פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2024 מועד ב'
פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.
בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, עונים בה על שניים מן הסעיפים א–ד); פרק שני – סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 4 שאלות: לפחות שאלה אחת מן הפרק הראשון או השני, לפחות שאלה אחת מן הפרק השלישי ולפחות שאלה אחת מן הפרק הרביעי. 25 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: ארבע שעות וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.
📄 השאלון המלא – קיץ 2024 מועד ב'
⬅️ החליקו לעמוד הבא
⬇️ להורדת השאלון המלא🧭 תוכן העניינים
- פרק ראשון – שאלות קצרות
- שאלה 1 – שאלות קצרות: אינדוקציה, יחס רדיוסים במעגלים חוסמים, פונקציה אי־זוגית והנגזרת שלה, זיהוי פולינום ואינטגרל
- פרק שני – סדרות והסתברות
- שאלה 2 – סדרה הנדסית סופית, סדרה חדשה ואיברים במקומות זוגיים
- שאלה 3 – הסתברות: תנועת נוער והתנדבות, עם החזרה ובלי החזרה
- פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור
- שאלה 4 – גאומטרייה: מרובע בר חסימה, מקבילית ומשיק
- שאלה 5 – טריגונומטריה: משולש חסום במעגל, שטחים ומעגל חסום
- פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
- שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, התאמת גרפים ושטח
- שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר ושטח
- שאלה 8 – נקודות פיתול ובעיית קיצון עם פונקציית שורש
שאלה 1 – שאלות קצרות
בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.
א. (1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי.
11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1) = nn + 1
(2) האם הביטוי 1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1) שווה ל־n + 1n בעבור כל n טבעי? נמקו את תשובתכם.
ב. המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O.
נסמן: ∢ACB = t , 0 < t < 90.
(1) הביעו באמצעות t את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.
נתון כי היחס שהבעתם בתת־סעיף (1) שווה ל־√2, וכי הצלע CB משיקה למעגל החוסם את משולש AOB.
(2) הוכיחו כי מרכז המעגל O נמצא על הצלע AC.
ג. נתון כי הפונקציה f(x) היא פונקציה אי־זוגית ורציפה המוגדרת לכל x.
לפונקציה f(x) יש נקודת מינימום אחת בלבד ובה x = −12.
אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x היא בנקודה (1 , 0).
(1) סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x).
נתון כי הפונקציה g(x) היא פונקציה זוגית המוגדרת לכל x.
פונקציית הנגזרת g′(x) מקיימת g′(x) = −f(x).
נתון: g(1) = 2.
(2) מצאו את שיעורי נקודות המינימום של הפונקציה g(x).
(3) לפניכם שני היגדים I–II. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.
I. שיעור ה־y של נקודת המקסימום של הפונקציה g(x) הוא בין 0 ל־2.
II. הפונקציה g(x) חיובית לכל x.
ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת לכל x.
אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x).
(1) קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.
I. f(x) = x(x − 4)(x + 6)
II. f(x) = x(x − 1)(x + 3)(x + 6)
III. f(x) = (x − 4)(x − 1)(x + 3)(x + 6)
IV. f(x) = (x − 4)(x + 1)(x + 3)(x + 6)
נתונה הפונקציה g(x) = √f(x).
(2) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נתון: ∫74 g(x) dx = k.
(4) הביעו באמצעות k את הערך של ∫85 [2 · g(x − 1) + 1] dx.
סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה
2. הנחה: נכון עבור n = k
3. הוכחה עבור n = k + 1
סעיף א (2) – האם הביטוי שווה ל־(n+1)/n?
סעיף ב (1) – יחס הרדיוסים
סעיף ב (2) – O על AC
סעיף ג (1) – סקיצה של f
סעיף ג (2) – נקודות המינימום של g
| x | x < −1 | −1 | −1 < x < 0 | 0 | 0 < x < 1 | 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g′ | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| g | ↘ | מינ׳ | ↗ | מקס׳ | ↘ | מינ׳ | ↗ |
סעיף ג (3) – ההיגדים
סעיף ד (1) – איזה ביטוי
סעיף ד (2) – תחום ההגדרה של g
סעיף ד (3) – סקיצה של g
סעיף ד (4) – האינטגרל
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א (1) | הוכח |
|---|---|
| סעיף א (2) | לא |
| סעיף ב (1) | RR1 = 2cos t |
| סעיף ב (2) | הוכח: O על AC |
| סעיף ג (1) | סקיצה |
| סעיף ג (2) | מינימום (1 , 2) , (−1 , 2) |
| סעיף ג (3) | I – לא נכון ; II – נכון |
| סעיף ד (1) | ביטוי III |
| סעיף ד (2) | x ≤ −6 או −3 ≤ x ≤ 1 או x ≥ 4 |
| סעיף ד (3) | סקיצה |
| סעיף ד (4) | 2k + 3 |
שאלה 2 – סדרה הנדסית
נתונה סדרה הנדסית שבה 2n + 1 איברים (n הוא מספר טבעי).
כל איברי הסדרה a1 , a2 , a3 , … , a2n+1 הם חיוביים.
סכום איברי הסדרה ללא שני האיברים הראשונים גדול פי 4 מסכום איברי הסדרה ללא שני האיברים האחרונים.
נתון כי סכום האיברים שנמצאים אחרי האיבר האמצעי גדול פי 256 מסכום האיברים שנמצאים לפני האיבר האמצעי.
א. מצאו את n.
המשיכו את הסדרה הנתונה, כך שנוצרה סדרה הנדסית אין־סופית.
נתון: B היא סדרה אין־סופית המקיימת לכל k טבעי bk = 1(ak + ak+1)2.
ב. הוכיחו כי הסדרה B היא סדרה הנדסית, ומצאו את מנתה.
בסדרה B כופלים כל איבר שנמצא במקום זוגי ב־2.
נתון כי לאחר ההכפלה, סכום האיברים שנמצאים במקומות האי־זוגיים גדול ב־130 מסכום האיברים שנמצאים במקומות הזוגיים.
ג. מצאו את a1.
סעיף א – מציאת n
סעיף ב – B הנדסית
סעיף ג – הערך של a1
📌 סיכום התשובות – שאלה 2
| סעיף א | n = 7 |
|---|---|
| סעיף ב | הנדסית, q = 14 |
| סעיף ג | a1 = 43 |
שאלה 3 – הסתברות
במחקר שנעשה בקרב תלמידים בבית ספר מסוים נבדק הקשר בין חברות בתנועת נוער ובין התנדבות בקהילה.
80% מן החברים בתנועת נוער מתנדבים בקהילה.
בוחרים באקראי 5 תלמידים שחברים בתנועת נוער (הוצאה עם החזרה).
א. מהי ההסתברות שבחרו לפחות תלמיד אחד שמתנדב ולפחות תלמיד אחד שאינו מתנדב?
נתון כי 55% מן התלמידים אינם חברים בתנועת נוער ואינם מתנדבים, ו־112 מן התלמידים שאינם חברים בתנועת נוער מתנדבים.
ב. כמה אחוזים מן התלמידים חברים בתנועת נוער?
במחקר השתתפו 100 תלמידים סך הכול.
ג. כמה מן התלמידים חברים בתנועת נוער ואינם מתנדבים?
ד. בוחרים באקראי 3 מן התלמידים שאינם מתנדבים (הוצאה ללא החזרה).
(1) מהי ההסתברות שהתלמיד הראשון שנבחר חבר בתנועת נוער ושני התלמידים שנבחרו אחריו אינם חברים בתנועת נוער?
(2) מהי ההסתברות שאחד מן התלמידים שנבחרו חבר בתנועת נוער והשניים האחרים אינם חברים בתנועת נוער, אם ידוע שהתלמיד הראשון שנבחר אינו חבר בתנועת נוער?
סעיף א – לפחות מתנדב אחד ולפחות לא־מתנדב אחד
סעיף ב – אחוז החברים בתנועת נוער
סעיף ג – חברים שאינם מתנדבים
סעיף ד (1) – הראשון חבר, השניים הבאים לא
סעיף ד (2) – בהינתן שהראשון אינו חבר
📌 סיכום התשובות – שאלה 3
| סעיף א | 0.672 |
|---|---|
| סעיף ב | 40% |
| סעיף ג | 8 תלמידים |
| סעיף ד (1) | ≈ 0.0997 |
| סעיף ד (2) | ≈ 0.228 |
שאלה 4 – גאומטרייה
משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש־AB הוא קוטר במעגל.
הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO, כמתואר בסרטוט.
נתון כי המרובע CEFO הוא בר חסימה במעגל.
א. הוכיחו: EF = EB.
המעגל החוסם את המרובע CEFO חותך את הצלע AC בנקודה D כך ש־ED מקביל ל־AB.
ב. (1) הוכיחו כי המרובע EDOB הוא מקבילית.
(2) הוכיחו: OD ⊥ AC.
הישר ℓ משיק בנקודה C למעגל החוסם את המשולש ABC.
ג. הוכיחו כי הישר ℓ משיק למעגל החוסם את המרובע CEFO.
סעיף א – EF = EB
סעיף ב (1) – EDOB מקבילית
סעיף ב (2) – OD ⊥ AC
סעיף ג – ℓ משיק גם למעגל CEFO
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | הוכח: EF = EB |
|---|---|
| סעיף ב (1) | הוכח: EDOB מקבילית |
| סעיף ב (2) | הוכח: OD ⊥ AC |
| סעיף ג | הוכח: ℓ משיק |
שאלה 5 – טריגונומטרייה במישור
משולש ABC חד זווית חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.
הנקודה D היא אמצע הקשת הקטנה BC, כמתואר בסרטוט.
נתון: ∢ABC = 60. נסמן: ∢BAC = t.
א. הביעו באמצעות R ו־t את שטחי המשולשים ABC ו־ODC.
נתון כי היחס בין שטח המשולש ABC ובין שטח המשולש ODC הוא 2√3 sin80.
ב. מצאו את הערך של t.
הנקודה E נמצאת על המשך המיתר DC כך ש־∢CAE = 50, כמתואר בסרטוט.
ג. הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החסום במשולש ACE.
(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות.)
סעיף א – השטחים
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
סעיף ב – הערך של t
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום במשולש ACE
הזווית שבין a ו־b
p – חצי ההיקף
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | SABC = √3R2 sin t sin(120 − t) , SODC = 12R2 sin t |
|---|---|
| סעיף ב | t = 40 |
| סעיף ג | r ≈ 0.519R |
שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר
נתונה הפונקציה f(x) = x − 1(x − a)3, המוגדרת בתחום x ≠ a. a הוא פרמטר שונה מ־0.
א. ענו על התת־סעיפים (1)–(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.
(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y.
ב. מצאו עבור אילו ערכים של a יש לפונקציה f(x) נקודת קיצון שנמצאת משמאל לאסימפטוטה האנכית לציר ה־x, וקבעו את סוגה.
הגרפים 1–4 שבסוף השאלה מתארים את הפונקציה f(x) בעבור ערכים שונים של a.
ג. התאימו לכל אחד מן הערכים I–IV של a את הגרף המתאים לו, ונמקו את תשובותיכם.
I. a = −1 II. a = 0.5 III. a = 1 IV. a = 2
נתונה הפונקציה g(x), המקיימת g(x) = f(x) − b בעבור הערך של a המתאים לגרף 2. b הוא פרמטר חיובי.
אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x היא (t , 0), 1 < t < 5.
נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x), על ידי הישר x = t ועל ידי הישר x = 5 הוא 1.75.
ד. מצאו את הערך של b.
סעיף א (1) – האסימפטוטות
סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־y
סעיף ב – קיצון משמאל לאסימפטוטה
סעיף ג – התאמת גרפים
סעיף ד – הערך של b
📌 סיכום התשובות – שאלה 6
| סעיף א (1) | x = a , y = 0 |
|---|---|
| סעיף א (2) | (0 , 1a3) |
| סעיף ב | a > 1 , מקסימום |
| סעיף ג | I – 4 ; II – 3 ; III – 2 ; IV – 1 |
| סעיף ד | b = 4 |
שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית
נתונה הפונקציה f(x) = (b + cos x) sin x, המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π. b הוא פרמטר.
א. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
נתון כי לגרף הפונקציה f(x) יש בדיוק שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־x.
ב. לפניכם שלוש אפשרויות I–III לערכים של b. קבעו איזו אפשרות יכולה להתאים לפונקציה f(x), ונמקו את קביעתכם.
I. b = 0 II. 0 < b < 1 III. 1 ≤ b
נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x), כאשר cos x = 14, הוא (−58).
ג. מצאו את הערך של b.
הציבו b = 1 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ד–ו.
ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ה. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).
נתונה הפונקציה g(x) המקיימת g(x) = (f(x))2 · f′(x). הפונקציה g(x) מוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π.
ו. חשבו את השטח ברביע הראשון, המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.
סעיף א – זוגית או אי־זוגית
cos(−x) = cos x
סעיף ב – ערכי b
סעיף ג – הערך של b
(cos x)′ = −sin x
סעיף ד – נקודות הקיצון
| x | −π | −π < x < −π/3 | −π/3 | −π/3 < x < π/3 | π/3 | π/3 < x < π | π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f′ | 0 | − | 0 | + | 0 | − | 0 |
| f | מקס׳ קצה | ↘ | מינ׳ | ↗ | מקס׳ | ↘ | מינ׳ קצה |
סעיף ה (1) – סקיצה של f
סעיף ה (2) – סקיצה של f′
סעיף ו – השטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 7
| סעיף א | אי־זוגית |
|---|---|
| סעיף ב | אפשרות III |
| סעיף ג | b = 1 |
| סעיף ד | מקס׳ (π3 , 3√34) , (−π , 0) ; מינ׳ (−π3 , −3√34) , (π , 0) |
| סעיף ה (1) | סקיצה |
| סעיף ה (2) | סקיצה |
| סעיף ו | S = 27√364 ≈ 0.731 |
שאלה 8 – פונקציית שורש, פונקציה רציונלית ובעיית קיצון
נתונה הפונקציה f(x) = √x, המוגדרת בתחום x ≥ 0, ונתונה הפונקציה g(x) = 16x2 + 3, המוגדרת לכל x.
א. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.
(2) מצאו את שיעורי נקודות הפיתול של הפונקציה g(x).
(3) סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x).
בנקודה C(t , 0) מעבירים אנך לציר ה־x, t > 0.
האנך חותך את גרף הפונקציה f(x) בנקודה A ואת הגרף של הפונקציה g(x) בנקודה B.
ב. הביעו באמצעות t את מכפלת אורכי הקטעים AC ו־BC.
ג. הוכיחו כי מכפלת אורכי הקטעים AC ו־BC מקסימלית כאשר הנקודה B היא נקודת פיתול של הפונקציה g(x).
נתונה הפונקציה k(x) = 8√(x − 4)(x − 4)2 + 3, המוגדרת בתחום x ≥ 4.
ד. היעזרו בסעיפים הקודמים של השאלה. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקציה k(x), וקבעו את סוגה. נמקו את תשובתכם.
סעיף א (1) – נקודת הקיצון של g
סעיף א (2) – נקודות הפיתול של g
| x | x < −1 | −1 | −1 < x < 1 | 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| g″ | + | 0 | − | 0 | + |
| g | ∪ | פיתול | ∩ | פיתול | ∪ |
סעיף א (3) – סקיצה של f ושל g
סעיף ב – מכפלת האורכים AC ו־BC
סעיף ג – המכפלה מקסימלית בנקודת הפיתול
סעיף ד – נקודת הקיצון הפנימית של k
📌 סיכום התשובות – שאלה 8
| סעיף א (1) | מקסימום (0 , 163) |
|---|---|
| סעיף א (2) | (1 , 4) , (−1 , 4) |
| סעיף א (3) | סקיצה |
| סעיף ב | AC · BC = 16√tt2 + 3 |
| סעיף ג | המכפלה מקסימלית כאשר t = 1, ואז B(1 , 4) – נקודת הפיתול של g. הוכח |
| סעיף ד | מקסימום (5 , 2) |
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.
השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il