פתרון משוואה ממעלה ראשונה – שלב אחר שלב

משוואה ממעלה ראשונה (משוואה עם נעלם אחד) פותרים בארבעה שלבים: מכנסים, מעבירים אגף, מחלקים ובודקים. בעמוד הזה: הכלל, השלבים, ושלוש דוגמאות פתורות שלב אחר שלב – משוואה פשוטה, x בשני האגפים ומשוואה עם סוגריים.

רוצים לראות סרטונים בנושא? היכנסו לקורס הטכניקה האלגברית המלא – שיעורים מוקלטים, דפי הסבר ותרגילים פתורים לבגרות 472.

לקורס הטכניקה האלגברית המלא ←

בעמוד הזה:

הכלל: מבודדים את x
4 שלבים לפתרון
דוגמה: משוואה פשוטה
דוגמה: x בשני האגפים
דוגמה: משוואה עם סוגריים
תרגיל נוסף: מינוס לפני סוגריים
טעויות נפוצות
שאלות נפוצות

הכלל: מבודדים את x

x + b = c ⟹ x = c − b

a · x = c ⟹ x = ca

מעבירים איבר לאגף השני עם הסימן ההפוך, ומחלקים את שני האגפים במספר שכופל את x. כל פעולה עושים על שני האגפים, וכך השוויון נשמר.

מה זו משוואה ממעלה ראשונה?

משוואה ממעלה ראשונה היא משוואה שבה x מופיע רק בחזקה 1 (אין x²). המטרה היא לבודד את x: להשאיר אותו לבד באגף אחד, וכל המספרים באגף השני.

4 שלבים לפתרון

מכנסים – מחברים איברים דומים: איברים עם x לחוד, מספרים לחוד. אם יש סוגריים, קודם פותחים אותם.
מעבירים אגף – איבר עובר לאגף השני עם סימן הפוך: פלוס הופך למינוס, מינוס הופך לפלוס. גם איבר עם x.
מחלקים – מחלקים את שני האגפים במקדם של x, יחד עם הסימן שלו.
בודקים – מציבים את התשובה במשוואה המקורית ובודקים ששני האגפים שווים.

דוגמה 1: משוואה פשוטה

פתרו: 7 − 2x = 15

פתרון שלב אחר שלב

מעבירים את 7 לאגף השני. לפניו אין סימן, כלומר הוא בפלוס, ולכן עובר במינוס:

−2x = 15 − 7

−2x = 8

מחלקים את שני האגפים ב־(−2). שימו לב: מחלקים יחד עם סימן המינוס!

x = 8−2

פלוס חלקי מינוס יוצא מינוס. נצמצם ב־2:

x = −4

בדיקה: 7 − 2 · (−4) = 7 + 8 = 15 ✓

תשובה: x = −4

דוגמה 2: x בשני האגפים

פתרו: 5x − 4 = 2x + 11

פתרון שלב אחר שלב

מעבירים את 2x לאגף של 5x: הוא היה בפלוס, ולכן עובר במינוס. מעבירים את −4 לאגף השני: הוא היה במינוס, ולכן עובר בפלוס:

5x − 2x = 11 + 4

מכנסים איברים דומים בכל אגף:

3x = 15

מחלקים את שני האגפים ב־3:

x = 153

נצמצם ב־3:

x = 5

בדיקה – כל אגף לחוד:

5 · 5 − 4 = 25 − 4 = 21

2 · 5 + 11 = 10 + 11 = 21 ✓

תשובה: x = 5

דוגמה 3: משוואה עם סוגריים

פתרו: 4(2x − 1) − 3(x + 2) = 2(x + 1)

פתרון שלב אחר שלב

פותחים כל סוגריים לחוד, בחוק הפילוג. המספר שלפני הסוגריים כופל כל איבר בפנים:

4(2x − 1) = 8x − 4

שימו לב: המינוס שלפני 3 נכנס לסוגריים!

−3(x + 2) = −3x − 6

2(x + 1) = 2x + 2

כותבים את המשוואה בלי סוגריים:

8x − 4 − 3x − 6 = 2x + 2

מכנסים: 8x − 3x = 5x , −4 − 6 = −10

5x − 10 = 2x + 2

מעבירים את 2x במינוס ואת −10 בפלוס:

5x − 2x = 2 + 10

3x = 12

מחלקים את שני האגפים ב־3 ונצמצם ב־3:

x = 123 = 4

בדיקה:

4 · 7 − 3 · 6 = 28 − 18 = 10

2 · 5 = 10 ✓

תשובה: x = 4

תרגיל נוסף: מינוס לפני סוגריים

פתרו: 3 − 2(4 − x) = 5x + 7

פתרון שלב אחר שלב

זהירות: המינוס שלפני ה־2 נכנס לסוגריים ומשנה את כל הסימנים בפנים:

−2(4 − x) = −8 + 2x

3 − 8 + 2x = 5x + 7

2x − 5 = 5x + 7

איברים עם x לאגף אחד, מספרים לאגף השני:

2x − 5x = 7 + 5

−3x = 12

מחלקים את שני האגפים ב־(−3) ונצמצם ב־3:

x = 12−3 = −4

בדיקה:

3 − 2(4 + 4) = 3 − 16 = −13

5 · (−4) + 7 = −20 + 7 = −13 ✓

תשובה: x = −4

יש במשוואה שברים? ראו משוואה עם שברים – מכנה משותף. משוואה מתוך סיפור: בעיות מילוליות עם משוואה.

טעויות נפוצות

להעביר איבר אגף בלי להחליף לו את הסימן.
לחלק במקדם בלי הסימן שלו: ב־−2x = 8 מחלקים ב־(−2), לא ב־2.
לשכוח שמינוס לפני סוגריים הופך את הסימן של כל איבר בפנים: −3(x + 2) = −3x − 6.
לא לבדוק. הצבה במשוואה המקורית תופסת כמעט כל טעות סימן.

שאלות נפוצות

מה המטרה בפתרון משוואה ממעלה ראשונה?

לבודד את x: להשאיר אותו לבד באגף אחד וכל המספרים באגף השני. כל פעולה עושים על שני האגפים.

מה עושים כשיש x בשני האגפים?

מעבירים את כל האיברים עם x לאגף אחד ואת כל המספרים לאגף השני, כל אחד עם סימן הפוך, מכנסים ומחלקים במקדם של x.

איך בודקים שהפתרון נכון?

מציבים את הערך של x במשוואה המקורית ומחשבים כל אגף לחוד. אם יוצא אותו מספר בשני האגפים, הפתרון נכון.

לקורס הטכניקה האלגברית המלא ←

עוד באתר

הבא: משוואה עם שברים – מכנה משותף ←