מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותטריגונומטריה

5 יחידות · כיתה י · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: טריגונומטריה – 571

1. שימוש במחשבון

  • המחשבון חייב להיות במצב מעלות. בדיקה: sin 30 = 0.5
  • מחפשים צלע: מקישים את הזווית, למשל sin 35 = 0.574
  • מחפשים זווית: הפעולה ההפוכה, sin−1 (במחשבון: מקש ההחלפה ואחריו sin)
דוגמה: sin x = 0.6 ← x = sin−1(0.6) = 36.87 מעלות

2. במשולש ישר זווית: sin, cos, tan, פיתגורס

הניצבים הם שתי הצלעות שביניהן הזווית של 90 מעלות. הצלע שמול ה־90 היא היתר. לכל זווית חדה יש ניצב מול הזווית וניצב ליד הזווית.

📐 שלוש ההגדרות
sin ∢A = ניצב מוליתר
cos ∢A = ניצב לידיתר
tan ∢A = ניצב מולניצב ליד
📐 משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2 (a, b הניצבים, c היתר)
ABCיתרמולליד
משולש ABC, ∢C = 90. ביחס ל־∢A: יתר (סגול), ניצב מול (ירוק חזק), ניצב ליד (תכלת)
יש ניצב מול ויתרsin
יש ניצב ליד ויתרcos
יש שני ניצבים (מול וליד)tan
שתי צלעות, בלי זוויתפיתגורס
  1. מסמנים את הזווית ובודקים מה יש "במשחק": מול, ליד, יתר.
  2. בוחרים sin, cos או tan ורושמים את השבר.
  3. מחפשים צלע ← כפל בהצלבה. מחפשים זווית ← sin−1, cos−1, tan−1.
דוגמה: יתר 80, זווית 35, מחפשים את הניצב שמול הזווית:
x80 = sin 35 ← x = 80·sin 35 ≈ 45.89

3. תרגול: משולשים ומרובעים

תיכוןמחלק את הצלע לשני חלקים שווים
משולש שווה שוקייםזוויות הבסיס שוות. הגובה לבסיס הוא גם תיכון וגם חוצה זווית
סכום הזוויות במשולש180 מעלות
מלבןהאלכסון יוצר שני משולשים ישרי זווית. שטח = אורך כפול רוחב
מעויןכל הצלעות שוות. שטח = בסיס כפול גובה (כמו מקבילית)
טרפזמורידים גבהים מהבסיס הקטן: נוצרים מלבן ומשולשים ישרי זווית
דוגמה: ∢C = 90, BD תיכון לניצב AC, ∢A = 40, DC = 5
AC = 2·5 = 10 · BC10 = tan 40 ← BC ≈ 8.39
במשולש BDC: tan ∢BDC = 8.395 ← ∢BDC ≈ 59.2 מעלות
ABCD4059.2558.39
המשולש בקנה מידה: ABC (כחול), התיכון BD (ירוק חזק), ∢A = 40 (סגול), ∢BDC ≈ 59.2 (ירוק חזק)
טרפז: AB ∥ CD, ∢C = 90, CD = 13, AB = 9, AD = 7
מורידים גובה AE: DE = 13 − 9 = 4
פיתגורס: AE2 = 72 − 42 = 33 ← AE = √33 ≈ 5.74
cos ∢D = 47 ← ∢D ≈ 55.15 מעלות
ABCDE55.15794√33
הטרפז בקנה מידה (כחול), הגובה AE = √33 (ירוק חזק), ∢D ≈ 55.15 (סגול)
🔹 בכל שלב כותבים על איזה משולש מסתכלים ואת הנימוק (סכום זוויות, זוויות בסיס שוות, גובה לבסיס הוא גם תיכון).

4. משפט הסינוסים ורדיוס המעגל החוסם ל-4 ו-5 יחידות

📐 משפט הסינוסים
asin ∢A = bsin ∢B = csin ∢C
כל צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה
  • משתמשים כשהמשולש לא ישר זווית, ויש זוג: צלע והזווית שמולה.
  • לוקחים רק שני שברים: אחד ידוע ואחד עם הנעלם, וכפל בהצלבה.
  • חסרה זווית? סכום הזוויות במשולש 180 מעלות.
דוגמה: ∢A = 22, ∢C = 51, BC = 8. מחפשים AB = x:
8sin 22 = xsin 51 ← x = 8·sin 51sin 22 ≈ 16.6
ABC22518x
המשולש בקנה מידה: BC = 8 מול ∢A = 22 (ירוק חזק), AB = x ≈ 16.6 מול ∢C = 51 (סגול), ∢B = 107
🔹 לפני שמציבים: מסמנים לכל צלע את הזווית שמולה. זו הטעות הנפוצה ביותר.
📐 משפט הסינוסים עם המעגל החוסם
asin ∢A = bsin ∢B = csin ∢C = 2R
R – רדיוס המעגל החוסם את המשולש (המעגל שעובר דרך שלושת הקודקודים)
ROABCabc
הצלע a מול ∢A, b מול ∢B, c מול ∢C (כחול); המעגל החוסם (סגול) והרדיוס R (ירוק חזק)
  • מוצאים את R: מספיק זוג אחד – צלע והזווית שמולה.
  • נתון R? מוצאים צלע: a = 2R · sin ∢A
✏️ דוגמה
במשולש ABC נתון BC = 6 ו־∢A = 30.
(1) מצאו את רדיוס המעגל החוסם R.
(2) נתון גם ∢B = 45. מצאו את AC.
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←

5. משפט הקוסינוסים רק ל-5 יחידות (571)

📐 משפט הקוסינוסים
a2 = b2 + c2 − 2bc·cos ∢A
הצלע a מול הזווית ∢A, והיא הזווית שבין b ל־c
  • שתי צלעות והזווית שביניהן ← הצלע השלישית.
  • שלוש צלעות ← זווית.
דוגמה: b = 5, c = 8, ∢A = 60:
a2 = 25 + 64 − 2·5·8·cos 60 = 49 ← a = 7
📐 מוצאים זווית (נתונות שלוש צלעות)
cos ∢A = b2 + c2 − a22bc
יוצא קוסינוס שלילי? הזווית קהה (גדולה מ־90)
📐 זוויות שסכומן 180 מעלות
cos(180 − x) = −cos x (הקוסינוס של זווית קהה שלילי)
✏️ דוגמה
(1) במשולש b = 5, c = 8 והזווית שביניהן ∢A = 60. מצאו את a.
(2) צלעות המשולש b = 3, c = 5, a = 7. מצאו את ∢A.
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←
📚 שיעור 16 – משפט הקוסינוסים

6. שטח משולש בעזרת טריגונומטריה

📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = b·c·sin ∢A2
שתי צלעות והזווית שביניהן
CBAcbh
שתי הצלעות c ו־b (סגול) והזווית ∢A שביניהן (ירוק חזק).
הגובה h = b · sin ∢A, ולכן S = c · h2 = c · b · sin ∢A2
דוגמה: צלעות 10 ו־7, והזווית שביניהן 80:
S = 10·7·sin 802 ≈ 34.47
🔹 נתון השטח ומחפשים צלע או זווית: מציבים בנוסחה ופותרים משוואה.
🔹 הנוסחה עובדת גם כשהזווית קהה: הסינוס של זווית קהה חיובי, למשל sin 150 = sin 30 = 12.
🔄 מקרה הפוך: נתון השטח, מחפשים את הזווית
sin ∢A = 2Sc · b
יש שתי תשובות אפשריות: ∢A חדה, או 180 − ∢A קהה. בוחרים לפי הנתונים.
✏️ דוגמה
(1) במשולש c = 4, b = 6, והזווית שביניהן ∢A = 30. מצאו את שטח המשולש.
(2) מקרה הפוך: c = 4, b = 6 ושטח המשולש S = 6. מצאו את ∢A.
לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←
📚 שיעור 17 – שטח משולש

7. טריגונומטריה עם מעגל

📐 רדיוס המעגל החוסם
asin ∢A = 2R
צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה שווה לקוטר
דוגמה 1: AD = 12, ∢C = 78 (מול AD):
12sin 78 = 2R ← R ≈ 6.13
דוגמה 2: R = 8, CA = 14.58:
14.58sin x = 16 ← sin x ≈ 0.911 ← x ≈ 65.68 מעלות
OADC12R78
מעגל ברדיוס R ≈ 6.13 (כחול), משולש חסום ADC (ירוק) עם AD = 12 ו־∢C = 78, הרדיוס (סגול)
🔹 כל צלע במשולש החסום, עם הזווית שמולה, נותנת את אותו 2R.

✔️ סדר פתרון שאלה בטריגונומטריה

  1. מסמנים בשרטוט את כל הנתונים (צלעות וזוויות).
  2. מוצאים משולש שבו יש מספיק נתונים. אין? מורידים גובה ויוצרים משולש ישר זווית.
  3. משולש ישר זווית ← sin, cos, tan או פיתגורס.
  4. לא ישר זווית, ויש צלע והזווית שמולה ← משפט הסינוסים.
  5. לא ישר זווית, ויש שתי צלעות והזווית שביניהן או שלוש צלעות ← משפט הקוסינוסים.
  6. שטח ← שתי צלעות והזווית שביניהן.
  7. יש מעגל חוסם ← 2R.
  8. בודקים שהתשובה הגיונית: מול זווית גדולה יותר יש צלע ארוכה יותר.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא טריגונומטריה, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות