בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2021 מועד מיוחד

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). לפי עמוד השער של מועד זה עונים על 4 שאלות לבחירה, 25 נקודות לכל שאלה; בשאלה 1 עונים על 3 מתוך 4 הסעיפים. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. כאן פתורות כל 8 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד מיוחד

שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד מיוחד – עמוד 8
עמוד 8 מתוך 8

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: חוצה זווית, אינדוקציה, פונקציה אי־זוגית, הסתברות

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מן הסעיפים א–ד.

א. נתון משולש ABC. AD הוא חוצה הזווית A.

הקטעים DE ו־DF מאונכים לצלעות AC ו־AB בהתאמה.

סרטוט סעיף א מתוך השאלון

בעבור מעגל שמרכזו בנקודה D ועובר בנקודה E:

(1) האם המעגל עובר בנקודה F? נמקו את תשובתכם.

(2) האם ייתכן שהמעגל עובר גם בקודקוד המשולש C? נמקו את תשובתכם.

ב. בחוברת לימוד ישנה ומוכתמת נמצא התרגיל הבא:

הוכיחו כי לכל n טבעי מתקיים השוויון הבא:

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3n−1
= (2n − 1)3n + ▒4

אחד המספרים באגף ימין של התרגיל נמחק (סומן כאן ▒).

(1) מצאו את המספר שנמחק.

(2) הציבו את המספר שמצאתם והוכיחו באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי השוויון מתקיים לכל n טבעי.

ג. לפניכם סרטוט של גרף פונקציה אי־זוגית f(x).

גרף הפונקציה f מתוך השאלון

(1) קבעו אם הטענה הבאה נכונה. נמקו.

∫−22 f(x)dx > ∫−21 f(x)dx

(2) מצאו a שעבורו מתקיים השוויון הבא. נמקו.

∫04 f(x + a)dx = 0

ד. בקופסת ממתקים יש 5 חטיפי שוקולד חלב ו־7 חטיפי שוקולד מריר. אמיר מוציא באקראי חטיף מהקופסה ונותן אותו לחבריו. אמיר חוזר על הפעולה עד שהוא מוציא חטיף שוקולד חלב.

מהי ההסתברות שאמיר הוציא 5 חטיפים?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – האם המעגל עובר ב־F

המרחק של נקודה מישר הוא אורך האנך ממנה לישר. DE הוא המרחק של D מ־AC, ו־DF הוא המרחק של D מ־AB.
הנקודה D נמצאת על חוצה הזווית A, ולכן היא במרחק שווה משתי השוקיים AB ו־AC:📐 משפט: חוצה זוויתכל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית
DF = DE
רדיוס המעגל הוא DE, ו־F במרחק DE מהמרכז D – ולכן F על המעגל.
✅ פתרון סופי: כן, המעגל עובר ב־F

סעיף א (2) – האם המעגל יכול לעבור ב־C

במשולש DEC: ∢DEC = 90 (נתון DE ⊥ AC). DC הוא היתר.📐 משפט: יתר במשולש ישר זוויתהיתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית
DC > DE
לכן המרחק של C מהמרכז D גדול מהרדיוס DE, ו־C נמצאת מחוץ למעגל.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן

סעיף ב (1) – המספר שנמחק

נסמן את המספר שנמחק ב־c ונציב n = 1. באגף שמאל יש איבר אחד:
1 · 30 = 1
1 = (2 · 1 − 1) · 31 + c4
4 = 3 + c
c = 1
✅ פתרון סופי: 1

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה

1 · 1 + 2 · 3 + … + n · 3n−1📐 שיטה: אינדוקציה מתמטית(1) בדיקה ל־n = 1 ; (2) הנחה ל־n = k ; (3) הוכחה ל־n = k + 1
= (2n − 1)3n + 14
שלב 1 – בדיקה עבור n = 1: בסעיף ב(1): אגף שמאל 1, אגף ימין 3 + 14 = 1. מתקיים.
שלב 2 – הנחה: השוויון נכון עבור n = k:
1 · 1 + 2 · 3 + … + k · 3k−1
= (2k − 1)3k + 14
שלב 3 – הוכחה עבור n = k + 1: צריך להראות:
1 · 1 + … + (k + 1) · 3k
= (2k + 1)3k+1 + 14
אגף שמאל הוא הסכום עד k ועוד האיבר הבא (k + 1) · 3k. לפי ההנחה:
= (2k − 1)3k + 14 + (k + 1) · 3k
= (2k − 1)3k + 4(k + 1)3k + 14
= 3k(2k − 1 + 4k + 4) + 14
= 3k(6k + 3) + 14
= 3k · 3(2k + 1) + 14
= (2k + 1)3k+1 + 14
קיבלנו את אגף ימין עבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל n טבעי.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג (1) – האם הטענה נכונה

הפונקציה אי־זוגית, ולכן האינטגרל שלה על תחום סימטרי סביב 0 הוא 0:📐 משפט: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫−aa f(x)dx = 0
∫−22 f(x)dx = 0
נפרק את האינטגרל השני:
∫−21 f(x)dx =
∫−2−1 f(x)dx + ∫−11 f(x)dx
∫−11 f(x)dx = 0📐 משפט: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫−aa f(x)dx = 0
∫−21 f(x)dx = ∫−2−1 f(x)dx
לפי הגרף, בתחום −2 < x < −1 הגרף מעל ציר ה־x (f(x) > 0), ולכן האינטגרל חיובי:
∫−21 f(x)dx > 0 = ∫−22 f(x)dx
האינטגרל מ־−2 עד 1 גדול מהאינטגרל מ־−2 עד 2, הפוך מהטענה.
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה

סעיף ג (2) – מציאת a

הגרף של f(x + a) הוא הגרף של f מוזז אופקית. לכן השטח שלו בין x = 0 ל־x = 4 שווה לשטח של f בין x = a ל־x = a + 4. בעזרת פונקציה קדומה F של f:📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה עם x + a∫ f(x + a)dx = F(x + a) + C
∫04 f(x + a)dx = F(4 + a) − F(a)
= ∫aa+4 f(x)dx
האינטגרל של פונקציה אי־זוגית מתאפס על תחום סימטרי סביב 0. התחום [a , a + 4] סימטרי סביב 0 כאשר:📐 משפט: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫−aa f(x)dx = 0
a = −(a + 4)
2a = −4
a = −2
∫04 f(x − 2)dx = ∫−22 f(x)dx = 0
✅ פתרון סופי: a = −2

סעיף ד – הסתברות להוציא 5 חטיפים

אמיר מוציא 5 חטיפים בדיוק כאשר 4 החטיפים הראשונים מרירים והחמישי חלב. החטיפים לא מוחזרים, ולכן בכל הוצאה יש חטיף אחד פחות בקופסה:
P = 712 · 611 · 510 · 49 · 58📐 נוסחה: כלל הכפל במכפלת הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P = 7 · 6 · 5 · 4 · 512 · 11 · 10 · 9 · 8 = 420095040
P = 35792 ≈ 0.0442
✅ פתרון סופי: 35792 ≈ 0.0442

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)כן
סעיף א (2)לא
סעיף ב (1)1
סעיף ב (2)הוכח
סעיף ג (1)לא נכונה
סעיף ג (2)a = −2
סעיף ד35792 ≈ 0.0442
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – פתרון בגרות 2021 מועד מיוחד (אינטגרלים)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרה חשבונית עם מספר איברים אי־זוגי

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית שיש בה 2n + 1 איברים.

א. הוכיחו כי ההפרש בין סכום האיברים העומדים במקומות האי־זוגיים בסדרה ובין סכום האיברים העומדים במקומות הזוגיים בסדרה שווה לאיבר האמצעי בסדרה.

ב. נסמן ב־T את ההפרש בין סכום n האיברים האחרונים בסדרה ובין סכום n האיברים הראשונים בסדרה.

הביעו את T באמצעות n ובאמצעות הפרש הסדרה d.

ג. נתון:

• סכום כל האיברים בסדרה שווה לסכום 2n האיברים האחרונים בסדרה.

• סכום האיבר הראשון והאיבר האחרון בסדרה הוא 204.

• T = 3468.

מצאו את מספר האיברים בסדרה.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הפרש סכום האי־זוגיים והזוגיים

האיברים: a1 , a2 , … , a2n+1. במקומות האי־זוגיים יש n + 1 איברים, ובמקומות הזוגיים n איברים. האיבר האמצעי הוא an+1.
נכתוב את ההפרש ונקבץ כל איבר זוגי עם האיבר האי־זוגי שאחריו:
(a1 + a3 + … + a2n+1)
− (a2 + a4 + … + a2n)
= a1 + (a3 − a2) + (a5 − a4) + …
+ (a2n+1 − a2n)
כל סוגריים הם הפרש בין איבר לאיבר שלפניו, כלומר d. יש n סוגריים:📐 נוסחה: סדרה חשבוניתak+1 − ak = d
= a1 + nd
= an+1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
ההפרש שווה לאיבר האמצעי an+1.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – הביטוי T

n האיברים הראשונים: a1 , … , an. n האיברים האחרונים: an+2 , … , a2n+1.
נתאים לכל איבר מהראשונים את האיבר שנמצא n + 1 מקומות אחריו:
ak+n+1 − ak = (n + 1)d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
T = (an+2 − a1) + (an+3 − a2) + …
+ (a2n+1 − an)
יש n הפרשים, וכל אחד מהם (n + 1)d:
T = n(n + 1)d
✅ פתרון סופי: T = n(n + 1)d

סעיף ג – מספר האיברים

נתון ראשון: סכום כל האיברים הוא a1 ועוד סכום 2n האיברים האחרונים. אם הוא שווה לסכום 2n האחרונים:
a1 = 0
נתון שני:
a1 + a2n+1 = 204
0 + (0 + 2nd) = 204📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
nd = 102
נתון שלישי (סעיף ב):
n(n + 1)d = 3468
nd · (n + 1) = 3468
102(n + 1) = 3468
n + 1 = 34
n = 33
2n + 1 = 67
✅ פתרון סופי: 67 איברים

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכח
סעיף בT = n(n + 1)d
סעיף ג67
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: פרחים לבנים וסגולים בחממה

📄 נוסח השאלה

בחממה גדולה של פרחים יש אך ורק פרחים לבנים וסגולים.

ההסתברות לבחור באקראי שני פרחים לבנים גדולה פי 2.25 מן ההסתברות לבחור באקראי שני פרחים סגולים.

א. חשבו את אחוז הפרחים הסגולים בחממת הפרחים.

בחממה זו, לכמה מן הפרחים הלבנים, ורק להם, יש עלים גדולים. לשאר הפרחים יש עלים קטנים.

ירדן בחרה באקראי שני פרחים. ההסתברות שירדן בחרה פרח אחד שיש לו עלים קטנים ופרח אחד שיש לו עלים גדולים היא 0.455.

ב. (1) חשבו את אחוז הפרחים בחממה שיש להם עלים גדולים.

(2) חשבו את ההסתברות שירדן בחרה פרח סגול, אם ידוע שרק לאחד מן הפרחים שהיא בחרה יש עלים גדולים.

ג. כינרת הכינה זר מ־7 פרחים לבנים בדיוק, שנבחרו באקראי בחממה.

חשבו את ההסתברות שיש בזר פרח אחד לפחות שיש לו עלים גדולים ופרח אחד לפחות שיש לו עלים קטנים.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אחוז הפרחים הסגולים

החממה גדולה, ולכן הבחירות בלתי תלויות. נסמן ב־p את ההסתברות לפרח סגול; ההסתברות לפרח לבן 1 − p.
(1 − p)2 = 2.25p2📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
שני האגפים חיוביים, ונוציא שורש:
1 − p = 1.5p
2.5p = 1
p = 0.4
✅ פתרון סופי: 40%

סעיף ב (1) – אחוז הפרחים עם עלים גדולים

נסמן ב־q את ההסתברות לפרח עם עלים גדולים. פרח אחד גדול ואחד קטן – בשני סדרים אפשריים:
2q(1 − q) = 0.455📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
2q − 2q2 = 0.455
2q2 − 2q + 0.455 = 0
q = 2 ± √(4 − 3.64)4 = 2 ± 0.64📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
q = 0.65
או
q = 0.35
עלים גדולים יש רק לחלק מהפרחים הלבנים, והלבנים הם 60%. לכן q < 0.6, ו־q = 0.65 נפסל.
q = 0.35
✅ פתרון סופי: 35%

סעיף ב (2) – הסתברות מותנית

נסמן: G – רק לאחד הפרחים עלים גדולים (ידוע P(G) = 0.455), S – ירדן בחרה פרח סגול.
אם רק לאחד הפרחים עלים גדולים – הוא לבן (רק ללבנים יש עלים גדולים). כדי שייבחר פרח סגול, הפרח השני צריך להיות סגול (לסגולים תמיד עלים קטנים):
P(S ∩ G) = 2 · 0.35 · 0.4 = 0.28📐 נוסחה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(S | G) = 0.280.455📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P(S | G) = 813 ≈ 0.615
✅ פתרון סופי: 813 ≈ 0.615

סעיף ג – זר של 7 פרחים לבנים

הפרחים בזר לבנים. מבין הלבנים (0.6 מהחממה), לחלק שהוא 0.35 מהחממה יש עלים גדולים:
P(גדולים | לבן) = 0.350.6 = 712📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
P(קטנים | לבן) = 1 − 712 = 512📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)
"לפחות אחד גדול ולפחות אחד קטן" – המשלים: כל ה־7 גדולים או כל ה־7 קטנים:
P = 1 − (712)7 − (512)7📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(A)
P ≈ 1 − 0.02298 − 0.00218
P ≈ 0.9748
✅ פתרון סופי: ≈ 0.975

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א40%
סעיף ב (1)35%
סעיף ב (2)813 ≈ 0.615
סעיף ג≈ 0.975
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – עץ, נעלמים והסתברות מותנית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: משיקים, מעגל חוסם ודמיון משולשים

📄 נוסח השאלה

AB ו־AC משיקים למעגל שמרכזו O בנקודות B ו־C.

BE ו־CE הם מיתרים במעגל.

המעגל החוסם את המשולש ABC חותך את הקטע CE בנקודה D (ראו סרטוט).

נתון: ∢CAB = 90.

סרטוט שאלה 4 מתוך השאלון

א. הוכיחו: BD = DE.

ב. הוכיחו: △ADB ∼ △CEB.

ג. פי כמה גדול שטח המשולש CEB משטח המשולש ADB?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחה ש־BD = DE

ABCDEO
סרטוט בקנה מידה: המעגל הנתון (כחול), המעגל החוסם את △ABC (ירוק, מקווקו).
∢ABO = ∢ACO = 90📐 משפט: משיק ורדיוסרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
במרובע ABOC שלוש זוויות ישרות (∢A נתונה), ולכן גם הרביעית:
∢BOC = 360 − 3 · 90 = 90📐 משפט: סכום זוויות במרובע360 מעלות
במעגל הנתון, ∢BEC היא זווית היקפית הנשענת על הקשת BC, כמו הזווית המרכזית ∢BOC:
∢BEC = 902 = 45📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזיתזווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
המרובע ABDC חסום במעגל החוסם את △ABC:
∢BDC = 180 − ∢BAC📐 משפט: מרובע חסום במעגלסכום כל שתי זוויות נגדיות 180 מעלות
∢BDC = 180 − 90 = 90
D על הקטע CE, ולכן הזווית הצמודה:
∢BDE = 180 − 90 = 90
במשולש BDE:
∢DBE = 180 − 90 − 45 = 45📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
∢DBE = ∢DEB = 45
במשולש מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות:
BD = DE
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – הוכחת הדמיון

במשולש ABC: AB = AC ו־∢A = 90, ולכן:📐 משפט: משיקים מנקודהשני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים זה לזה
∢ACB = ∢ABC = 45
זווית ראשונה: במעגל החוסם, ∢ADB ו־∢ACB נשענות על הקשת AB:
∢ADB = ∢ACB = 45📐 משפט: זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
∢CEB = 45
∢ADB = ∢CEB
זווית שנייה: במעגל החוסם, ∢BAD ו־∢BCD נשענות על הקשת BD:
∢BAD = ∢BCD = ∢BCE📐 משפט: זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו
△ADB ∼ △CEB📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות בהתאמה – המשולשים דומים
התאמה: A ↔ C , D ↔ E , B ↔ B.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – יחס השטחים

יחס הדמיון: הצלע AB ב־△ADB מתאימה לצלע CB ב־△CEB.
במשולש ישר הזווית ושווה השוקיים ABC:
CB = √(AB2 + AC2) = AB√2📐 משפט: משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
k = CBAB = √2
SCEBSADB = (√2)2 = 2📐 משפט: יחס שטחים במשולשים דומיםS1S2 = k2
✅ פתרון סופי: פי 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכח
סעיף בהוכח
סעיף גפי 2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה במישור: משולש חסום במעגל

📄 נוסח השאלה

משולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

נתון כי ∢BAC = 80 מעלות.

נסמן את הזווית AOB ב־a, ואת הצלע AB ב־k (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן a).

סרטוט שאלה 5 מתוך השאלון

א. הוכיחו כי cos a = 1 − k22R2 .

נתון כי k = 34R .

ב. הביעו באמצעות R (בלבד) את שטח המשולש ABC.

נסמן ב־r את רדיוס המעגל החסום במשולש AOB.

ג. חשבו את היחס Rr . בתשובתכם השאירו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הוכחת הביטוי ל־cos a

ABCOa
סרטוט בקנה מידה עבור k = 34R: הזווית a = ∢AOB (סגול).
במשולש AOB: OA = OB = R (רדיוסים), AB = k, והזווית בין הרדיוסים היא a. לפי משפט הקוסינוסים:📐 נוסחה: משפט הקוסינוסיםc2 = a2 + b2 − 2ab cos C
k2 = R2 + R2 − 2 · R · R · cos a
k2 = 2R2 − 2R2 cos a
2R2 cos a = 2R2 − k2
cos a = 1 − k22R2
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – שטח המשולש ABC

לפי משפט הסינוסים במשולש ABC (הצלע AB מול ∢C):📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = 2R
ksin C = 2R
0.75Rsin C = 2R
sin C = 38 = 0.375
C ≈ 22.02
או
C ≈ 157.98
∢A = 80, ולכן ∢C < 100: נשאר C ≈ 22.02.
∢B = 180 − 80 − 22.02 = 77.98📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות
AC = 2R sin B📐 נוסחה: משפט הסינוסיםasin A = 2R
AC = 2R sin 77.98 ≈ 1.956R
S = 12 · AB · AC · sin A📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
S ≈ 12 · 0.75R · 1.956R · sin 80
S ≈ 0.72R2
✅ פתרון סופי: S ≈ 0.72R2

סעיף ג – היחס R/r

לפי סעיף א, עם k = 0.75R:
cos a = 1 − (0.75R)22R2
cos a = 1 − 932 = 2332
sin a = √(1 − (2332)2)📐 נוסחה: זהות יסודיתsin2a + cos2a = 1
sin a = √49532 ≈ 0.6953
(זווית במשולש, ולכן sin a > 0.)
SAOB = 12 · R · R · sin a📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
SAOB ≈ 0.3476R2
PAOB = R + R + 0.75R = 2.75R
0.3476R2 = r · 2.75R2📐 נוסחה: רדיוס המעגל החסוםS = r · P2 (P – היקף המשולש)
r ≈ 0.2528R
Rr ≈ 10.2528 ≈ 3.96
✅ פתרון סופי: Rr ≈ 3.96

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אהוכח
סעיף בS ≈ 0.72R2
סעיף גRr ≈ 3.96
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – משפט הקוסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית שורש ומנה, ואינטגרל

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = √(1 − 2x)x2 − x .

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(3) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לצירים.

(4) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתון: f(k) = 1 , t < k , t הוא פרמטר.

ג. קבעו איזה מן הביטויים שלפניכם גדול יותר. נמקו את קביעתכם.

∫tk f(x)dx או ∫tk (f(x))2dx

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה (f(x))2 , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = −8 ו־x = −1.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

1 − 2x ≥ 0📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0
x ≤ 12
המכנה שונה מ־0:
x2 − x ≠ 0
x(x − 1) ≠ 0
x ≠ 0
x ≠ 1
x = 1 ממילא מחוץ לתחום (x ≤ ½).
✅ פתרון סופי: x ≤ 12 , x ≠ 0

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

ציר y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך.
ציר x:
f(x) = 0
√(1 − 2x) = 0
x = 12
✅ פתרון סופי: (12 , 0)

סעיף א (3) – אסימפטוטות

אנכית: ב־x = 0 המכנה מתאפס והמונה √1 = 1 ≠ 0:📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא
x = 0
אופקית: הפונקציה מוגדרת רק עבור x → −∞. מעלת המונה (שורש של ביטוי ממעלה 1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן:
f(x) → 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , y = 0

סעיף א (4) – עלייה וירידה

u = √(1 − 2x)📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√(g(x)))′ = g′(x)2√(g(x))
u′ = −22√(1 − 2x) = −1√(1 − 2x)
v = x2 − x
v′ = 2x − 1
f′(x) = u′v − uv′v2📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נכפול מונה ומכנה ב־√(1 − 2x):
f′(x) = −(x2 − x) − (1 − 2x)(2x − 1)√(1 − 2x) · (x2 − x)2
נפשט את המונה:
−x2 + x + (2x − 1)2
= 3x2 − 3x + 1
f′(x) = 3x2 − 3x + 1√(1 − 2x) · (x2 − x)2
במונה: הדיסקרימיננטה b2 − 4ac = 9 − 12 = −3 < 0 ומקדם x2 חיובי – המונה תמיד חיובי. המכנה חיובי בכל התחום (ב־x = ½ הנגזרת לא מוגדרת).
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית ב־x < 0 וב־0 < x < ½.
f′(x) > 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
הפונקציה עולה בכל תחום ההגדרה; אין תחומי ירידה.
✅ פתרון סופי: עולה: x < 0 , 0 < x < 12 ; ירידה: אין

סעיף ב – סקיצה

ב־x < 0: x2 − x > 0, ולכן f > 0 – עולה מ־y = 0 ל־+∞. ב־0 < x < ½: x2 − x < 0, f < 0 – עולה מ־−∞ עד (½ , 0).
xy−1½1(½ , 0)
גרף f(x) (כחול); האסימפטוטות x = 0 ו־y = 0 הן הצירים.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג – איזה ביטוי גדול יותר

ערכי f חיוביים רק עבור x < 0, ולכן f(k) = 1 מתקבל ב־k < 0. גם t < k < 0.
בתחום t < x < k הפונקציה חיובית ועולה, ולכן:📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
0 < f(x) < f(k) = 1
מספר בין 0 ל־1 גדול מהריבוע שלו:
(f(x))2 < f(x)
∫tk (f(x))2dx < ∫tk f(x)dx
✅ פתרון סופי: ∫f(x)dx גדול יותר

סעיף ד – השטח

(f(x))2 = 1 − 2x(x2 − x)2
פונקציה קדומה: המונה הוא מינוס הנגזרת של x2 − x. נבדוק בגזירה:
(1x2 − x)′ = −2x − 1(x2 − x)2 = 1 − 2x(x2 − x)2📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((g(x))n)′ = n(g(x))n−1 · g′(x)
xy−8−10.5
S = ∫−8−1 1 − 2x(x2 − x)2 dx📐 נוסחה: שטח מתחת לגרףS = ∫ab f(x)dx
S = 1(−1)2 − (−1) − 1(−8)2 − (−8)📐 נוסחה: אינטגרל מסוים∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
S = 12 − 172
S = 3572 ≈ 0.486
✅ פתרון סופי: 3572

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≤ ½ , x ≠ 0
סעיף א (2)(½ , 0)
סעיף א (3)x = 0 , y = 0
סעיף א (4)עולה x < 0 , 0 < x < ½
סעיף ג∫f(x)dx
סעיף ד3572
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – חקירת שורש של פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = cos(mx) + cos(2x) , m הוא פרמטר שונה מ־0.

נתון: f′(π4) = −2.

א. הראו כי m = 4n , כאשר n הוא מספר שלם שונה מ־0.

הציבו m = 4 , וענו על הסעיפים ב–ד.

ב. בתחום 0 ≤ x ≤ π:

(1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x) בתחום −π ≤ x ≤ π.

ד. נתונה הפונקצייה k(x) המקיימת k′(x) = f(x). גרף הפונקצייה k(x) עובר בראשית הצירים.

לפניכם ארבעה גרפים בתחום −π ≤ x ≤ π. איזה מהם מתאר את הפונקצייה k(x)? נמקו את תשובתכם (היעזרו בסעיף ג).

ארבעת הגרפים של סעיף ד מתוך השאלון
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הוכחה ש־m = 4n

f′(x) = −m sin(mx) − 2 sin(2x)📐 נוסחה: נגזרת(cos(ax))′ = −a sin(ax)
f′(π4) = −m sin(mπ4) − 2 sin π2
−m sin(mπ4) − 2 = −2
m sin(mπ4) = 0
m ≠ 0, ולכן:
sin(mπ4) = 0📐 נוסחה: משוואה טריגונומטריתsin t = 0 – t = πn
mπ4 = πn
m = 4n
n שלם, ו־n ≠ 0 כי m ≠ 0.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים

f(x) = cos 4x + cos 2x
ציר y:
f(0) = 1 + 1 = 2
ציר x: נבטא את cos 4x בעזרת cos 2x:📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולהcos 2t = 2cos2t − 1
2cos22x − 1 + cos 2x = 0
(2cos 2x − 1)(cos 2x + 1) = 0
cos 2x = 12
או
cos 2x = −1
בתחום 0 ≤ x ≤ π מתקיים 0 ≤ 2x ≤ 2π:
2x = π3
2x = 5π3
2x = π
x = π6
x = 5π6
x = π2
✅ פתרון סופי: (0 , 2) ; (π6 , 0) , (π2 , 0) , (5π6 , 0)

סעיף ב (2) – נקודות קיצון

f′(x) = −4 sin 4x − 2 sin 2x📐 נוסחה: נגזרת(cos(ax))′ = −a sin(ax)
f′(x) = −8 sin 2x cos 2x📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t cos t
− 2 sin 2x
f′(x) = −2 sin 2x (4cos 2x + 1)
f′(x) = 0📐 תנאי: נקודת קיצוןf′(x) = 0
אפשרות 1:
sin 2x = 0
x = 0
x = π2
x = π
אפשרות 2:
cos 2x = −14
2x ≈ 1.823
או
2x ≈ 2π − 1.823 ≈ 4.460
x ≈ 0.912 (≈ 0.29π)
x ≈ 2.230 (≈ 0.71π)
ערכי הפונקציה: כאשר cos 2x = −¼:
cos 4x = 2 · 116 − 1 = −78📐 נוסחה: קוסינוס של זווית כפולהcos 2t = 2cos2t − 1
f = −78 − 14 = −98
f(π2) = cos 2π + cos π = 0
f(0) = 2
f(π) = 1 + 1 = 2
סוג הקיצון (סימן f′):
נציב נקודות בתחומים בנגזרת f′(x) = −2 sin 2x (4cos 2x + 1):
f′(0.5) ≈ −5.3 < 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
f′(1.2) ≈ 2.6 > 0
f′(1.9) ≈ −2.6 < 0
f′(2.6) ≈ 5.1 > 0
יורדת מ־0 עד 0.912, עולה עד ½π, יורדת עד 2.230, עולה עד π.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 2) , (π2 , 0) , (π , 2) ; מינימום (0.29π , −98) , (0.71π , −98)

סעיף ג – סקיצה בתחום −π עד π

f(−x) = cos(−4x) + cos(−2x)📐 נוסחה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
f(−x) = cos 4x + cos 2x = f(x)
הפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי לציר ה־y. משלימים את החלק השמאלי בשיקוף של סעיף ב.
xy−π−½π½ππ2−9/8
f(x) בתחום −π ≤ x ≤ π: מקסימום 2 בקצוות וב־x = 0, מקסימום 0 ב־x = ±½π (הגרף נוגע בציר), מינימום −9/8.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד – איזה גרף מתאר את k

k′(x) = f(x): היכן ש־f > 0 – k עולה; היכן ש־f < 0 – k יורדת.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
לפי הסקיצה של סעיף ג:
−π < x < −⅚π: f > 0 – k עולה. −⅚π < x < −⅙π: f ≤ 0 – k יורדת (ב־x = −½π מתקיים f = 0 בלי החלפת סימן: נקודה אופקית בירידה).
−⅙π < x < ⅙π: f > 0 – עולה, ועוברת בראשית בשיפוע k′(0) = f(0) = 2 > 0. ⅙π < x < ⅚π: יורדת (עם נקודה אופקית ב־½π). ⅚π < x < π: עולה.
לכן לגרף של k: מקסימום, ירידה עם קטע אופקי, מינימום משמאל לראשית, עלייה דרך הראשית, מקסימום, ירידה עם קטע אופקי, מינימום, ועלייה.
גרפים ב ו־ג יורדים בהתחלה, וגרף ד יורד בראשית ואין לו נקודות אופקיות בירידה. רק גרף א מתאים.
xy−π−½π½ππ
לבדיקה: k(x) = sin 4x4 + sin 2x2 (מקיימת k′ = f ו־k(0) = 0) – צורת גרף א.
✅ פתרון סופי: גרף א

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אהוכח
סעיף ב (1)(0 , 2) ; (π/6 , 0) , (π/2 , 0) , (5π/6 , 0)
סעיף ב (2)מקס (0 , 2) , (π/2 , 0) , (π , 2) ; מינ (0.29π , −9/8) , (0.71π , −9/8)
סעיף גסקיצה
סעיף דגרף א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – פונקציות מנה ובעיית קיצון: מלבן בין שני גרפים

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות: f(x) = x − 1x − 3 , g(x) = x − 3x − 1 .

ענו על סעיף א בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x) ו־g(x).

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה.

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה עם הצירים.

בסרטוט שלפניכם מתואר חלק מן הגרף של הפונקצייה f(x), חלק מן הגרף של הפונקצייה g(x), ומלבן החסום ביניהם ובין ציר ה־x.

צלע BC של המלבן מונחת על ציר ה־x, והצלע הנגדית, AD, מחברת בין נקודה על הגרף של f(x) ובין נקודה על הגרף של g(x), כמתואר בסרטוט.

סרטוט שאלה 8 מתוך השאלון

נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה A.

ב. קבעו מהו תחום הערכים האפשרי של t.

ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הצלע AB.

(2) הוכיחו ששיעור ה־x של הנקודה D הוא 4 − t.

(3) הביעו באמצעות t את שטח המלבן ABCD.

ד. מצאו את t שבעבורו שטח המלבן ABCD הוא מקסימלי.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – תחומי הגדרה

f(x) : x − 3 ≠ 0
⟹ x ≠ 3
g(x) : x − 1 ≠ 0
⟹ x ≠ 1
✅ פתרון סופי: f: x ≠ 3
g: x ≠ 1

סעיף א (2) – חיתוך עם הצירים

f(x):
f(0) = −1−3 = 13
f(x) = 0
⟹ x − 1 = 0
⟹ x = 1
g(x):
g(0) = −3−1 = 3
g(x) = 0
⟹ x − 3 = 0
⟹ x = 3
✅ פתרון סופי: f: (0 , 13) , (1 , 0)
g: (0 , 3) , (3 , 0)

סעיף ב – תחום הערכים של t

xy123−1ABCDfg
f(x) (כחול), g(x) (סגול), האסימפטוטות x = 1 ו־x = 3 (ירוק, מקווקו), והמלבן המקסימלי.
הנקודה A על הגרף של g מתחת לציר ה־x:
g(t) < 0
⟹ t − 3t − 1 < 0
⟹ 1 < t < 3
המלבן נמצא מעל נקודת החיתוך של שני הגרפים:
x − 1x − 3 = x − 3x − 1
(x − 1)2 = (x − 3)2
−2x + 1 = −6x + 9
x = 2
y = f(2) = −1
בצד ימין של נקודת החיתוך נמצא הגרף של g, ושם נמצאת A:
2 < t < 3
✅ פתרון סופי: 2 < t < 3

סעיף ג (1) – אורך AB

A = (t , g(t)) מתחת לציר, ו־B = (t , 0):
AB = −g(t) = 3 − tt − 1
✅ פתרון סופי: AB = 3 − tt − 1

סעיף ג (2) – שיעור ה־x של D

AD מקביל לציר ה־x, ולכן ל־D אותו שיעור y כמו ל־A. נסמן D = (x , f(x)):
x − 1x − 3 = t − 3t − 1
(x − 1)(t − 1) = (t − 3)(x − 3)
xt − x − t + 1
= xt − 3x − 3t + 9
2x = 8 − 2t
x = 4 − t
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג (3) – שטח המלבן

AD = t − (4 − t) = 2t − 4
S(t) = AD · AB📐 נוסחה: שטח מלבןS = a · b
S(t) = (2t − 4) · 3 − tt − 1
S(t) = 2(−t2 + 5t − 6)t − 1
✅ פתרון סופי: S = (2t − 4)(3 − t)t − 1

סעיף ד – שטח מקסימלי

u = −t2 + 5t − 6
u′ = −2t + 5
v = t − 1
v′ = 1
S′(t) = 2 · u′v − uv′v2📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
(−2t + 5)(t − 1) = −2t2 + 7t − 5
u′v − uv′ = (−2t2 + 7t − 5)
− (−t2 + 5t − 6)
= −t2 + 2t + 1
S′(t) = 2 · −t2 + 2t + 1(t − 1)2
S′(t) = 0📐 תנאי: נקודת קיצוןf′(x) = 0
t2 − 2t − 1 = 0
t = 2 ± √82 = 1 ± √2📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t = 1 − √2 לא בתחום. t = 1 + √2 ≈ 2.41 בתחום 2 < t < 3.
S′(2.2) = 2 · 0.561.44 > 0📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולהf′ < 0 – יורדת
S′(2.8) = 2 · −1.243.24 < 0
עלייה ואחריה ירידה – מקסימום.
✅ פתרון סופי: t = 1 + √2 ≈ 2.41

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אf: x ≠ 3 ; (0 , 1/3) , (1 , 0)
g: x ≠ 1 ; (0 , 3) , (3 , 0)
סעיף ב2 < t < 3
סעיף ג (1)AB = 3 − tt − 1
סעיף ג (2)הוכח
סעיף ג (3)S = (2t − 4)(3 − t)t − 1
סעיף דt = 1 + √2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות