בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2025 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1–3), ופרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה במועד זה: שעתיים ורבע. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד ב'

שאלון 472 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 5
שאלון 472 קיץ 2025 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 5

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית וסדרה הנדסית (חיסכון ומקרר)

📄 נוסח השאלה

מיכל הפקידה בכל חודש כסף לחיסכון. גובה הפיקדון שהיא העבירה בכל חודש גדול במספר קבוע מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש שלפניו. סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל בחודש הראשון והשני הוא 2,100 שקלים סך הכול. גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש החמישי גדול פי 3 מגובה הפיקדון שהיא העבירה בחודש הראשון.

א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.

ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,680 שקלים סך הכול.

בחודש ה־12, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 3 מן התשלום שלפניו.

ג. מצאו את התשלום הראשון.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הפיקדון בחודש הראשון

הפיקדון גדל כל חודש במספר קבוע ⟸ סדרה חשבונית. נסמן את הפיקדון הראשון a1 ואת ההפרש d.
a2 = a1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
הפיקדון בחודש הראשון והשני ביחד 2,100:
a1 + (a1 + d) = 2,100 ⟹ 2a1 + d = 2,100 (משוואה 1)
a5 = a1 + 4d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
הפיקדון בחודש החמישי פי 3 מהראשון:
a1 + 4d = 3a1 ⟹ 4d = 2a1 ⟹ a1 = 2d (משוואה 2)
מציבים את משוואה 2 במשוואה 1:
2 · 2d + d = 2,100 5d = 2,100 d = 2,1005 = 420
a1 = 2 · 420 = 840
בדיקה: a2 = 840 + 420 = 1,260 840 + 1,260 = 2,100 ✓ ; a5 = 840 + 4 · 420 = 2,520 = 3 · 840 ✓
✅ פתרון סופי: 840 שקלים

סעיף ב – אחרי כמה חודשים הסכום 22,680

22,680 = n2 · [2 · 840 + (n − 1) · 420]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · 840 = 1,680 (n − 1) · 420 = 420n − 420
22,680 = n2 · [1,680 + 420n − 420]
22,680 = n2 · [420n + 1,260]
כופלים ב־2:
45,360 = n · (420n + 1,260)
420n2 + 1,260n − 45,360 = 0
מחלקים את כל המשוואה ב־420:
1,260 : 420 = 3 45,360 : 420 = 108
n2 + 3n − 108 = 0
a = 1 , b = 3 , c = −108
b2 − 4ac = 9 + 432 = 441 √441 = 21
n1,2 = −3 ± 212📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n1 = 182 = 9 n2 = −242 = −12 – נפסל (מספר חודשים חיובי).
בדיקה: S9 = 92 · [1,680 + 8 · 420] = 4.5 · 5,040 = 22,680 ✓📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
✅ פתרון סופי: לאחר 9 חודשים

סעיף ג – התשלום הראשון על המקרר

מחיר המקרר = הפיקדון שהיה אמור להיות בחודש ה־12:
a12 = 840 + 11 · 420 = 840 + 4,620 = 5,460📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
ארבעה תשלומים, כל אחד פי 3 מהקודם ⟸ סדרה הנדסית עם q = 3 , n = 4, וסכומה 5,460. נסמן את התשלום הראשון b1:
5,460 = b1(34 − 1)3 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
34 = 81 81 − 1 = 80 3 − 1 = 2
5,460 = 80b12 = 40b1
b1 = 5,46040 = 136.5
בדיקה: 136.5 + 409.5 + 1,228.5 + 3,685.5 = 5,460 ✓
✅ פתרון סופי: 136.5 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א840 שקלים
סעיף ב9 חודשים
סעיף ג136.5 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים בפירמידה משולשת

📄 נוסח השאלהפירמידה משולשת SABC – שאלה 2

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC. נסמן: AB = u , AC = v , AS = w. הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC. נתון: SE = 34SB , SF = 34SC.

א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים SE , BC ו־SF.

ב. (1) הביעו באמצעות u ו־v את הווקטור EF. (2) הסבירו מדוע EF מקביל ל־BC.

נתון: B(1 , −1 , 3) , C(13 , 15 , 3).

ג. מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור BC ושל הווקטור EF.

נתון: E(5 , 1 , 6).

ד. מצאו את שיעורי הנקודה F.

נתון: A(4 , 12 , 3).

ה. (1) מצאו את גודל הזווית EAF. (2) חשבו את שטח המשולש EAF.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת SE , BC , SF

uvwABCSEF
הפירמידה לפי הנקודות האמיתיות של השאלה: A(4,12,3), B(1,−1,3), C(13,15,3), והקודקוד S(17,7,15) שמתקבל מהנתונים. בירוק: EF. קו מקווקו – מקצוע נסתר.
SB: הולכים מ־S ל־A ומשם ל־B. הכיוון מ־S ל־A הפוך ל־w:
SB = SA + AB = −w + u = u − w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
SE = 34SB = 34(u − w)
BC = BA + AC = −u + v📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
BC = v − u
SC = SA + AC = v − w📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
SF = 34SC = 34(v − w)
✅ פתרון סופי: SE = 34u − 34w , BC = v − u , SF = 34v − 34w

סעיף ב – הווקטור EF ולמה הוא מקביל ל־BC

(1) הולכים מ־E חזרה ל־S ומשם ל־F:
EF = ES + SF = −SE + SF📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
= −34(u − w) + 34(v − w)
= −34u + 34w + 34v − 34w
האיברים עם w מתקזזים (34w − 34w = 0):
EF = 34v − 34u = 34(v − u)
(2) מסעיף א: BC = v − u, ולכן:
EF = 34BC📐 וקטורים מקביליםa = k·b ⟹ a ∥ b
הווקטור EF הוא כפולה של BC במספר, ולכן הם באותו כיוון ו־EF ∥ BC.
✅ פתרון סופי: EF = 34v − 34u ; EF = 34BC ⟸ EF ∥ BC

סעיף ג – ההצגה האלגברית של BC ו־EF

BC = C − B = (13 − 1 , 15 − (−1) , 3 − 3)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
BC = (12 , 16 , 0)
EF = 34BC = 34(12 , 16 , 0)📐 כפל וקטור במספרk(x , y , z) = (kx , ky , kz)
34·12 = 9 34·16 = 12 34·0 = 0
EF = (9 , 12 , 0)
✅ פתרון סופי: BC = (12 , 16 , 0) , EF = (9 , 12 , 0)

סעיף ד – שיעורי F

F = E + EF📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
F = (5 + 9 , 1 + 12 , 6 + 0) = (14 , 13 , 6)
✅ פתרון סופי: F(14 , 13 , 6)

סעיף ה – הזווית EAF ושטח המשולש EAF

(1) הזווית EAF היא הזווית בין הווקטורים AE ו־AF:
AE = E − A = (5 − 4 , 1 − 12 , 6 − 3) = (1 , −11 , 3)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
AF = F − A = (14 − 4 , 13 − 12 , 6 − 3) = (10 , 1 , 3)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
AE·AF = 1·10 + (−11)·1 + 3·3 = 10 − 11 + 9 = 8📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2) =x1x2 + y1y2 + z1z2
|AE| = √(12 + (−11)2 + 32) = √(1 + 121 + 9) = √131📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
|AF| = √(102 + 12 + 32) = √(100 + 1 + 9) = √110📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
cos(∢EAF) = 8√131 · √110 = 8√14,410 ≈ 0.06664📐 זווית בין וקטוריםcos(הזווית) = a·b|a|·|b|
∢EAF ≈ 86.18 מעלות
√131√110ABCSEF
המשולש EAF (בתכלת) בתוך הפירמידה, לפי הקואורדינטות. הקשת מסמנת את הזווית ב־A.
(2) שטח המשולש לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:
S = 12 · √131 · √110 · sin86.18📐 שטח משולשS = 12·a·b·sin(הזווית)
√131 ≈ 11.446 √110 ≈ 10.488 sin86.18 ≈ 0.99778
S ≈ 0.5 · 11.446 · 10.488 · 0.99778 ≈ 59.89
✅ פתרון סופי: (1) ∢EAF ≈ 86.18 מעלות
(2) S ≈ 59.89 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אSE = 34(u − w)
BC = v − u
SF = 34(v − w)
סעיף בEF = 34(v − u)
EF = 34BC ⟸ מקבילים
סעיף ג(12 , 16 , 0)
(9 , 12 , 0)
סעיף דF(14 , 13 , 6)
סעיף ה86.18 מעלות
S ≈ 59.89
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה ודעיכה (האזנות לשני שירים)

📄 נוסח השאלהגרפים I ו־II – מספר ההאזנות – שאלה 3

שני שירים A ו־B הועלו ביום מסוים לאותה רשת חברתית. מספר ההאזנות לשיר A גדל באחוז קבוע בכל יום. מספר ההאזנות לשיר B גדל בכל יום באחוז הגדול פי 2 מן האחוז שבו גדל בכל יום מספר ההאזנות לשיר A. לפניכם שני גרפים I–II המתארים את מספר ההאזנות לכל שיר לפי הזמן, מיום העלאת השירים (גרף I מתחיל ב־5,000 וגרף II מתחיל ב־3,032).

א. מבין הגרפים I–II קבעו איזה גרף מתאים לשיר A. נמקו את קביעתכם.

נתון כי לאחר 5 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר A היה 7,350.

ב. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר ההאזנות לשיר A בכל יום.

ג. מצאו בכמה היה גדול מספר ההאזנות לשיר A ממספר ההאזנות לשיר B, לאחר 5 ימים מיום העלאת השירים.

ד. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, היה מספר ההאזנות לשיר A שווה למספר ההאזנות לשיר B.

כאשר מספר ההאזנות לשיר A היה שווה למספר ההאזנות לשיר B, החלה ירידה במספר ההאזנות לשיר A. בכל יום קטן מספר ההאזנות לשיר A באותו האחוז שבו הוא גדל לפני כן.

ה. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר A היה 2,450.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזה גרף מתאים לשיר A

השיר B גדל באחוז גדול יותר (פי 2), כלומר הגרף שלו עולה מהר יותר. בסרטוט הגרפים נפגשים, כלומר הגרף שעולה מהר יותר "משיג" את השני – ולכן הוא חייב להתחיל נמוך יותר.
גרף II מתחיל נמוך (3,032) ומשיג את גרף I ⟸ גרף II הוא B. גרף I מתחיל גבוה (5,000) ועולה לאט יותר ⟸ הוא A.
✅ פתרון סופי: גרף I מתאים לשיר A

סעיף ב – אחוז הגדילה של A

שיר A מתחיל ב־5,000 (גרף I), ואחרי 5 ימים 7,350:
5,000 · q5 = 7,350📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q5 = 7,3505,000 = 1.47
q = 5√1.47 ≈ 1.08📐 שורש ממעלה nqn = c ⟹ q = n√c
p = (1.08 − 1) · 100 = 8📐 אחוז הגדילהp = (q − 1) · 100
בדיקה: 5,000 · 1.085 ≈ 5,000 · 1.4693 ≈ 7,347 ≈ 7,350 ✓
✅ פתרון סופי: מספר ההאזנות לשיר A גדל בכל יום ב־8%

סעיף ג – ההפרש אחרי 5 ימים

שיר B גדל באחוז כפול: 2 · 8% = 16%:
qB = 1 + 16100 = 1.16📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
B(5) = 3,032 · 1.165📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.165 ≈ 2.1003 B(5) ≈ 3,032 · 2.1003 ≈ 6,368
7,350 − 6,368 = 982
✅ פתרון סופי: אחרי 5 ימים היו לשיר A בערך 982 האזנות יותר (בערך 980)

סעיף ד – מתי מספרי ההאזנות שווים

5,000 · 1.08t = 3,032 · 1.16t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־1.08t וב־3,032:
5,0003,032 = 1.16t1.08t = (1.161.08)t
5,0003,032 ≈ 1.64908 1.161.08 ≈ 1.074074
1.074074t = 1.64908
t = ln 1.64908ln 1.074074📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
t ≈ 0.500250.071459 ≈ 7
בדיקה: 5,000 · 1.087 ≈ 8,569 3,032 · 1.167 ≈ 8,569 ✓
t57101520222,4505,00010,000AB7,350נפגשים(22 , 2,450)
מספר ההאזנות לפי קנה מידה: A בכחול, B בסגול. אחרי 7 ימים הם נפגשים, ואז A מתחיל לרדת.
✅ פתרון סופי: לאחר 7 ימים

סעיף ה – מתי ל־A היו 2,450 האזנות

ביום ה־7 היו לשיר A:
A(7) = 5,000 · 1.087 ≈ 8,569📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מעכשיו המספר קטן ב־8% בכל יום:
q = 1 − 8100 = 0.92📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
נסמן ב־s את מספר הימים מתחילת הירידה:
8,569 · 0.92s = 2,450📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.92s = 2,4508,569 ≈ 0.28591
s = ln 0.28591ln 0.92📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
s ≈ −1.25209−0.083382 ≈ 15
הזמן מיום העלאת השירים: 7 ימי עלייה ועוד 15 ימי ירידה:
7 + 15 = 22
✅ פתרון סופי: לאחר 22 ימים מיום העלאת השירים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אגרף I
סעיף ב8%
סעיף גבערך 982 האזנות
סעיף ד7 ימים
סעיף ה22 ימים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – גדילה ודעיכה עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e (מנה), נגזרת ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e2xex − 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x). הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד – הנקודה B.

גרף פונקציית הנגזרת – שאלה 4

ג. מצאו את שיעור ה־x של הנקודה B.

ד. (1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x). (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = ln12.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

(1) במנה אסור שהמכנה יהיה 0:
ex − 4 ≠ 0 ⟹ ex ≠ 4
x ≠ ln4📐 פתרון e בחזקת xex = b ⟹ x = ln b
(2) ב־x = ln4 המכנה 0 והמונה e2ln4 = 16 ≠ 0:
x = ln4📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 (והמונה ≠ 0)
✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ln4
(2) x = ln4 (ln4 ≈ 1.39)

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y מציבים x = 0:
f(0) = e0e0 − 4 = 11 − 4 = −13📐 חזקת אפסe0 = 1
עם ציר ה־x: צריך f(x) = 0, כלומר מונה e2x = 0. אבל e2x > 0 תמיד, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־x.
✅ פתרון סופי: (0 , −13) ; אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ג – הנקודה B

גוזרים לפי נגזרת של מנה: u = e2x , v = ex − 4.
u′ = 2e2x v′ = ex📐 נגזרת של e(ekx)′ = k · ekx
f′(x) = 2e2x(ex − 4) − e2x · ex(ex − 4)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
מוציאים e2x גורם משותף במונה:
f′(x) = e2x(2ex − 8 − ex)(ex − 4)2 = e2x(ex − 8)(ex − 4)2
בנקודה B הנגזרת שווה 0. e2x > 0 תמיד, ולכן:
ex − 8 = 0 ⟹ ex = 8
x = ln8📐 פתרון e בחזקת xex = b ⟹ x = ln b
✅ פתרון סופי: xB = ln8 ≈ 2.08

סעיף ד – עלייה, ירידה וסקיצה

(1) הסימן של f′(x) = e2x(ex − 8)(ex − 4)2 נקבע רק לפי ex − 8 (כי e2x > 0 והמכנה בריבוע חיובי). זה מתאים לגרף הנגזרת: מתחת לציר משמאל ל־B, ומעל הציר מימין לו.
xf′f
x < ln4−יורדת
ln4אסימפטוטה – לא מוגדרת
ln4 < x < ln8−יורדת
ln80מינימום
x > ln8+עולה
לדוגמה: x = 0 : e0 − 8 = −7 < 0 , x = ln12 : 12 − 8 = 4 > 0.
(2) לסקיצה נחשב את נקודת המינימום ונבדוק מה קורה בקצוות:
f(ln8) = e2ln8eln8 − 4 = 828 − 4 = 644 = 16📐 e בחזקת lneln b = b
כש־x → −∞: e2x → 0 והמכנה → −4, ולכן f → 0 מלמטה (הגרף מתחת לציר, למשל f(0) = −⅓). ליד x = ln4 משמאל f → −∞ ומימין f → +∞.
xyln4ln816f(x)מינימום (ln8 , 16)(0 , −⅓)
הגרף של f לפי החישוב: אסימפטוטה אנכית x = ln4 (מקווקו), מינימום (ln8 , 16).
✅ פתרון סופי: (1) יורדת: x < ln4 , ln4 < x < ln8 ; עולה: x > ln8
(2) סקיצה למעלה, מינימום ב־(ln8 , 16)

סעיף ה – השטח בין f′ , ציר x ו־x = ln12

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־B(ln8 , 0). בין x = ln8 ל־x = ln12 הנגזרת חיובית (מעל הציר) – זה השטח המוגבל.
xln8ln12f′(x)
גרף הנגזרת לפי קנה מידה; השטח בתכלת בין ln8 ל־ln12.
S = ∫ln8ln12 f′(x)dx = f(ln12) − f(ln8)📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
f(ln12) = e2ln12eln12 − 4 = 12212 − 4 = 1448 = 18📐 e בחזקת lneln b = b
f(ln8) = 16 (מסעיף ד)
S = 18 − 16 = 2
✅ פתרון סופי: S = 2 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אx ≠ ln4
x = ln4
סעיף ב(0 , −⅓)
אין חיתוך עם ציר x
סעיף גx = ln8
סעיף דיורדת: x < ln4 , ln4 < x < ln8
עולה: x > ln8
סעיף ה2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מכפלה) ופרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x2 · (−2 + ln x).

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ד. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x). נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקצייה g(x) = a · f(x). a הוא פרמטר שונה מ־0. הפונקציות g(x) ו־f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x) הוא 0.6 · e3.

ה. (1) מצאו את הערך של a. (2) מהו סוג נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x)? נמקו את תשובתכם. (3) קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את הפונקצייה g(x). נמקו את קביעתכם.

גרפים I–IV – שאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום הגדרה

x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: צריך להציב x = 0, אבל 0 לא בתחום ההגדרה ⟸ אין חיתוך עם ציר ה־y.
ציר ה־x: f(x) = 0. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:
x2 · (−2 + ln x) = 0
x2 = 0 ⟹ x = 0 – לא בתחום. לכן:
−2 + ln x = 0 ⟹ ln x = 2
x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (e2 , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y

סעיף ג – נקודת הקיצון של f

נגזרת של מכפלה: u = x2 , v = −2 + ln x.
u′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
v′ = 1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 2x(−2 + ln x) + x2 · 1x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
x2 · 1x = x f′(x) = −4x + 2x·ln x + x
f′(x) = 2x·ln x − 3x = x(2ln x − 3)
משווים ל־0. x > 0 (בתחום), לכן:
2ln x − 3 = 0 ⟹ ln x = 1.5
x = e1.5 ≈ 4.48📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(e1.5) = (e1.5)2 · (−2 + 1.5) = e3 · (−0.5) = −e32 ≈ −10.04📐 חזקה של חזקה(am)n = am·n
f′(1) = 1 · (0 − 3) = −3 < 0 f′(e2) = e2(4 − 3) > 0
הנגזרת עוברת מ־− ל־+ ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e1.5 , −e32) ≈ (4.48 , −10.04)

סעיף ד – איזה גרף הוא f

מה ידוע על f: מוגדרת רק ל־x > 0; אין חיתוך עם ציר ה־y (כשמתקרבים ל־0 הערך x2(−2 + ln x) מתקרב ל־0, ולכן בראשית עיגול ריק); יורדת עד מינימום מתחת לציר ה־x; עולה וחותכת את ציר ה־x ב־e2.
גרף I: עיגול ריק בראשית, ירידה למינימום מתחת לציר ואז עלייה וחיתוך – מתאים ✓. גרפים II ו־IV מתארים מקסימום – לא מתאים. גרף III מתחיל גבוה ליד ציר ה־y ולא בראשית – לא מתאים.
xye1.5e²−e³/20.6e³f(x)g(x)מינימוםמקסימום
f (כחול) ו־g = −1.2f (סגול) לפי החישוב.
✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ה – הפרמטר a וגרף g

(1) g(x) = a · f(x), ולכן g′(x) = a · f′(x). הנגזרת מתאפסת באותו מקום – x = e1.5.
g(e1.5) = a · f(e1.5) = a · (−e32)📐 נגזרת של כפולה בקבוע(a · f(x))′ = a · f′(x)
a · (−0.5e3) = 0.6e3
מחלקים את שני האגפים ב־e3:
−0.5a = 0.6 a = 0.6−0.5 = −1.2
(2) g′ = −1.2 · f′: הסימנים של g′ הפוכים לאלה של f′. אצל f הנגזרת עברה מ־− ל־+, ולכן אצל g היא עוברת מ־+ ל־−:
נקודת הקיצון של g היא מקסימום (ושיעור ה־y שלה 0.6e3 > 0).📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
(3) הגרף של g = −1.2f הוא הגרף של f "הפוך" ומתוח: עיגול ריק בראשית, מקסימום מעל הציר, חיתוך ב־e2 ואז ירידה. זה גרף IV. (גרף II לא מתאים כי הוא מתחיל למטה ליד ציר ה־y, ולא בראשית.)
✅ פתרון סופי: (1) a = −1.2
(2) מקסימום
(3) גרף IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אx > 0
סעיף ב(e2 , 0)
סעיף גמינימום (e1.5 , −e3/2)
סעיף דגרף I
סעיף הa = −1.2
מקסימום
גרף IV
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת פרמטר: קיצון עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות