📋 סיכום ונוסחאותחוקי חזקות ומשוואות מעריכיות
5 יחידות · קורס מקדים לשאלון 572 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
1. שבעת חוקי החזקות
📐 כפל וחילוק עם אותו בסיס
an · am = an + m (חוק 1)
anam = an − m (חוק 2)
📐 חזקת אפס וחזקה של חזקה
a0 = 1 (חוק 3) · (an)m = an · m (חוק 4)
📐 חזקה של מכפלה ושל שבר
(a · b)n = an · bn (חוק 5)
(ab)n = anbn (חוק 6)
📐 חזקה שלילית
a−n = 1an (חוק 7)
x2 · x3 · x5 = x10
32 · 6462 · 3 = 3 · 62 = 108
(23)2 = 49 · (2 · 4)2 = 22 · 42 = 64
32 · 6462 · 3 = 3 · 62 = 108
(23)2 = 49 · (2 · 4)2 = 22 · 42 = 64
🔹 חוקים 1 ו־2 רק כשהבסיס זהה. 42 · 53 · 4 · 52 = 43 · 55 – כל בסיס לחוד.
🔹 מספר בלי מעריך הוא בחזקת 1: 4 = 41
🔹 בתרגיל ארוך: קודם חזקה של חזקה (כופלים), אחר כך כפל (מחברים), ובסוף חילוק (מחסרים).
🔹 מספר בלי מעריך הוא בחזקת 1: 4 = 41
🔹 בתרגיל ארוך: קודם חזקה של חזקה (כופלים), אחר כך כפל (מחברים), ובסוף חילוק (מחסרים).
📚 חזקות 1 – כפל📚 חזקות 2 – חילוק📚 חזקות 3 – חזקת 0📚 חזקות 4 – חזקה של חזקה📚 חזקות 5 – חזקה של מכפלה📚 חזקות 6 – חזקה של שבר
🔍 פתח דוגמה – פישוט עם אותו בסיס
חשבו: 57 · 53(54)2
1. מונה – חוק 1: 57 · 53 = 510
2. מכנה – חוק 4: (54)2 = 58
3. חוק 2: 51058 = 510 − 8 = 52
= 25
2. מכנה – חוק 4: (54)2 = 58
3. חוק 2: 51058 = 510 − 8 = 52
= 25
2. חזקה שלילית
📐 מחזקה שלילית לשבר
a−n = 1an
1a = a−1
3−1 = 13 · 5−2 = 152 = 125 · 6−3 = 1216
(32)2 · 3237 = 3637 = 3−1 = 13
🔹 כשבחילוק יוצא מעריך שלילי, כותבים את התשובה כשבר: a−1 = 1a
🔹 חזקה שלילית לא עושה את המספר שלילי: 3−2 = 19 (חיובי).
🔹 חזקה שלילית לא עושה את המספר שלילי: 3−2 = 19 (חיובי).
🔍 פתח דוגמה – חזקה שלילית
חשבו:
א. 43 · 2−8
ב. (23)−2
א. 43 · 2−8
ב. (23)−2
א. 43 = (22)3 = 26
26 · 2−8 = 2−2 = 122
= 14
ב. הופכים את השבר ומעלים בחזקה חיובית:
(23)−2 = (32)2
= 94
26 · 2−8 = 2−2 = 122
= 14
ב. הופכים את השבר ומעלים בחזקה חיובית:
(23)−2 = (32)2
= 94
3. הופכים לאותו בסיס
📐 כותבים כל מספר כחזקה של בסיס קטן
4 = 22 , 8 = 23 , 16 = 24 , 32 = 25
9 = 32 , 27 = 33 , 81 = 34
25 = 52 , 125 = 53
📐 שני בסיסים: פירוק
10 = 2 · 5 · 6 = 2 · 3 ואז חוק 5: 10n = 2n · 5n
93 · 35274 = 36 · 35312 = 3−1 = 13
1024218 · 525 = 224 · 524218 · 525 = 265 = 645
4. השוואת חזקות: מי גדול יותר?
📐 השוואה
מביאים לאותו בסיס, ואז משווים מעריכים (בסיס גדול מ־1: מעריך גדול יותר ← חזקה גדולה יותר)
4100 = 2200 , 835 = 2105 ← 4100 > 835
94 = 38 , 273 = 39 ← 94 < 273
94 = 38 , 273 = 39 ← 94 < 273
🔹 בסיס בין 0 ל־1 (שבר) – הפוך: (12)40 < (12)39
🔍 פתח דוגמה – מי גדול יותר?
מי גדול יותר: 165 או 87?
165 = (24)5 = 220
87 = (23)7 = 221
אותו בסיס (גדול מ־1): 21 > 20
87 > 165
87 = (23)7 = 221
אותו בסיס (גדול מ־1): 21 > 20
87 > 165
5. משוואות מעריכיות: הוצאת גורם משותף
📐 מפרקים חזקה
ax + n = ax · an
- מפרקים: 2x + 2 = 4 · 2x
- מוציאים ax כגורם משותף.
- מחלקים במספר שלפני ax.
- משווים בסיסים: ax = ak ⟹ x = k
2x + 2 + 2x = 40
2x(4 + 1) = 40 ← 2x = 8 = 23 ← x = 3
2x(4 + 1) = 40 ← 2x = 8 = 23 ← x = 3
3x + 1 − 3x = 18 ← 3x(3 − 1) = 18 ← 3x = 9 ← x = 2
6. משוואות מעריכיות: הצבה
📐 כותבים כריבוע
4x = (2x)2 · 9x = (3x)2
מציבים t = ax ומקבלים משוואה ריבועית
📐 שימו לב
ax > 0 תמיד ← פתרון t ≤ 0 נפסל
4x − 5 · 2x + 4 = 0 ← t2 − 5t + 4 = 0
t = 4 ← 2x = 4 ← x = 2 · t = 1 ← x = 0
t = 4 ← 2x = 4 ← x = 2 · t = 1 ← x = 0
9x − 2 · 3x − 3 = 0 ← t = 3 או t = −1 (נפסל) ← x = 1
7. השוואת בסיסים ושורשים
📐 השוואת בסיסים
af(x) = ag(x) ⟹ f(x) = g(x)
📐 שורש כחזקה
√a = a12
√3x = 3x2
4x + 1 = 8x ← 22x + 2 = 23x ← 2x + 2 = 3x ← x = 2
(19)x = 3x + 6 ← 3−2x = 3x + 6 ← x = −2
(19)x = 3x + 6 ← 3−2x = 3x + 6 ← x = −2
√3x = 27 ← 3x2 = 33 ← x = 6
2x = 4√2 = 22 · 212 = 22.5 ← x = 2.5
2x = 4√2 = 22 · 212 = 22.5 ← x = 2.5
🔍 פתח דוגמה – השוואת בסיסים
פתרו:
א. 2x + 3 = 4x − 1
ב. 25x = 1125
א. 2x + 3 = 4x − 1
ב. 25x = 1125
א. 4x − 1 = 22x − 2
x + 3 = 2x − 2
x = 5
ב. 25x = 52x , 1125 = 5−3
2x = −3
x = −1.5
x + 3 = 2x − 2
x = 5
ב. 25x = 52x , 1125 = 5−3
2x = −3
x = −1.5
✔️ סדר פתרון משוואה מעריכית
| אותו בסיס פעמיים, מחובר או מחוסר | הוצאת גורם משותף |
| גם 4x וגם 2x | הצבה t = 2x |
| חזקה אחת בכל אגף | השוואת בסיסים |
| שבר או שורש | כותבים כחזקה: 1a = a−1, √a = a12 |
- מפרקים: ax + n = ax · an
- מזהים שיטה לפי הטבלה.
- פותרים עד ax = מספר.
- כותבים את המספר כחזקה (גם שבר – מעריך שלילי) ומשווים מעריכים.
4x − 3 · 2x + 1 + 8 = 0 ← t2 − 6t + 8 = 0 ← t = 4, t = 2 ← x = 2, x = 1
📚 עוד דוגמאות פתורות
עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא חזקות ומשוואות מעריכיות, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il