מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותרגרסיה – קשר לינארי, מקדם המתאם וקו הניבוי

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: רגרסיה – 471

1. קשר לינארי והצגתו

קשר בין שני משתנים: x (למשל שנות לימוד) ו־y (למשל משכורת). כל נקודה בדיאגרמת הפיזור היא תצפית אחת (אדם אחד): ה־x שלו וה־y שלו. "לינארי" = קו ישר.

  • מציגים בשתי דרכים: דיאגרמת פיזור או טבלה של ערכי x ו־y.
  • קשר בעלייה: ככל ש־x גדל, y גדל.
  • קשר בירידה: ככל ש־x גדל, y קטן.
  • קו הניבוי (קו הרגרסיה): קו ישר שעובר באמצע כל הנקודות, מעין ממוצע שלהן.
🔹 ניבוי מהגרף: הולכים על ציר x לערך הרצוי, עולים עד הקו וקוראים את y. זה ניבוי בלבד, לא ודאות.

2. מקדם המתאם r

📐 התחום של מקדם המתאם
−1 ≤ r ≤ 1
כל הנקודות על הקו ← קשר מושלם: r = 1 או r = −1
הנקודות עולות0 < r < 1 (חיובי)
הנקודות יורדות−1 < r < 0 (שלילי)
צמודות לקוקרוב ל־1 או ל־−1: קשר חזק (מעל 0.5 זה קשר טוב)
מפוזרות בלי כיווןr = 0: אין קשר
בצורת פרבולהאין קשר לינארי, r = 0
x קבוע או y קבועr לא מוגדר (המכנה מתאפס)
xy
עלייה, צמוד לקו: r ≈ 0.95
xy
עלייה, מפוזר יותר: r ≈ 0.60
xy
ירידה, צמוד לקו: r ≈ −0.92
xy
בלי כיוון: r ≈ 0.00
−1−0.500.51ירידה חזקהאין קשרעלייה חזקה
התחום של r: קשר חזק בירידה (כחול), קשר חזק בעלייה (ירוק חזק), r = 0 אין קשר (סגול)
מטבלה: x גדל כל פעם ב־1, ו־y משתנה תמיד באותו מספר ← כל הנקודות על קו אחד:
y עולה באותו מספר ← r = 1 · y יורד באותו מספר ← r = −1
רוב הנתונים עולים, אבל לא באותו קצב ← 0 < r < 1 · פעם עולה ופעם יורד ← r = 0
🔹 בחירה מבין כמה ערכים של r: קודם כיוון (עולה ← חיובי, יורד ← שלילי) ופוסלים. אחר כך: כל הנקודות על הקו? רק אז r = 1 או r = −1. מספר מחוץ לתחום (למשל 1.6) לא ייתכן.

3. השיפוע של קו הניבוי

📐 שיפוע קו הרגרסיה
m = r · SySx
סטיית התקן של y במונה, של x במכנה

r – מקדם המתאם, Sx – סטיית התקן של ערכי x, Sy – סטיית התקן של ערכי y. לא צריך את כל הנתונים עצמם.

דוגמה (שיעור 5): Sx = 2.5 , Sy = 6 , r = 0.4
m = 0.4 · 62.5 = 2.42.5 = 0.96
🔹 לשיפוע m תמיד אותו סימן כמו ל־r: r חיובי ← הקו עולה, r שלילי ← הקו יורד.

4. נקודת הממוצעים ומשוואת קו הרגרסיה

📐 נקודת הממוצעים
(x̄ , ȳ) נמצאת תמיד על קו הרגרסיה
שאר הנקודות – לא בהכרח
📐 משוואת קו הרגרסיה
y − ȳ = m(x − x̄)
כמו y − y1 = m(x − x1) עם נקודת הממוצעים
  1. נקודת הממוצעים: מחשבים (או לוקחים מהשאלה) את x̄ ואת ȳ.
  2. שיפוע: m נתון, או מחשבים m = r · SySx.
  3. מציבים ב־y − ȳ = m(x − x̄), פותחים סוגריים ומסדרים עד y = mx + n.
דוגמה (שיעור 7): Sx = 1.5 , Sy = 10 , r = 0.6 , x̄ = 6.5 , ȳ = 75
m = 0.6 · 101.5 = 4
y − 75 = 4(x − 6.5)
y − 75 = 4x − 26
y = 4x + 49

5. הצבה בישר: ממוצע, ניבוי ונתון חסר

חסר ȳמציבים x̄ בישר ← מקבלים ȳ
ניבוי של yמציבים את ה־x הנתון בישר
נתון y, מחפשים xמציבים את y ופותרים משוואה
פרמטר בישר (y = 2.7x + b)מציבים את נקודת הממוצעים ומוצאים את b
חסרה סטיית תקן או rm = המקדם של x בישר, מציבים ב־m = r · SySx ומבודדים
012345678905101520xy(5, 13)(7, 17)y = 2x + 3
ישר הרגרסיה y = 2x + 3 (ירוק חזק). נקודת הממוצעים (5, 13) (סגול), ניבוי עבור x = 7: (7, 17) (תכלת)
מציאת Sy (שיעור 10): y = 11.3x + 16.3 , Sx = 0.683 , r = 0.871
11.3 = 0.871 · Sy0.683
כפל בהצלבה: 7.7179 = 0.871 · Sy
Sy = 7.71790.871 ≈ 8.86
מציאת r (שיעור 11): y = 2.5x + 10 , Sx = 1.2 , Sy = 3.6
2.5 = r · 3.61.2 = r · 3 ← r = 2.53 ≈ 0.833
🔹 ניבוי הוא לא ודאות: לא כל הנקודות על הישר, ולכן הערך האמיתי יכול להיות שונה.
🔹 ישר מקביל לציר x (מנבא תמיד אותו מספר, למשל y = 65) ← השיפוע 0 ו־ȳ = 65.
🔹 מציבים x באותן יחידות של הטבלה (למשל "באלפי שקלים").

6. חישוב מטבלה: ממוצע, סטיית תקן ו־r

📐 ממוצע
x̄ = x1 + x2 + … + xNN
📐 סטיית התקן
Sx = √(x1−x̄)² + … + (xN−x̄)²N
מכל ערך מחסירים את הממוצע, מעלים בריבוע, מחברים, מחלקים ב־N ולוקחים שורש
📐 מקדם המתאם
r = 1N · Sx · Sy · [ … ]
בסוגריים:
(x1−x̄)(y1−ȳ) + … + (xN−x̄)(yN−ȳ)
  1. ממוצעים x̄ ו־ȳ.
  2. סטיות תקן Sx ו־Sy.
  3. המונה: לכל זוג (x − x̄)(y − ȳ), ומחברים את כל המכפלות.
  4. מחלקים ב־N · Sx · Sy. בדיקה: התוצאה בין −1 ל־1.
דוגמה (שיעור 13), ערכים שחוזרים: x: 9 ארבע פעמים, 11 ארבע פעמים. y: 2 פעם אחת, 10 שש פעמים, 18 פעם אחת.
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←
8090100110120012345xy(100, 2.7)
חמש הדירות משיעור 12 (כחול), ישר הרגרסיה y ≈ 0.092x − 6.47 (ירוק חזק), נקודת הממוצעים (100, 2.7) (סגול). כאן r ≈ 0.983
🔹 ערך שחוזר כמה פעמים ← כופלים במספר הפעמים.
🔹 יצא r מחוץ לתחום −1 עד 1? יש טעות בחישוב.

7. טרנספורמציות (הזזות) ברגרסיה

המדדמוסיפים k לכל ערכי yכופלים פי k
ממוצע ȳמשתנה (+k)משתנה (פי k)
סטיית תקןלא משתנהמשתנה (פי k)
שיפוע mלא משתנהמשתנה (פי k)
מקדם המתאם rלא משתנהלא משתנה
12345051015xy
מוסיפים 10 לכל ערכי y: המקורי (כחול), החדש (ירוק חזק). שיפוע 0.9 בשניהם, קווים מקבילים
1234505101520xy
כופלים פי 3: המקורי (כחול), החדש (ירוק חזק). שיפוע המקורי 0.9, של החדש 2.7
🔹 הוספה: כל הנקודות ונקודת הממוצעים זזות ב־k, הקו זז במקביל.
🔹 r לא משתנה כשכופלים במספר חיובי: הנקודות סביב הקו באותו יחס.
🔹 ערך x לא משתנה, לכן נקודת הממוצעים החדשה היא (x̄ , ȳ + k).

✔️ סדר פתרון שאלת רגרסיה מבגרות

  1. מזהים מי x ומי y ורושמים את כל הנתונים: x̄ , ȳ , Sx , Sy , r.
  2. דיאגרמה או טבלה ← כיוון הקשר ← סימן r, ובחירת r מתוך אפשרויות.
  3. אין ממוצעים או סטיות תקן? מחשבים מהטבלה.
  4. שיפוע: m = r · SySx.
  5. משוואה: y − ȳ = m(x − x̄) ← y = mx + n.
  6. ניבוי: מציבים x בישר (וזוכרים: ניבוי, לא ודאות).
  7. שינוי בכל ערכי y? טבלת הטרנספורמציות.
  8. "הראו ש…": כותבים את כל החישוב עד התוצאה.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא רגרסיה, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות