מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותבעיות קיצון

4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: בעיות קיצון – 471

1. מהי בעיית קיצון

מחפשים את הערך שבעבורו גודל מסוים (שטח, היקף, אורך…) הוא מקסימלי או מינימלי. את הגודל הזה כותבים כפונקציה של נעלם אחד: פונקציית המטרה.

  1. פונקציית המטרה: רושמים את מה שמבקשים, ומבטאים הכול בעזרת נעלם אחד מהנתון.
  2. גוזרים ומשווים ל־0 ומוצאים את x.
  3. מוכיחים מקסימום או מינימום: מציבים בנגזרת x קטן יותר ו־x גדול יותר, ובודקים בטבלה.
  4. עונים על השאלה: מציבים את x ומוצאים את מה ששאלו.
📐 מקסימום ומינימום
הנגזרת עוברת מ־+ ל־− ← מקסימום
הנגזרת עוברת מ־− ל־+ ← מינימום
דוגמה (שיעור 1): סוכה מלבנית, היקף הגדר 16 מטר. מה המידות לשטח מקסימלי?
2x + 2y = 16 ← y = 8 − x
S = x(8 − x) = 8x − x2
S' = 8 − 2x = 0 ← x = 4, y = 4
xx = 04x = 5
S′+0−
S↗מקסימום↘
S'(0) = 8 > 0 · S'(5) = −2 < 0 ← מקסימום ב־x = 4. הסוכה 4 על 4, השטח 16 מ"ר.
xy(4, 16)2468481216x
פונקציית המטרה S = 8x − x2 (כחול), מקסימום ב־(4, 16) (סגול)
🔹 המספרים שמציבים בטבלה חייבים להיות בתחום: אורך חיובי, ולא ערך שבו הנגזרת לא מוגדרת.
🔹 "האם ייתכן שטח של…?" ← מחשבים את השטח המקסימלי (או המינימלי) ומשווים אליו.

2. כללי הגזירה שצריך בקורס

📐 חזקה ומספר
(a·xn)' = a·n·xn−1
הנגזרת של מספר היא 0
📐 מספר חלקי x
(ax)' = −ax2
📐 שורש
(√x)' = 12√x
(√f(x))' = f'(x)2√f(x)
📐 נגזרת של מכפלה
(f·g)' = f'·g + g'·f
📐 נגזרת של מנה
(uv)' = u'·v − u·v'v2
🔹 כשהמכנה הוא מספר (למשל חלקי 2) אין צורך בנגזרת של מנה: גוזרים את המונה ומשאירים את המכנה.
🔹 משוואה עם שורש או שבר: כפל בהצלבה, ובסוף בודקים את הפתרון.

3. פרק ראשון: בעיות קיצון גאומטריות

📐 נוסחאות שחוזרות
שטח מלבן S = a·b  ·  היקף p = 2a + 2b
שטח משולש ישר זווית S = ניצב · ניצב2
משפט פיתגורס a2 + b2 = c2 (c היתר)
  • מסמנים צלע אחת ב־x ומבטאים את שאר הצלעות בעזרת הנתון.
  • שטח שבנוי מכמה צורות: מחברים את השטחים לביטוי אחד ב־x, ורק אז גוזרים.
  • אם שואלים על AB2, בונים את AB2 בפיתגורס וגוזרים אותו.
דוגמה (שיעור 6): במשולש ישר הזווית ADB: AD = 18x, DB = 2x
AB2 = 324x2 + 4x2
(AB2)' = −648x3 + 8x = 0
8x4 = 648 ← x4 = 81 ← x = 3 (אורך, לכן חיובי)
x134
(AB²)′−0+
AB²↘מינימום↗
ADBC18/x2xxAB
המשולש בקנה מידה עבור x = 3: AD = 6, DB = 6, BC = 3 (כחול), הצלע AB (ירוק חזק), AB2 = 72 המינימלי
🔹 x הוא אורך: פוסלים פתרון שלילי או 0. בטבלה לא מציבים 0 אם הנגזרת לא מוגדרת שם.

4. פרק שני: בעיות קיצון עם גרפים

📐 נקודה על הגרף
שיעור ה־x של הנקודה הוא t ← הנקודה A(t, f(t))
צלע אופקיתהפרש שיעורי ה־x, למשל 5 − t עד הישר x = 5
צלע אנכיתהפרש שיעורי ה־y, למשל f(t) עד ציר x, או f(t) − 2 עד y = 2
פונקציה זוגיתהנקודה שמולה היא (−t, f(t)), הבסיס 2t
ברביע השניt < 0 · ברביע הראשון t > 0
דוגמה (שיעור 12): f(x) = x2 + 3, מלבן ABCD בין הנקודה A, הישר x = 5 וציר x
S = (5 − t)(t2 + 3) = 5t2 + 15 − t3 − 3t
S' = −3t2 + 10t − 3 = 0 ← t = 13 או t = 3
בטבלה: ב־t = 3 מקסימום, A(3, 12), S = 2·12 = 24
t013134
S′−0+0−
S↘מינימום↗מקסימום↘
xyA(3, 12)BCDx = 5
f(x) = x2 + 3 (כחול), הישר x = 5 (תכלת), המלבן המקסימלי (ירוק) עם A(3, 12) (סגול)
מלבן בין נקודה לאסימפטוטות (שיעור 13): f(x) = 161 − x + 2, A ברביע השני
AB = 1 − t · AD = 161 − t
p = 2 − 2t + 321 − t ← p' = −2 + 32(1 − t)2 = 0
(1 − t)2 = 16 ← t = −3 (ברביע השני; פוסלים t = 5)
A(−3, 6), המלבן 4 על 4, S = 16
xyA(−3, 6)x = 1y = 2
f(x) = 161 − x + 2 (כחול), האסימפטוטות x = 1, y = 2 (תכלת), המלבן עם היקף מינימלי (ירוק), A(−3, 6) (סגול)

✔️ סדר פתרון בעיית קיצון

  1. מסמנים נעלם (x או t) ורושמים את התחום שלו.
  2. מבטאים כל צלע בעזרת הנעלם (בגרף: A(t, f(t))).
  3. בונים את פונקציית המטרה.
  4. גוזרים ומשווים ל־0. פוסלים פתרונות שלא בתחום.
  5. טבלה: מציבים בנגזרת לפני ואחרי ← מקסימום או מינימום.
  6. עונים בדיוק על מה ששאלו: הנקודה, האורך, השטח או ההיקף.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא בעיות קיצון, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות