מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותמקומות גאומטריים

5 יחידות · שאלון 582 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: מקומות גאומטריים – 582

1. מהו מקום גאומטרי

📐 ההגדרה
אוסף כל הנקודות המקיימות תכונה מסוימת.
המטרה בכל שאלה: להגיע למשוואה בין x לבין y
  1. לוקחים נקודה אחת כלשהי על המקום הגאומטרי: S(x, y).
  2. כותבים את התכונה כמשוואה (מרחק, שיפוע, הצבה…).
  3. מסדרים ומצמצמים. המשוואה שיצאה היא התשובה.
דוגמה (שיעור 1): כל הנקודות במרחק 5 מהראשית ← מעגל x2 + y2 = 52
📐 נוסחת המרחק
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

2. שוויון מרחקים משתי נקודות

התנאי SA = SB ← הישר שעובר באמצע AB ומאונך לו.

דוגמה (שיעור 2): A(3, −2), B(1, −2)
מהציור: x = 1 + 32 = 2
אלגברית: √(x − 3)2 + (y + 2)2 = √(x − 1)2 + (y + 2)2 ← מעלים בריבוע ומצמצמים ← x = 2
xyA(3, −2)B(1, −2)Sx = 2
הישר x = 2 (ירוק חזק), הנקודות A ו־B (כחול), נקודה S על המקום הגאומטרי (סגול) והמרחקים השווים (תכלת)

3. אורך משיק למעגל

📐 אורך המשיק מנקודה S
SB = √SO2 − R2
הרדיוס מאונך למשיק ← פיתגורס במשולש SBO
דוגמה (שיעור 3): המרחק מ־A(10, 8) שווה לאורך המשיק למעגל x2 + y2 = 25
√x2 + y2 − 25 = √(x − 10)2 + (y − 8)2
מעלים בריבוע, x2 ו־y2 מתבטלים ← 20x + 16y − 189 = 0 (ישר)
xyOBSA(10, 8)
המעגל (כחול), המקום הגאומטרי 20x + 16y − 189 = 0 (ירוק חזק), המשיק SB והמרחק SA (סגול), הרדיוס OB (תכלת)

4. מרחק מנקודה שווה למרחק מישר: פרבולה

📐 מוקד ומדריך
מוקד (p2, 0) · מדריך x = −p2
y2 = 2px
דוגמה (שיעור 4): מרכזי המעגלים שעוברים ב־A(3, 0) ומשיקים לישר x = −3
SA = SB: √(x − 3)2 + y2 = 3 + x ← y2 = 12x
או מההגדרה: p2 = 3 ← p = 6 ← y2 = 12x (צריך הסבר מילולי)
xyA(3, 0)SBx = −3
הפרבולה y2 = 12x (ירוק חזק), הישר x = −3 (תכלת), אחד המעגלים, מרכזו S(3, 6) (סגול), והרדיוסים SA, SB (כחול)
🔹 בהעלאה בריבוע כל האגף עולה בריבוע: (3 + x)2 ולא 32 + x2.

5. משפט חוצה זווית: מעגל

📐 משפט חוצה זווית
ADDB = ACCB
מתחילים באותו קודקוד בשני הצדדים
דוגמה (שיעור 5): A(0, 0), B(19, 0), D(9, 0), ו־CD חוצה את זווית C
910 = √x2 + y2√(x − 19)2 + y2
מעלים בריבוע, כפל בהצלבה ומחלקים ב־19:
x2 + 162x − 1539 + y2 = 0
השלמה לריבוע ← (x + 81)2 + y2 = 8100
מעגל: מרכז (−81, 0), רדיוס 90
🔹 משוואה עם x2 ו־y2 באותו מקדם ← משלימים לריבוע ומקבלים מעגל.

6. מרחק קבוע מישר

📐 מרחק נקודה מישר
d = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
דוגמה (שיעור 6): הנקודות במרחק 3 מהישר −5x + 12y + 13 = 0
3 = |−5x + 12y + 13|13 ← |−5x + 12y + 13| = 39
שני פתרונות: 5x − 12y + 26 = 0 , 5x − 12y − 52 = 0
מרכזי המעגלים המשיקים לשני הישרים: הישר שבאמצע, כלומר הישר הנתון.
xy(5, 1)
הישר הנתון (כחול), שני הישרים במרחק 3 (ירוק חזק, מקווקו), ומעגל ברדיוס 3 שמרכזו (5, 1) על הישר הנתון (סגול)
🔹 ערך מוחלט ← שני פתרונות: שני ישרים מקבילים, אחד מכל צד.

7. הצבה במשוואה נתונה ומשתנה עזר

📐 הצבה
נקודה שנמצאת על עקום ידוע מבטאים בעזרת xp, yp ומציבים במשוואה שלו
דוגמה (שיעור 7): המעגל x2 + y2 = 2ax, מיתר AB דרך הראשית, AB = BP
B אמצע AP ← B(xp2, yp2), מציבים במשוואת המעגל:
xp2 + yp2 = 4axp ← (xp − 2a)2 + yp2 = 4a2
xyABP
כאן a = 2: המעגל הנתון (כחול), המקום הגאומטרי של P, מרכז (4, 0) ורדיוס 4 (ירוק חזק), והמיתר הממשיך עד P (סגול)
📐 משתנה עזר
נקודה שזזה: C(t, 0) · שלוש נקודות על ישר ← משווים שיפועים · מבודדים את t ומציבים
דוגמה (שיעור 8): A(4, 0), B(0, 8), C(t, 0), D(t, −2t + 8) על AB
על BC: t = 8xp8 − yp · על OD: ypxp = −2t + 8t
מציבים ומצמצמים ← yp = −xp + 4 (ישר)
xyABCDPO
דוגמה עם t = 2: הישר AB (כחול), האנך CD (תכלת), הישרים OD ו־BC שנחתכים ב־P (סגול), והמקום הגאומטרי y = −x + 4 (ירוק חזק)

✔️ סדר פתרון ומה יוצא

שוויון מרחקים משתי נקודותישר (האנך האמצעי)
מרחק מנקודה = אורך משיק למעגלישר
מרחק מנקודה = מרחק מישרפרבולה
יחס מרחקים (חוצה זווית)מעגל
מרחק קבוע מישרשני ישרים מקבילים
מרחק קבוע מנקודהמעגל
  1. מסמנים נקודה כלשהי S(x, y) (או P(xp, yp)).
  2. כותבים את התנאי כמשוואה.
  3. שורשים ← מעלים בריבוע את כל האגף.
  4. מצמצמים; x2 ו־y2 באותו מקדם ← השלמה לריבוע.
  5. אומרים מה יצא: ישר, מעגל (מרכז ורדיוס) או פרבולה.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא מקומות גאומטריים, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות