מתמטריק – אלדד

📋 סיכום ונוסחאותהנדסה אנליטית – ישר, מעגל, פרבולה ומקום גאומטרי

5 יחידות · שאלון 582 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
⬅️ חזרה לקורס: הנדסה אנליטית – 582

1. הקו הישר

📐 משוואת ישר ושיפוע
y = mx + b (m שיפוע, b חיתוך עם ציר y)
m = y2 − y1x2 − x1
y − y1 = m(x − x1)
📐 אמצע קטע ומרחק
(x1 + x22 , y1 + y22)
d = √((x2 − x1)² + (y2 − y1)²)
📐 מקביל ומאונך
m1 = m2 מקבילים
m1 · m2 = −1 מאונכים: הופכים ומשנים סימן
−2−112345123456xyA(−1, 1)B(3, 5)M(1, 3)
הישר AB: y = x + 2 (כחול), אמצע M(1, 3) (תכלת), האנך האמצעי y = −x + 4 (ירוק חזק): 1 · (−1) = −1. AB = √32
🔹 לפני שקוראים שיפוע – מסדרים ל־y = mx + b.
🔹 חיתוך עם ציר x: y = 0; עם ציר y: x = 0.
🔹 מקבילית: שני זוגות צלעות נגדיות עם שיפועים שווים; האלכסונים חוצים זה את זה.

2. תרגול בגרויות 182 – כל היסודות

חיתוך שני ישריםמשווים בין המשוואות, ואת x מציבים באחת מהן
נקודה על ישרמציבים את השיעור הידוע ומקבלים את השני
אורך צלענוסחת המרחק; על ישר מקביל לציר – הפרש השיעורים
שטח משולשS = בסיס · גובה2
מפגש אלכסוניםבמקבילית – אמצע כל אלכסון

3. מעגל

📐 משוואת מעגל
(x − a)² + (y − b)² = R² מרכז (a, b)
x² + y² = R² מרכז בראשית
מרכז ורדיוספלוס בסוגריים ← המרכז במינוס; R = שורש של אגף ימין
חיתוך עם הציריםx = 0 או y = 0; השורש נותן ±; שורש של שלילי ← אין חיתוך
משיק לציריםלציר y: R = |a| · לציר x: R = |b| · לשניהם: R = |a| = |b|
משיק למעגלמשיק ⊥ רדיוס: שיפוע המשיק הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס
מעגל חוסםישר זווית ← אמצע היתר · מלבן ← מפגש האלכסונים · משולש כלשהו ← מפגש האנכים האמצעיים
השלמה לריבועחצי מהמקדם של x בריבוע, ומורידים את מה שנוסף
מיקום נקודהמציבים: = R² על המעגל · גדול ← בחוץ · קטן ← בפנים
−4−22468−22468xy(1, 2)(4, 6)
המעגל (x − 1)² + (y − 2)² = 25 (כחול), רדיוס לנקודה (4, 6) בשיפוע 43 (תכלת), המשיק y = −0.75x + 9 בשיפוע −34 (ירוק חזק)

4. תרגול בגרויות 382

🔹 טרפז: הבסיסים מקבילים (שיפועים שווים), הגובה מאונך להם; אורכים בנוסחת המרחק.
🔹 ריבוע: האלכסונים מאונכים, שווים וחוצים זה את זה.
🔹 אמצע וקצה ידועים ← מציבים בנוסחת האמצע ומוצאים את הקצה השני.
🔹 מעגל שקוטרו נתון: המרכז באמצע הקוטר, הרדיוס – מהמרכז לקצה.

5. תרגול בגרויות 481

🔹 זווית של 90 מעלות החסומה במעגל נשענת על קוטר ← המרכז באמצע היתר, הרדיוס חצי יתר.
🔹 ישר משיק ← מאונך לרדיוס: m1 · m2 = −1.
🔹 ריבוע: מרכז המעגל החוסם וגם החסום הוא מפגש האלכסונים.
🔹 נקודה כללית על ישר: (t , y(t)), למשל (t , t + 1) על y = x + 1.

6. תרגילים 5 יח

📐 חלוקת קטע ביחס k : ℓ
C = (ℓx1 + kx2k + ℓ , ℓy1 + ky2k + ℓ)
📐 מרכז כובד (מפגש התיכונים)
(x1 + x2 + x33 , y1 + y2 + y33)
📐 מרחקים מישר
d = |Ax0 + By0 + C|√(A² + B²) נקודה מישר
d = |C1 − C2|√(A² + B²) שני ישרים מקבילים
🔹 לפני הנוסחה: הישר בצורה Ax + By + C = 0.
🔹 ערך מוחלט ← שתי תשובות (אחת מכל צד).
🔹 קטע מרכזים: משיקים מבחוץ MN = R + r, מבפנים MN = R − r.
🔹 מעגל משיק לשני הצירים: מרכז (±R , ±R) לפי הרביע.

7. פרבולה

📐 פרבולה
y² = 2px
מוקד (p2 , 0)
מדריך x = −p2
מרחק נקודה מהמוקד x + p2
נקודה כללית (t²2p , t)
−2246−6−4−2246xy(2, 0)(2, 4)x = −2
y² = 8x (כחול): p = 4, מוקד (2, 0) (ירוק חזק), מדריך x = −2 (תכלת). הנקודה (2, 4) (סגול) במרחק 4 גם מהמוקד וגם מהמדריך
🔹 המרחק בין המוקד למדריך הוא p.
🔹 מעגל המשיק לפרבולה: אחרי ההצבה – משוואה ריבועית עם פתרון יחיד, b² − 4ac = 0.
🔹 אמצע מיתר נתון ← נוסחת אמצע קטע נותנת שתי משוואות.

8. מקום גאומטרי

מקום גאומטרי – אוסף כל הנקודות המקיימות תכונה מסוימת. המטרה: משוואה בין x ל־y.

  1. לוקחים נקודה כללית (x , y).
  2. כותבים את התנאי כמשוואה (למשל שוויון מרחקים).
  3. מסדרים ומצמצמים עד קשר בין x ל־y.
🔹 אורך משיק מנקודה S: SB = √(SO² − R²).
🔹 מרחק קבוע מישר ← שני ישרים מקבילים.
🔹 נקודה על עקום ידוע – מבטאים בעזרת xp , yp ומציבים.
🔹 שלוש נקודות על ישר ← שיפועים שווים. מאונכים ← m1 · m2 = −1.

9. בגרויות 5 יח – מה לזכור

  1. מסדרים כל ישר ומוצאים שיפועים.
  2. מתרגמים כל נתון: מקביל, מאונך, אמצע, מרחק, נקודה על ישר או מעגל.
  3. מעגל משיק לשני הצירים ברביע הרביעי: מרכז (R , −R).
  4. מפגש התיכונים מחלק כל תיכון ביחס 2 : 1 (החלק הארוך ליד הקודקוד).
  5. גובה לצלע שעל ישר נתון = מרחק הקודקוד מהישר.

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא הנדסה אנליטית, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
ערוץ היוטיוב🔔 הרשמה לערוץ
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
האתר משתמש בעוגיות.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות