📋 סיכום ונוסחאותהנדסה אנליטית בשילוב טריגונומטריה
4 יחידות · שאלון 471 · כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן
1. הקו הישר
📐 משוואת ישר
y = mx + b
m השיפוע · b נקודת החיתוך עם ציר y
📐 שיפוע לפי שתי נקודות
m = y2 − y1x2 − x1
📐 ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y1 = m(x − x1)
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2)
על אותו ציר: פשוט מחסירים
📐 נקודת אמצע קטע
x = x1 + x22 y = y1 + y22
📐 מקבילים ומאונכים
מקבילים ← m1 = m2
מאונכים ← הופכי ונגדי: m1·m2 = −1
| חיתוך עם ציר y | מציבים x = 0 |
| חיתוך עם ציר x | מציבים y = 0 |
| חיתוך שני ישרים | משווים בין שתי המשוואות |
| ישר מקביל לציר x | y = k (שיפוע 0) |
| ישר מקביל לציר y | x = k |
| שטח משולש | בסיס · גובה2: בסיס על ציר, הגובה הוא המרחק של הקודקוד שמולו מהציר |
דוגמה (שיעור 43): A(1, 2), B(5, 4), ∢B = 90, C על ציר x
mAB = 4 − 25 − 1 = 12 ← mBC = −2 (הופכי ונגדי)
y − 4 = −2(x − 5) ← y = −2x + 14
y = 0 ← C(7, 0)
mAB = 4 − 25 − 1 = 12 ← mBC = −2 (הופכי ונגדי)
y − 4 = −2(x − 5) ← y = −2x + 14
y = 0 ← C(7, 0)
2. תרגול מרובעים (בלי מעגל)
| מקבילית | שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות ← שיפועים שווים. האלכסונים חוצים זה את זה ← נקודת המפגש היא אמצע של כל אלכסון |
| ריבוע | האלכסונים שווים, מאונכים וחוצים זה את זה |
| מלבן | צלעות סמוכות מאונכות ← m1·m2 = −1 |
| טרפז | זוג צלעות מקבילות. שטח: (בסיס + בסיס) · גובה2 |
הוכחת מקבילית (שיעור 12): A(0, 0), B(1, 3), C(5, 4), D(4, 1)
mAB = 3 − 01 − 0 = 3 · mDC = 4 − 15 − 4 = 3
mAD = 1 − 04 − 0 = 14 · mBC = 4 − 35 − 1 = 14
← שני זוגות צלעות מקבילות, ABCD מקבילית.
mAB = 3 − 01 − 0 = 3 · mDC = 4 − 15 − 4 = 3
mAD = 1 − 04 − 0 = 14 · mBC = 4 − 35 − 1 = 14
← שני זוגות צלעות מקבילות, ABCD מקבילית.
3. מעגל
📐 משוואת מעגל
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
מרכז (a, b) · רדיוס R · מרכז בראשית: x2 + y2 = R2
| חיתוך עם הצירים | ציר x: y = 0 · ציר y: x = 0, ופותרים משוואה ריבועית |
| משיק לציר y | R = |a| |
| משיק לציר x | R = |b| |
| משיק למעגל | מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ← השיפוע הופכי ונגדי לשיפוע הרדיוס |
| מיקום נקודה | מציבים: שווה ל־R2 על המעגל, גדול ← מחוץ, קטן ← בפנים |
📐 מרכז המעגל החוסם
משולש ישר זווית ← אמצע היתר (היתר הוא קוטר)
מלבן או ריבוע ← מפגש האלכסונים
משולש כלשהו ← מפגש האנכים האמצעיים
השלמה לריבוע (שיעור 45): x2 + y2 − 8x + 6y = 11
(x − 4)2 − 16 + (y + 3)2 − 9 = 11
(x − 4)2 + (y + 3)2 = 36 ← מרכז (4, −3), R = 6
(x − 4)2 − 16 + (y + 3)2 − 9 = 11
(x − 4)2 + (y + 3)2 = 36 ← מרכז (4, −3), R = 6
משיק (שיעור 41): x2 + y2 = 100, ל־A ברביע השני y = 6
x2 + 36 = 100 ← x = −8, A(−8, 6)
mOA = 6−8 = −34 ← שיפוע המשיק 43
y − 6 = 43(x + 8) ← עם ציר x: B(−12.5, 0)
x2 + 36 = 100 ← x = −8, A(−8, 6)
mOA = 6−8 = −34 ← שיפוע המשיק 43
y − 6 = 43(x + 8) ← עם ציר x: B(−12.5, 0)
4. טריגונומטריה במשולש ישר זווית
- המחשבון במצב מעלות (בדיקה: sin 30 = 0.5). זווית מוצאים בפעולה ההפוכה sin−1.
📐 במשולש ישר זווית
sin ∢A = ניצב מוליתר
cos ∢A = ניצב לידיתר
tan ∢A = ניצב מולניצב ליד
פיתגורס: a2 + b2 = c2 (a, b הניצבים, c היתר)
דוגמה: יתר 80, זווית 35, מחפשים את הניצב שמולה: x80 = sin 35 ← x ≈ 45.89
🔹 משולש לא ישר זווית? מורידים גובה ויוצרים משולשים ישרי זווית.
5. אנליטית בשילוב טריגונומטריה
📐 שיפוע וזווית
tan = m (הזווית שהישר יוצר עם ציר x)
שיפוע שלילי: המחשבון נותן זווית שלילית, לוקחים אותה בערך חיובי
- ישר מקביל לציר (או צלע על ציר) ← זווית של 90 מעלות בלי חישוב ← פיתגורס ו־tan.
- אורכי צלעות ← נוסחת המרחק, ואז sin, cos, tan במשולש ישר זווית.
- ישרים מקבילים ← זוויות מתחלפות שוות.
דוגמה (שיעור 81): A(−1, 0), B(7, 4)
mAB = 4 − 07 − (−1) = 48 = 0.5
הזווית של AB עם ציר x: tan = 0.5 ← ≈ 26.57 מעלות
mAB = 4 − 07 − (−1) = 48 = 0.5
הזווית של AB עם ציר x: tan = 0.5 ← ≈ 26.57 מעלות
✔️ סדר פתרון שאלת בגרות
אנליטית (פרק 4)
- משרטטים סקיצה ומסמנים את כל הנקודות והישרים הנתונים.
- נקודה על ציר ← מציבים 0 בשיעור השני. נקודה על ישר ← מציבים במשוואה.
- מקביל ← אותו שיפוע. מאונך ← הופכי ונגדי. אמצע ← נוסחת האמצע.
- אורכים ← נוסחת המרחק. מעגל ← מרכז ורדיוס.
טריגונומטריה (פרק 7)
- מוצאים משולש עם מספיק נתונים. אין? מורידים גובה.
- במשולש ישר זווית בוחרים sin, cos, tan או פיתגורס לפי מה שיש "במשחק".
- מעגלים רק את התוצאה הסופית.
📚 עוד דוגמאות פתורות
עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא הנדסה אנליטית בשילוב טריגונומטריה, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
📚 עוד דוגמאות פתורות ←
מתמטריק · eldadh.co.il
