אינטגרל מצטבר – 5 יחידות
אינטגרל מצטבר (אינטגרל צובר שטח) הוא נושא של 5 יחידות: פונקציה g(t) שסופרת כמה שטח נצבר עד t. בעמוד הזה הכללים – מתי g עולה ויורדת, איפה יש לה קיצון ופיתול – ושאלות פתורות מתוך שיעורי הקורס, כולל סעיפים מבגרות 2021 ו־2023.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.
בעמוד הזה:
- מהו אינטגרל מצטבר
- חישוב ערכי g(t) מתוך שטחים
- בגרות 2021: מתי האינטגרל מינימלי
- בגרות 2023: פונקציה אי־זוגית ונקודות פיתול
- אינטגרל מצטבר עם נוסחה
- טעויות נפוצות
- שאלות נפוצות
אינטגרל מצטבר (אינטגרל צובר שטח)
g(t) = ∫0t f(x) dx
g′(t) = f(t)
שטח מעל ציר x ← g עולה · שטח מתחת לציר x ← g יורדת
חיתוך של f עם ציר x ← קיצון של g · קיצון של f ← פיתול של g
מהו אינטגרל מצטבר
אינטגרל מצטבר הוא פונקציה חדשה: הערך שלה ב־t הוא האינטגרל של f(x) מהגבול הקבוע (למשל 0) עד t – כמה "שטח" נצבר עד הנקודה t. מעל ציר x מוסיפים שטח, ומתחת לציר x האינטגרל שלילי ומורידים אותו מהסכום.
הכלל החשוב: g′(t) = f(t). כלומר הגרף של f הוא גרף הנגזרת של g, ומכאן כל הכללים:
| מה רואים ב־f | מה קורה ל־g |
|---|---|
| f מעל ציר x (חיובית) | g עולה |
| f מתחת לציר x (שלילית) | g יורדת |
| f חוצה את ציר x מלמעלה למטה | מקסימום של g |
| f חוצה את ציר x מלמטה למעלה | מינימום של g |
| נקודת קיצון של f | נקודת פיתול של g |
דוגמה 1: חישוב ערכי g(t) מתוך שטחים
מתוך שיעור 41 בקורס.
נתונה פונקציה f(x). השטחים בין הגרף לציר x: מ־0 עד 1 – 2, מ־1 עד 2 – 6, מ־2 עד 3 – 6, מ־3 עד 4 – 2 (מעל הציר), ומ־4 עד 6 הגרף מתחת לציר והאינטגרל שם −3. ל־f יש מקסימום ב־x = 2. נתון g(t) = ∫0t f(x) dx. חשבו את g(1), g(2), g(3), g(4), g(6) ותארו את g.
פתרון שלב אחר שלב
g(1) = 2
g(2) = 2 + 6 = 8
g(3) = 2 + 6 + 6 = 14
g(4) = 14 + 2 = 16
מ־4 עד 6 האינטגרל שלילי – מורידים:
g(6) = 16 + (−3) = 13
תיאור g. מ־0 עד 4 צוברים שטח חיובי ← g עולה. מ־4 עד 6 צוברים שטח שלילי ← g יורדת. ב־t = 4 f חוצה את ציר x מחיובי לשלילי ← מקסימום של g. ב־x = 2 יש ל־f קיצון ← ב־t = 2 נקודת פיתול של g: עד 2 החתיכות גדלות (2, 6) וההתקדמות מאיצה, אחרי 2 הן קטנות (6, 2) וההתקדמות מאטה.
תשובה: g(1) = 2, g(2) = 8, g(3) = 14, g(4) = 16, g(6) = 13; מקסימום של g ב־t = 4, פיתול ב־t = 2.
🎬 הסרטון של הדוגמה
שיעור 41 – אינטגרל מצטבר-(אינטגרל צובר שטח) · אינטגרלים – שאלון 571
דוגמה 2: מתי האינטגרל מקבל ערך מינימלי
מתוך שיעור 42 בקורס – "סעיף מבגרות 2021", כפי שהשיעור מציג אותו.
גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר x ב־x = 0 וב־x = 6; בין 0 ל־6 הגרף מתחת לציר x, ואחרי 6 מעליו. האם קיים a > 0 שבעבורו ∫0a f(x) dx מקבל ערך מינימלי? אם כן – מהו?
פתרון שלב אחר שלב
זה אינטגרל מצטבר שמתחיל ב־0. מ־0 עד 6 הגרף מתחת לציר x – צוברים שטח שלילי, והאינטגרל יורד כל הזמן. אחרי 6 הגרף מעל הציר – מוסיפים שטח חיובי, והאינטגרל עולה.
לכן הערך הכי נמוך מתקבל בדיוק כשמפסיקים לצבור שטח שלילי – ב־a = 6. (זו נקודת מינימום של האינטגרל המצטבר: f חוצה את ציר x מלמטה למעלה.)
תשובה: כן, a = 6.
🎬 הסרטון של הדוגמה
שיעור 42 – אינטגרל מצטבר לקוח מבגרות 2021 · אינטגרלים – שאלון 571
דוגמה 3: פונקציה אי־זוגית ונקודות פיתול
מתוך שיעור 43 בקורס – "סעיף מבגרות 2023", כפי שהשיעור מציג אותו.
f(x) אי־זוגית ומוגדרת לכל x; בין −2 ל־0 הגרף מתחת לציר x, בין 0 ל־2 מעליו, ול־f יש מינימום משמאל ל־0 ומקסימום מימין ל־0. נתון g(t) = ∫−2t f(x) dx בתחום −2 ≤ t ≤ 2. (1) באיזה תחום g יורדת? (2) האם יש t שבעבורו g חיובית? (3) האם ל־g יש נקודות פיתול?
פתרון שלב אחר שלב
(1) g′(t) = f(t). בין −2 ל־0 f < 0 ← g יורדת.
תשובה: −2 < t < 0
(2) f אי־זוגית, ולכן השטח משמאל ל־0 שווה לשטח מימין ל־0. נסמן אותו S₁. האינטגרל משמאל הוא −S₁ (מתחת לציר) ומימין S₁:
g(2) = −S₁ + S₁ = 0
g יורדת מ־0 עד ערך שלילי ב־t = 0, ואז עולה בחזרה רק עד 0 ב־t = 2. היא אף פעם לא מעל ציר t.
תשובה: לא – g(t) ≤ 0 בכל התחום.
(3) g″(t) = f′(t). נקודת פיתול של g היא איפה ש־g″ מחליפה סימן – כלומר נקודות הקיצון של f.
תשובה: כן – בנקודות הקיצון של f (המינימום משמאל ל־0 והמקסימום מימין ל־0).
🎬 הסרטון של הדוגמה
שיעור 43 – אינטגרל מצטבר לקוח מבגרות 2023 · אינטגרלים – שאלון 571
דוגמה 4: אינטגרל מצטבר עם נוסחה
תרגול בסגנון בגרות – מתמטריק
נתון g(t) = ∫0t (x² − 4x) dx עבור t ≥ 0. מצאו את נקודת הקיצון של g וקבעו את סוגה, ומצאו עבור איזה t > 0 מתקיים g(t) = 0.
פתרון שלב אחר שלב
פונקציה קדומה של x² − 4x: x³3 − 2x². מציבים את הגבולות t ו־0:
g(t) = t³3 − 2t²
קיצון. g′(t) = f(t) = t² − 4t:
t² − 4t = 0
t(t − 4) = 0
בתחום t > 0 נשאר t = 4.
| תחום | סימן הנגזרת | g |
|---|---|---|
| 0 < t < 4 | שלילי (t = 1 ← −3) | יורדת ↘ |
| t > 4 | חיובי (t = 5 ← 5) | עולה ↗ |
g(4) = 643 − 32
= 643 − 963 = −323
תשובה: מינימום (4 , −323).
g(t) = 0.
t³3 − 2t² = 0
גורם משותף t²:
t²(t3 − 2) = 0
t > 0, ולכן t3 = 2 ← t = 6. עד 4 נצבר שטח שלילי, ומ־4 עד 6 שטח חיובי שווה לו – ולכן ב־6 הסכום חוזר ל־0.
תשובה: t = 6
🎬 סרטון על אותו נושא
שיעור 42 – אינטגרל מצטבר לקוח מבגרות 2021 · אינטגרלים – שאלון 571
הדוגמה למעלה היא תרגול בסגנון בגרות – מתמטריק. בסרטון: מתי האינטגרל המצטבר מקבל ערך מינימלי.
טעויות נפוצות
- לבלבל בין שטח לאינטגרל: שטח תמיד חיובי, אינטגרל מתחת לציר x שלילי.
- לחפש את הקיצון של g בקיצון של f. הקיצון של g הוא בנקודות החיתוך של f עם ציר x.
- לשכוח מאיפה מתחילים לצבור. הגבול הקבוע (למשל 0 או −2) הוא הנקודה שבה g = 0.
- לחשוב ש־g יורדת כשהגרף של f יורד. g יורדת כש־f שלילית.
שאלות נפוצות
מהו אינטגרל מצטבר?
פונקציה g(t) שהערך שלה הוא האינטגרל של f מגבול קבוע עד t – סכום השטחים שנצברו עד t, כשהשטח מתחת לציר x נספר עם מינוס.
מה הקשר בין g(t) לבין f?
הנגזרת של g היא f: כש־f חיובית g עולה, כש־f שלילית g יורדת, בחיתוך של f עם ציר x יש ל־g קיצון, ובקיצון של f יש ל־g פיתול.
מתי אינטגרל מצטבר מקבל ערך מינימלי?
כשמפסיקים לצבור שטח שלילי ומתחילים לצבור חיובי – בנקודה שבה f חוצה את ציר x מלמטה למעלה.
רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס האינטגרלים המלא – שאלון 571 – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 571.