e
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1e , 1e < x < 1 , 1 < x < e , x > e

סעיף ו (2) – איזה גרף מתאר את h(x)

נבדוק איך h = ln|g| מתנהגת:
• ליד נקודות האפס של g (x = 1e ו־x = e): |g| → 0, ולכן h → −∞.
• ליד האסימפטוטות של g (x → 0+ ו־x → 1): |g| → ∞, ולכן h → +∞.
• כאשר x → ∞: g → ∞, ולכן h עולה ל־+∞.
לכן ל־h יש ערכים שליליים (ליד 1e ו־e) – זה פוסל את גרפים III ו־IV, שכולם מעל ציר ה־x.
בגרף I הפונקציה שואפת ל־−∞ ליד ציר ה־y ויורדת בקצה הימני – אבל h שואפת שם ל־+∞. לכן I נפסל.
בגרף II: מתחיל גבוה ליד ציר ה־y, יורד ל־−∞ (ב־1e), עולה ל־+∞ (ב־1), יורד ל־−∞ (ב־e) ואחר כך עולה – בדיוק כמו h.
(הבחירה נשענת על קריאת הגרפים שבשאלון, והיא מתאימה לכל הגבולות שחישבנו.)
✅ פתרון סופי: גרף II

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אx > 0 , x ≠ 1
סעיף בa = 1
סעיף גg(x) = ln x − 1ln x
סעיף ד (1)x = 0, x = 1
סעיף ד (2)(1/e , 0), (e , 0)
סעיף ד (3)עולה ב־0 < x < 1, x > 1
סעיף הסקיצה
סעיף ו (1)x > 0 , x ≠ 1/e , 1 , e
סעיף ו (2)גרף II
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות