בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – חורף 2026

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה (שאלות 1–3), ופרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 4–5). עונים על 3 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: שעתיים. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

השאלון שנפתר כאן: גרסה א'

📄 השאלון המלא – חורף 2026

שאלון 472 חורף 2026 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 472 חורף 2026 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 472 חורף 2026 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 472 חורף 2026 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 472 חורף 2026 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 472 חורף 2026 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה הנדסית וסדרה חשבונית (יריד ספרים)

📄 נוסח השאלה

יריד ספרים ביישוב מסוים נמשך 7 ימים. כמות הספרים שנמכרו בכל יום ביריד הייתה גדולה פי 2 מכמות הספרים שנמכרו ביום שלפניו. ידוע כי בשלושת הימים הראשונים של היריד נמכרו 420 ספרים סך הכול.

א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.

כל ספר ביריד נמכר ב־50 שקלים.

ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך 7 ימי היריד.

לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פָּרַס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם 4,315 שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם 315 שקלים יותר מבחודש שלפניו.

ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.

ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – כמה ספרים נמכרו ביום הראשון

כל יום נמכרו פי 2 ספרים מהיום שלפניו, ולכן מספרי הספרים בכל יום הם סדרה הנדסית עם מנה q = 2. נסמן ב־a1 את מספר הספרים ביום הראשון.
בשלושת הימים הראשונים נמכרו 420 ספרים, כלומר S3 = 420:
S3 = a1(23 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
23 = 8 8 − 1 = 7 2 − 1 = 1
S3 = a1 · 71 = 7a1
7a1 = 420
מחלקים את שני האגפים ב־7:
a1 = 4207 = 60
בדיקה: 60 + 120 + 240 = 420 ✓ (ביום השני 60 · 2 = 120, ביום השלישי 120 · 2 = 240)
✅ פתרון סופי: a1 = 60 ספרים ביום הראשון

סעיף ב – סך ההכנסות ב־7 ימי היריד

קודם נמצא כמה ספרים נמכרו בכל 7 הימים – זה הסכום S7 של הסדרה ההנדסית (a1 = 60 , q = 2 , n = 7):
S7 = 60 · (27 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
27 = 128 128 − 1 = 127
S7 = 60 · 1271 = 7,620 ספרים
כל ספר נמכר ב־50 שקלים, ולכן ההכנסות:
7,620 · 50 = 381,000📐 הכנסהמספר הספרים · מחיר לספר
✅ פתרון סופי: 381,000 שקלים

סעיף ג – לכמה חודשים פוזרה התרומה

התרומה היא מחצית מההכנסות:
381,0002 = 190,500 שקלים
התרומות החודשיות הן סדרה חשבונית: a1 = 4,315 , d = 315. מחפשים את מספר החודשים n שבו הסכום הוא Sn = 190,500.
190,500 = n2 · [2 · 4,315 + (n − 1) · 315]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · 4,315 = 8,630 (n − 1) · 315 = 315n − 315
190,500 = n2 · [8,630 + 315n − 315]
190,500 = n2 · [315n + 8,315]
כופלים את שני האגפים ב־2:
381,000 = n · (315n + 8,315)
381,000 = 315n2 + 8,315n
315n2 + 8,315n − 381,000 = 0
כל המקדמים מתחלקים ב־5, נחלק כדי לקבל מספרים קטנים יותר:
315 : 5 = 63 8,315 : 5 = 1,663 381,000 : 5 = 76,200
63n2 + 1,663n − 76,200 = 0
a = 63 , b = 1,663 , c = −76,200
מחשבים את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = 1,6632 − 4 · 63 · (−76,200)
1,6632 = 2,765,569 4 · 63 · 76,200 = 19,202,400
2,765,569 + 19,202,400 = 21,967,969
√21,967,969 = 4,687
n1,2 = −1,663 ± 4,6872 · 63 = −1,663 ± 4,687126📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
n1 = −1,663 + 4,687126 = 3,024126 = 24
n2 = −1,663 − 4,687126 = −6,350126 ≈ −50.4 – נפסל, מספר חודשים לא יכול להיות שלילי.
בדיקה: S24 = 242 · [8,630 + 23 · 315] = 12 · [8,630 + 7,245] = 12 · 15,875 = 190,500 ✓📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
✅ פתרון סופי: n = 24 חודשים

סעיף ד – התרומה בשני החודשים האמצעיים

יש 24 חודשים – מספר זוגי, ולכן יש שני חודשים אמצעיים: החודש ה־12 והחודש ה־13 (לפני כל אחד מהם 11 חודשים ואחרי כל אחד מהם 11 חודשים).
a12 = 4,315 + (12 − 1) · 315 = 4,315 + 11 · 315📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
11 · 315 = 3,465 a12 = 4,315 + 3,465 = 7,780
a13 = 4,315 + (13 − 1) · 315 = 4,315 + 12 · 315📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
12 · 315 = 3,780 a13 = 4,315 + 3,780 = 8,095
a12 + a13 = 7,780 + 8,095 = 15,875
בדיקה: בסדרה חשבונית סכום שני איברים שווי מרחק מהקצוות שווה: a1 + a24 = 4,315 + (4,315 + 23 · 315) = 4,315 + 11,560 = 15,875 ✓
✅ פתרון סופי: 15,875 שקלים

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א60 ספרים
סעיף ב381,000 שקלים
סעיף ג24 חודשים
סעיף ד15,875 שקלים
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית

📄 נוסח השאלהמנסרה ישרה שבסיסה מקבילית ABCD – שאלה 2

בסרטוט שלפניכם מנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ שבסיסה ABCD הוא מקבילית. הנקודה M היא אמצע המקצוע C′D′, והנקודה P מקיימת AP = 34AA′.

נסמן: AB = u , AD = v , AA′ = w.

א. הביעו באמצעות u , v ו־w את הווקטורים CM ו־PM.

נתון: ∢DAB = 60 מעלות, |v| = 10 , |u| = 8.

ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: u·w , v·w , u·v.

נתון: נפח המנסרה הוא 480√3.

ג. מצאו את הערך של |w|.

ד. הוכיחו כי PM מאונך ל־CM.

ה. (1) הראו כי |PM| = √165. (2) חשבו את שטח המשולש PMC.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הבעת הווקטורים CM ו־PM

uvwABCDA′B′C′D′MP
המנסרה לפי קנה מידה (u = 8 , v = 10 , w = 12 , זווית 60 מעלות בבסיס). בירוק: CM, בסגול: PM. קווים מקווקווים – מקצועות נסתרים.
מה ידוע במנסרה: כל המקצועות הצדדיים שווים ומקבילים, ולכן CC′ = AA′ = w. הבסיס העליון A′B′C′D′ הוא העתק של הבסיס התחתון, ולכן A′D′ = AD = v ו־D′C′ = AB = u (במקבילית צלעות נגדיות שוות ומקבילות).
הווקטור CM: הולכים מ־C למעלה ל־C′ ואז לאמצע M:
CM = CC′ + C′M📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
M אמצע C′D′, ולכן C′M = 12C′D′. הכיוון מ־C′ ל־D′ הפוך לכיוון של u, ולכן C′D′ = −u:
C′M = 12 · (−u) = −12u
CM = w − 12u
הווקטור PM: הולכים מ־P למעלה ל־A′, משם ל־D′ ומשם לאמצע M:
PM = PA′ + A′D′ + D′M📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
AP = 34w, ולכן הקטע שנשאר עד A′ הוא רבע מהמקצוע:
PA′ = w − 34w = 14w
A′D′ = v
D′M = 12D′C′ = 12u
PM = 12u + v + 14w
✅ פתרון סופי: CM = w − 12u , PM = 12u + v + 14w

סעיף ב – המכפלות הסקלריות

המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי AA′ מאונך למישור הבסיס, כלומר מאונך לכל ישר בבסיס – גם ל־AB וגם ל־AD.
w ⊥ u ⟹ u·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
w ⊥ v ⟹ v·w = 0📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
הזווית בין u ל־v היא ∢DAB = 60 מעלות:
u·v = |u|·|v|·cos60📐 מכפלה סקלריתa·b = |a|·|b|·cos(הזווית)
u·v = 8 · 10 · 12 = 40
✅ פתרון סופי: u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40

סעיף ג – אורך המקצוע הצדדי

שטח הבסיס – מקבילית שצלעותיה |u| = 8 ו־|v| = 10 והזווית ביניהן 60 מעלות:
Sבסיס = 8 · 10 · sin60📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית ביניהן)
sin60 = √32 Sבסיס = 80 · √32 = 40√3
המנסרה ישרה, ולכן הגובה שלה הוא אורך המקצוע הצדדי: h = |w|.
480√3 = 40√3 · |w|📐 נפח מנסרהV = Sבסיס · h
מחלקים את שני האגפים ב־40√3:
|w| = 480√340√3 = 12
✅ פתרון סופי: |w| = 12

סעיף ד – הוכחה ש־PM מאונך ל־CM

נראה שהמכפלה הסקלרית PM·CM שווה 0. נציב את הביטויים מסעיף א ונכפול כל איבר בכל איבר:
PM·CM = (12u + v + 14w) ·(w − 12u)
= 12u·w − 14u·u + v·w − 12v·u + 14w·w − 18w·u
מציבים את מה שמצאנו: u·w = 0 , v·w = 0 , u·v = 40, ואת הריבועים:
u·u = |u|2 = 82 = 64 w·w = |w|2 = 122 = 144📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
= 12·0 − 14·64 + 0 − 12·40 + 14·144 − 18·0
= 0 − 16 + 0 − 20 + 36 − 0 = 0
PM·CM = 0 ⟹ PM ⊥ CM📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a·b = 0
✅ פתרון סופי: הוכחנו: PM·CM = 0 ולכן PM ⊥ CM

סעיף ה – אורך PM ושטח המשולש PMC

(1) אורך PM – מעלים בריבוע (כופלים את הווקטור בעצמו):
|PM|2 = (12u + v + 14w) ·(12u + v + 14w)📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
= 14|u|2 + |v|2 + 116|w|2 + 2·12u·v + 2·18u·w + 2·14v·w
מציבים: |u|2 = 64 , |v|2 = 100 , |w|2 = 144 , u·v = 40 והמכפלות עם w שוות 0:
= 644 + 100 + 14416 + 40 + 0 + 0
= 16 + 100 + 9 + 40 = 165
|PM| = √165 ✓ (כנדרש)
(2) בסעיף ד הוכחנו שהזווית ∢PMC ישרה, ולכן PM ו־CM הם הניצבים במשולש PMC. נחשב את אורך CM:
|CM|2 = (w − 12u)·(w − 12u)📐 אורך וקטור|a|2 = a·a
= |w|2 − 2·12u·w + 14|u|2
= 144 − 0 + 644 = 144 + 16 = 160
|CM| = √160
√165√160ABCDA′B′C′D′MP
המשולש PMC (בתכלת) במנסרה, לפי קנה מידה. הזווית ב־M ישרה.
SPMC = √165 · √1602📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
√165 · √160 = √26,400 = √(400 · 66) = 20√66
SPMC = 20√662 = 10√66 ≈ 81.24
✅ פתרון סופי: |PM| = √165 , SPMC = 10√66 ≈ 81.24 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אCM = w − 12u
PM = 12u + v + 14w
סעיף בu·w = 0
v·w = 0
u·v = 40
סעיף ג|w| = 12
סעיף דהוכחה: PM·CM = 0
סעיף ה|PM| = √165
S = 10√66 ≈ 81.24
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה ודעיכה (שתי ריבות במקרר)

📄 נוסח השאלה

יעל הכינה שתי ריבות – ריבת תות וריבת שזיפים. היא מדדה את הטמפרטורה ההתחלתית של כל אחת מן הריבות באותו הזמן, ואז הכניסה אותן מייד למקרר. הטמפרטורה של הריבות נמדדה במעלות צלזיוס. הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה גבוהה מזו של ריבת השזיפים. בכל דקה ירדה הטמפרטורה של כל אחת מן הריבות באחוז קבוע (כל אחת באחוז שונה).

נתון כי לאחר זמן מסוים מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים גבוהה מזו של ריבת התות.

א. האם האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת התות היה גדול מן האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת השזיפים? נמקו את תשובתכם.

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה 42 מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־4%.

ב. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת התות 15 מעלות.

לאחר 6 דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים 88% מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה.

ג. מצאו בכמה אחוזים ירדה הטמפרטורה של ריבת השזיפים בכל דקה.

לאחר 10 דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים 31 מעלות.

ד. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של שתי הריבות זהה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזו ריבה התקררה באחוז גדול יותר

נסמן את הטמפרטורה ההתחלתית של התות T1 ושל השזיפים T2 (נתון T1 > T2), ואת מנות הדעיכה q1 (תות) ו־q2 (שזיפים).
תות: T1 · q1t שזיפים: T2 · q2t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
אחוז ירידה גדול יותר ⟸ מנה q קטנה יותר.📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
נניח שהתות ירד באחוז קטן או שווה לשזיפים. אז q1 ≥ q2, ולכן לכל t > 0: q1t ≥ q2t.
גם הטמפרטורה ההתחלתית של התות גדולה יותר: T1 > T2. מכפלה של מספר חיובי גדול יותר במספר חיובי גדול או שווה – גדולה יותר:
T1 · q1t > T2 · q2t
כלומר התות היה חם יותר כל הזמן – וזה סותר את הנתון שבזמן מסוים השזיפים היו חמים יותר. לכן ההנחה לא נכונה, והתות ירד בכל דקה באחוז גדול יותר.
✅ פתרון סופי: כן – הטמפרטורה של ריבת התות ירדה בכל דקה באחוז גדול יותר. אחרת היא הייתה נשארת חמה יותר כל הזמן.

סעיף ב – מתי ריבת התות הגיעה ל־15 מעלות

ירידה של 4% בכל דקה:
q = 1 − 4100 = 1 − 0.04 = 0.96📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
T(t) = 42 · 0.96t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחפשים מתי T(t) = 15:
42 · 0.96t = 15
מחלקים את שני האגפים ב־42:
0.96t = 1542 = 514
t = ln514ln 0.96📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
ln514 ≈ −1.02962 ln 0.96 ≈ −0.04082
t = −1.02962−0.04082 ≈ 25.22
בדיקה: 42 · 0.9625.22 ≈ 42 · 0.3571 ≈ 15 ✓
✅ פתרון סופי: t ≈ 25.22 דקות

סעיף ג – אחוז הירידה של ריבת השזיפים

נסמן את הטמפרטורה ההתחלתית של השזיפים M0 ואת המנה q. אחרי 6 דקות הטמפרטורה היא 88% מההתחלתית, כלומר 0.88 · M0:
M0 · q6 = 0.88 · M0📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־M0:
q6 = 0.88
q = 6√0.88 ≈ 0.97892📐 שורש ממעלה nqn = c ⟹ q = n√c
p = (1 − 0.97892) · 100 = 0.02108 · 100 ≈ 2.11📐 אחוז הירידהp = (1 − q) · 100
בדיקה: 0.978926 ≈ 0.88 ✓
✅ פתרון סופי: הטמפרטורה של ריבת השזיפים ירדה בכל דקה בכ־2.11% (בדיוק רב יותר 2.108%)

סעיף ד – מתי הטמפרטורות היו שוות

שלב 1 – הטמפרטורה ההתחלתית של השזיפים. אחרי 10 דקות היא 31 מעלות:
M0 · 0.9789210 = 31📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.9789210 ≈ 0.80811
M0 = 310.80811 ≈ 38.36 מעלות
(שימו לב: 38.36 < 42, מתאים לנתון שהתות התחיל חם יותר.)
שלב 2 – משוואה: טמפרטורת התות = טמפרטורת השזיפים.
42 · 0.96t = 38.36 · 0.97892t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
מחלקים את שני האגפים ב־0.97892t וב־42:
0.96t0.97892t = 38.3642
(0.960.97892)t = 38.3642
0.960.97892 ≈ 0.98067 38.3642 ≈ 0.91336
0.98067t = 0.91336
t = ln 0.91336ln 0.98067📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
ln 0.91336 ≈ −0.09063 ln 0.98067 ≈ −0.019516
t = −0.09063−0.019516 ≈ 4.64
בדיקה: תות: 42 · 0.964.64 ≈ 34.75 , שזיפים: 38.36 · 0.978924.64 ≈ 34.75 ✓
tT51015202530153142תותשזיפיםt ≈ 4.64(25.22 , 15)(10 , 31)
שתי הטמפרטורות לפי קנה מידה: התות (כחול) מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר; הגרפים נפגשים ב־t ≈ 4.64.
✅ פתרון סופי: כעבור t ≈ 4.64 דקות (בערך 4.643 דקות)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אכן – התות ירד באחוז גדול יותר
סעיף ב25.22 דקות
סעיף ג2.11% בכל דקה
סעיף ד4.64 דקות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 10 – מציאת הזמן t
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e (מנה) ושטח

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפונקצייה f(x) יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים, I–II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). בסרטוט של כל אחד מן הגרפים I–II מופיעות כל נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה־x.

גרפים I ו־II – שאלה 4

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = 6x2ex2 + 2.

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ג. הוכיחו כי הפונקצייה f(x) היא זוגית.

ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – איזה גרף הוא גרף הנגזרת

ל־f יש שתי נקודות מקסימום ונקודת מינימום אחת. בין שתי נקודות מקסימום חייבת להיות נקודת מינימום, ולכן הסדר משמאל לימין הוא: מקסימום ← מינימום ← מקסימום.
במקסימום הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ובמינימום – משלילית לחיובית.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
לכן הסימנים של f′ משמאל לימין חייבים להיות: + , − , + , −. כלומר: משמאל הגרף מעל ציר ה־x, ובקצה הימני – מתחת לציר.
גרף I: מתחיל מעל הציר, יורד מתחתיו, עולה מעליו ובסוף יורד מתחת לציר: + , − , + , − ✓.
גרף II: הסימנים הפוכים − , + , − , + – זה היה מתאים לשתי נקודות מינימום ומקסימום אחד ✗.
✅ פתרון סופי: גרף I מתאר את f′(x)

סעיף ב – חיתוך עם ציר x

בנקודת חיתוך עם ציר ה־x מתקיים f(x) = 0. שבר שווה 0 כשהמונה שווה 0 (המכנה ex2+2 תמיד חיובי):
6x2ex2 + 2 = 0 ⟹ 6x2 = 0 ⟹ x = 0📐 שבר שווה אפסab = 0 ⟺ a = 0 , b ≠ 0
f(0) = 6 · 0e2 = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ג – הוכחה ש־f זוגית

מציבים −x במקום x:
f(−x) = 6(−x)2e(−x)2 + 2📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
מספר שלילי בריבוע הוא חיובי: (−x)2 = x2:
f(−x) = 6x2ex2 + 2 = f(x)
✅ פתרון סופי: הוכחנו f(−x) = f(x) לכל x, ולכן f זוגית

סעיף ד – נקודות הקיצון

גוזרים לפי נגזרת של מנה: u = 6x2 , v = ex2+2.
u′ = 6 · 2x = 12x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
v′ = 2x · ex2+2📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = 12x · ex2+2 − 6x2 · 2x · ex2+2(ex2+2)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
מוציאים גורם משותף ex2+2 במונה ומצמצמים עם המכנה:
f′(x) = ex2+2(12x − 12x3)ex2+2 · ex2+2 = 12x − 12x3ex2+2
f′(x) = 12x(1 − x2)ex2+2
משווים את הנגזרת ל־0 (המכנה חיובי תמיד, לכן רק המונה):
12x(1 − x2) = 0
12x = 0 ⟹ x = 0 1 − x2 = 0 ⟹ x2 = 1 ⟹ x = 1 , x = −1
טבלת סימנים – מציבים נקודה בכל תחום בביטוי 12x(1 − x2):
xנציבf′f
x < −1−2+→
−10מקסימום
−1 < x < 0−0.5−→
00מינימום
0 < x < 10.5+→
10מקסימום
x > 12−→
לדוגמה: 12·(−2)·(1 − 4) = 72 > 0 , 12·(−0.5)·(1 − 0.25) = −4.5 < 0.
מ־+ ל־− ⟸ מקסימום ב־x = −1 וב־x = 1; מ־− ל־+ ⟸ מינימום ב־x = 0.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
מחשבים את שיעורי ה־y:
f(1) = 6 · 1e1 + 2 = 6e3 ≈ 0.299
f(−1) = f(1) = 6e3📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
f(0) = 0 (מסעיף ב)
✅ פתרון סופי: מקסימום (−1 , 6/e3) , מינימום (0 , 0) , מקסימום (1 , 6/e3) (6/e3 ≈ 0.299)

סעיף ה – סקיצה של גרף f

מה שאנחנו יודעים: f(x) ≥ 0 לכל x (מונה ומכנה לא שליליים), חיתוך יחיד עם הצירים בראשית, הגרף סימטרי לציר ה־y (פונקציה זוגית), ושתי נקודות מקסימום בגובה 6/e3.
כש־x גדל מאוד (או קטן מאוד) המכנה ex2+2 גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x משני הצדדים.
xy-11-22-336/e³מקסימוםמקסימוםמינימום (0 , 0)
הגרף של f לפי החישוב (קנה המידה בציר y מוגדל כדי לראות את הצורה).
✅ פתרון סופי: סקיצה: מינימום בראשית, שתי "גבעות" סימטריות עם מקסימום ב־(±1 , 6/e3), והגרף מתקרב לציר ה־x בשני הקצוות

סעיף ו – השטח בין גרף הנגזרת לציר x

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־x = −1 , 0 , 1. השטח המוגבל על ידי הגרף והציר הוא שני חלקים: בין −1 ל־0 (מתחת לציר, f′ < 0) ובין 0 ל־1 (מעל הציר, f′ > 0).
xy-11-22f′(x)
גרף הנגזרת לפי קנה מידה; השטח המבוקש בתכלת.
הפונקציה הקדומה של f′ היא f עצמה, ולכן לא צריך לחשב אינטגרל חדש:
S1 = −∫−10 f′(x)dx = −[f(0) − f(−1)] = −[0 − 6e3] = 6e3📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
(שמים מינוס כי החלק הזה מתחת לציר והאינטגרל שלו שלילי.)
S2 = ∫01 f′(x)dx = f(1) − f(0) = 6e3 − 0 = 6e3📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = S1 + S2 = 6e3 + 6e3 = 12e3 ≈ 0.597
✅ פתרון סופי: S = 12/e3 ≈ 0.597 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אגרף I
סעיף ב(0 , 0)
סעיף גהוכחה: f(−x) = f(x)
סעיף דמקסימום (±1 , 6/e3) ≈ (±1 , 0.299)
מינימום (0 , 0)
סעיף הסקיצה (למעלה)
סעיף ו12/e3 ≈ 0.597
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = ax(2 − ln x). a הוא פרמטר שונה מ־0.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

נתון כי בנקודה שבה x = e3, שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא −8.

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 4 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ג–ד.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x). נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקצייה g(x) = −2f(x) + 37.

ד. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. (2) האם גרף הפונקצייה f(x) חותך את גרף הפונקצייה g(x)? נמקו את תשובתכם.

גרפים I–IV – שאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום הגדרה וחיתוך עם ציר x

(1) בפונקציה יש ln x:
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
(2) חיתוך עם ציר ה־x: f(x) = 0. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0:
ax(2 − ln x) = 0
a ≠ 0 (נתון), x ≠ 0 (לא בתחום ההגדרה), ולכן:
2 − ln x = 0 ⟹ ln x = 2
x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (1) x > 0
(2) (e2 , 0) (e2 ≈ 7.39)

סעיף ב – מציאת a

גוזרים: a הוא קבוע שכופל את המכפלה x · (2 − ln x), ולכן גוזרים את המכפלה: u = x , v = 2 − ln x.
u′ = 1 v′ = 0 − 1x = −1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = a[1 · (2 − ln x) + x · (−1x)]📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
x · 1x = 1 f′(x) = a[2 − ln x − 1]
f′(x) = a(1 − ln x)
שיפוע המשיק ב־x = e3 הוא −8:
f′(e3) = −8📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
a(1 − ln e3) = −8 ln e3 = 3📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
a(1 − 3) = −8 −2a = −8
a = −8−2 = 4
✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ג – קיצון של f וזיהוי הגרף

מציבים a = 4: f(x) = 4x(2 − ln x) , f′(x) = 4(1 − ln x) (מסעיף ב).
(1) משווים את הנגזרת ל־0:
4(1 − ln x) = 0 ⟹ ln x = 1
x = e📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(e) = 4e(2 − ln e) = 4e(2 − 1) = 4e ≈ 10.87📐 ln של eln e = 1
סוג הנקודה – מציבים בנגזרת נקודה משמאל ונקודה מימין (בתוך תחום ההגדרה):
f′(1) = 4(1 − 0) = 4 > 0 f′(e2) = 4(1 − 2) = −4 < 0
הנגזרת עוברת מ־+ ל־− ⟸ מקסימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
(2) מה מאפיין את הגרף של f: מוגדר רק ל־x > 0 (לכן בראשית עיגול ריק – הנקודה לא שייכת לגרף), נקודת מקסימום אחת (e , 4e) מעל ציר ה־x, וחיתוך עם ציר ה־x ב־(e2 , 0) – אחריו הגרף יורד מתחת לציר.
גרפים III ו־IV מתחילים בירידה ויש להם מינימום – לא מתאים. גרף I לא חותך את ציר ה־x (מתקרב אליו כאסימפטוטה) ויש בו נקודה מלאה בראשית – לא מתאים. גרף II: עיגול ריק בראשית, מקסימום, חיתוך עם ציר ה־x ואחריו ירידה מתחת לציר ✓.
✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (e , 4e) ≈ (2.72 , 10.87)
(2) גרף II

סעיף ד – הפונקציה g(x) = −2f(x) + 37

(1) גוזרים (הנגזרת של קבוע היא 0):
g′(x) = −2f′(x) = −2 · 4(1 − ln x) = −8(1 − ln x)📐 נגזרת של כפולה בקבוע(c · f(x) + k)′ = c · f′(x)
−8(1 − ln x) = 0 ⟹ ln x = 1 ⟹ x = e📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
g(e) = −2f(e) + 37 = −2 · 4e + 37 = 37 − 8e ≈ 15.25
הנגזרת של g היא f′ כפול מספר שלילי, ולכן הסימנים הפוכים: g′(1) = −8 < 0 g′(e2) = 8 > 0.
הנגזרת עוברת מ־− ל־+ ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
(2) נקודת חיתוך מקיימת f(x) = g(x):
f(x) = −2f(x) + 37 3f(x) = 37 f(x) = 373 ≈ 12.33
אבל הערך הגדול ביותר של f הוא המקסימום שלה: 4e ≈ 10.87.
המספר 10.87 קטן מ־12.33, ולכן f אף פעם לא מגיעה לערך 37/3 – אין נקודת חיתוך.
(אפשר לראות זאת גם כך: הנקודה הנמוכה ביותר של g היא 37 − 8e ≈ 15.25, והנקודה הגבוהה ביותר של f היא 4e ≈ 10.87 – g תמיד מעל f.)
xyee²4e37−8e37f(x)g(x)מקסימוםמינימום(e² , 0)
f (כחול) ו־g (סגול) לפי קנה מידה: g תמיד מעל f.
✅ פתרון סופי: (1) מינימום (e , 37 − 8e) ≈ (2.72 , 15.25)
(2) לא – הגרפים לא נחתכים

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אx > 0
(e2 , 0)
סעיף בa = 4
סעיף גמקסימום (e , 4e)
גרף II
סעיף דמינימום (e , 37 − 8e)
לא נחתכים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות