בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – חורף 2024

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בארבעה פרקים: פרק ראשון – שאלות קצרות (שאלה 1, עונים בה על שניים מן הסעיפים א–ד); פרק שני – סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק שלישי – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק רביעי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על 4 שאלות, ולפחות על שאלה אחת מכל אחד מן הפרקים השני, השלישי והרביעי. 25 נקודות לכל שאלה. משך הבחינה: ארבע שעות וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2024

שאלון 571 חורף 2024 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2024 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2024 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2024 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2024 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2024 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 571 חורף 2024 – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת שלכל n טבעי זוגי מתקיים:

48 + 144 + 288 + … + 6n(n + 2) = n(n + 2)(n + 4)

ב. המרובע BCED חסום במעגל.

המשך המיתר BD והמשך המיתר CE נפגשים בנקודה A (ראו סרטוט).

המרובע BCED חסום במעגל – סרטוט מתוך השאלון

נתון: AD = CE , AE = 2CE.

(1) הוכיחו: △AED ∼ △ABC.

(2) מצאו את היחס ABAC.

(3) נתון: ∢DEC = 150 מעלות. האם BE הוא קוטר במעגל הנתון? נמקו.

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x). לפונקציה f(x) יש שתי אסימפטוטות המאונכות לציר ה־x ושתי אסימפטוטות המאונכות לציר ה־y.

גרף הפונקציה f בסעיף ג מתוך השאלון

אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x).

I. f(x) = x√(x2 + 16)   II. f(x) = x√(x2 − 16)

III. f(x) = x2√(x2 + 16)   IV. f(x) = x2√(x2 − 16)

(1) קבעו איזה מן הביטויים I–IV מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

לפונקציה g(x) יש אותו תחום הגדרה כמו לפונקציה f(x), והיא מקיימת g′(x) = f(x) + 53.

(2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x).

ד. בסרטוטים I ו־II שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x) וגרף פונקציית הנגזרת f′(x). בסרטוטים מסומנות כל נקודות הקיצון של הפונקציות.

סרטוטים I ו־II מתוך השאלון

(1) קבעו באיזה סרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

(2) קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

הנקודות A(xA , 6) , B(xB , 2) , C(xC , yC) הן נקודות הקיצון של הפונקציה f(x).

נתון כי השטח המקווקו בסרטוט I שווה ל־7.

(3) מצאו את yC.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקצייה (n זוגי)

מוכיחים לכל n זוגי, ולכן בודקים עבור n = 2 ומתקדמים בצעדים של 2 (מ־k ל־k + 2).
n = 2📐 אינדוקצייה עבור n זוגי1. בדיקה עבור n = 2
2. הנחה: נכון עבור n = k
3. הוכחה עבור n = k + 2
בדיקה עבור n = 2: בצד שמאל יש איבר אחד, 6 · 2 · 4 = 48. בצד ימין:
2 · (2 + 2) · (2 + 4)
= 2 · 4 · 6 = 48 ✓
הנחה: נניח שהשוויון נכון עבור n = k (k זוגי):
48 + 144 + … + 6k(k + 2)
= k(k + 2)(k + 4)
צריך להוכיח עבור n = k + 2: האיבר הבא הוא 6(k + 2)(k + 4):
48 + … + 6k(k + 2) + 6(k
+ 2)(k + 4)
= (k + 2)(k + 4)(k + 6)
נציב את ההנחה בצד שמאל:
k(k + 2)(k + 4) + 6(k + 2)(k
+ 4)
נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):
= (k + 2)(k + 4)(k + 6) ✓
קיבלנו את צד ימין, ולכן השוויון נכון לכל n טבעי זוגי.
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (1) – דמיון המשולשים

∢A משותפת לשני המשולשים.📐 זווית משותפתזווית ששייכת לשני המשולשים
המרובע BCED חסום במעגל, ולכן הזווית החיצונית ∢AED שווה לזווית הפנימית שמולה, ∢ABC:📐 מרובע חסום במעגלזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה
∢AED = ∢ABC
שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים:📐 משולשים דומיםמשפט דמיון ז.ז.
△AED ∼ △ABC
ABCDE
✅ פתרון סופי: הוכח: △AED ∼ △ABC

סעיף ב (2) – היחס AB : AC

נסמן CE = x. לפי הנתון:
AD = x , AE = 2x
AC = AE + EC = 2x + x = 3x
מהדמיון (הצלעות המתאימות: AE מול AB, AD מול AC):
AEAB = ADAC📐 יחס צלעות במשולשים דומיםaa′ = bb′
2xAB = x3x
AB · x = 6x2
AB = 6x
ABAC = 6x3x = 2
✅ פתרון סופי: ABAC = 2

סעיף ב (3) – האם BE קוטר?

∢AED = 180 − ∢DEC = 180 − 150
= 30
במשולש ADE: הצלע AD = x מול ∢AED, והצלע AE = 2x מול ∢ADE:
ADsin∢AED = AEsin∢ADE📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B
xsin30 = 2xsin∢ADE
sin∢ADE = 2x · sin30x = 2 · 0.5
= 1
∢ADE = 90
הנקודות A, D, B על ישר אחד, ולכן:
∢BDE = 180 − 90 = 90
הזווית ההיקפית ∢BDE שווה ל־90 מעלות, ולכן היא נשענת על קוטר: BE קוטר.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
✅ פתרון סופי: כן, BE קוטר

סעיף ג (1) – איזה ביטוי מתאר את f

בגרף יש שתי אסימפטוטות אנכיות, והגרף לא מוגדר בין הענפים.
• I ו־III: x2 + 16 > 0 לכל x – מוגדרות לכל x, אין אסימפטוטה אנכית. נפסלות.
• IV: הפונקציה זוגית (הגרף סימטרי לציר ה־y), אבל בגרף הענף השמאלי שלילי והימני חיובי. נפסלת.📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
• II: התחום x2 − 16 > 0, כלומר x < −4 או x > 4 – אסימפטוטות x = ±4.
II אי־זוגית: f(−x) = −f(x). עבור x > 4 היא חיובית ועבור x < −4 שלילית, ו־f(x) → ±1 בקצוות – שתי אסימפטוטות אופקיות y = 1 , y = −1, כמו בגרף.
✅ פתרון סופי: ביטוי II : f(x) = x√(x2 − 16)

סעיף ג (2) – תחומי העלייה והירידה של g

g′(x) = 0📐 תנאי לנקודת קיצוןf′(x) = 0
x√(x2 − 16) + 53 = 0
x√(x2 − 16) = −53
הצד הימני שלילי, ולכן הפתרון רק עבור x < −4. נעלה בריבוע:
x2x2 − 16 = 259
9x2 = 25x2 − 400
16x2 = 400
x2 = 25
x = −5
(x = 5 נפסל: שם f חיובית.) נבדוק את הסימן של g′ בכל תחום:
• x < −5: למשל x → −∞, f → −1, ולכן g′ → −1 + 53 > 0.
• −5 < x < −4: למשל x = −4.5: f(−4.5) ≈ −2.18, ולכן g′ < 0.
• x > 4: f > 0, ולכן g′ > 0.
xx < −5−5−5 < x < −4x > 4
g′+0−+
g↗מקס׳↘↗
✅ פתרון סופי: עלייה: x < −5 , x > 4
ירידה: −5 < x < −4

סעיף ד (1) – איזה סרטוט הוא f

בנקודות הקיצון של f הנגזרת מתאפסת. הגרף בסרטוט I חותך את ציר ה־x בדיוק בשיעורי ה־x של נקודות הקיצון A, B, C של הגרף בסרטוט II.📐 קיצון ונגזרתבנקודת קיצון f′(x) = 0
גם הסימנים מתאימים: איפה שגרף I חיובי, גרף II עולה, ואיפה שגרף I שלילי, גרף II יורד.
לעומת זאת, לגרף I יש נקודות קיצון שבהן גרף II לא חותך את ציר ה־x – ולכן I אינו f.
✅ פתרון סופי: סרטוט II מתאר את f(x)

סעיף ד (2) – מספר נקודות הפיתול של f

נקודת פיתול של f היא נקודה שבה f′ עוברת מעלייה לירידה או להפך – כלומר נקודת קיצון של גרף הנגזרת.📐 נקודת פיתולנקודת קיצון של f′ היא נקודת פיתול של f
בגרף הנגזרת (סרטוט I) יש 3 נקודות קיצון: מינימום בין xA ל־xB, מקסימום בין xB ל־xC, ומינימום מימין ל־xC.
✅ פתרון סופי: 3 נקודות פיתול

סעיף ד (3) – הערך של yC

השטח המקווקו בסרטוט I מורכב משני חלקים: מ־xA עד xB (מתחת לציר) ומ־xB עד xC (מעל לציר).
∫xBxA f′(x) dx = f(xB) − f(xA)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
= 2 − 6 = −4
האינטגרל שלילי (מתחת לציר), ולכן השטח הראשון הוא 4. השטח השני:
S2 = 7 − 4 = 3
∫xCxB f′(x) dx = yC − 2 = 3📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
yC = 5
✅ פתרון סופי: yC = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכח
סעיף ב (1)הוכח: △AED ∼ △ABC
סעיף ב (2)ABAC = 2
סעיף ב (3)כן, BE קוטר
סעיף ג (1)ביטוי II : f(x) = x√(x2 − 16)
סעיף ג (2)עלייה: x < −5 , x > 4
ירידה: −5 < x < −4
סעיף ד (1)סרטוט II מתאר את f(x)
סעיף ד (2)3 נקודות פיתול
סעיף ד (3)yC = 5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 75 – מציאת נקודות פיתול בהינתן גרף הנגזרת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרה חשבונית

📄 נוסח השאלה

בסדרה חשבונית A נתון: a1 = −4 − 4k , a3 = −16 + 2k. k הוא פרמטר.

א. מצאו עבור אילו ערכים של k:

(1) הסדרה A עולה. (2) הסדרה A יורדת. (3) הסדרה A קבועה.

נתון כי a17 = −232.

ב. מצאו את הערך של k.

הציבו את הערך של k שמצאתם וענו על הסעיפים ג–ד.

נתונה סדרה חדשה, B, שאיבריה מוגדרים כך: לכל n טבעי, bn = an + 24n + 17.

ג. הוכיחו כי הסדרה B היא חשבונית.

ד. חשבו את הסכום: b12 − b22 + b32 − b42 + … + b292 − b302.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מתי הסדרה עולה, יורדת או קבועה

a3 = a1 + 2d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
−16 + 2k = −4 − 4k + 2d
2d = −12 + 6k
d = −6 + 3k
סדרה חשבונית עולה כאשר d > 0, יורדת כאשר d < 0 וקבועה כאשר d = 0.📐 סדרה חשבוניתעולה: d > 0
יורדת: d < 0
קבועה: d = 0
(1) עולה:
−6 + 3k > 0
k > 2
(2) יורדת:
−6 + 3k < 0
k < 2
(3) קבועה:
−6 + 3k = 0
k = 2
✅ פתרון סופי: (1) k > 2 ; (2) k < 2 ; (3) k = 2

סעיף ב – הערך של k

a17 = a1 + 16d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
−232 = −4 − 4k + 16(−6 + 3k)
−232 = −4 − 4k − 96 + 48k
−232 = −100 + 44k
44k = −132
k = −3
✅ פתרון סופי: k = −3

סעיף ג – B סדרה חשבונית

נציב k = −3:
a1 = −4 − 4 · (−3) = 8
d = −6 + 3 · (−3) = −15
an = 8 + (n − 1) · (−15)📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
an = 23 − 15n
bn = 23 − 15n + 24n + 17
bn = 9n + 40
bn+1 − bn📐 הוכחה שסדרה חשבוניתan+1 − an = d (קבוע)
= 9(n + 1) + 40 − 9n − 40
bn+1 − bn = 9
ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית עם d = 9 ו־b1 = 49.
✅ פתרון סופי: הוכח: bn = 9n + 40 , d = 9

סעיף ד – הסכום עם הסימנים המתחלפים

נקבץ את האיברים בזוגות:
(b12 − b22) + (b32 − b42) + …
+ (b292 − b302)
b12 − b22 = (b1 − b2)(b1 + b2)📐 הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
בכל זוג b1 − b2 = −d = −9:
= −9(b1 + b2) − 9(b3 + b4) − …
− 9(b29 + b30)
= −9(b1 + b2 + … + b30)
b30 = 9 · 30 + 40 = 310
S30 = 302 (49 + 310)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 (a1 + an)
S30 = 15 · 359 = 5385
−9 · 5385 = −48,465
✅ פתרון סופי: −48,465

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א(1) k > 2 ; (2) k < 2 ; (3) k = 2
סעיף בk = −3
סעיף גהוכח: bn = 9n + 40 , d = 9
סעיף ד−48,465
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

ביישוב מסוים הוחלט לערוך סקר בנוגע להקמת פארק ביישוב.

בסקר השתתפו תושבים מבוגרים וצעירים בלבד.

כל אחד מן התושבים שהשתתף בסקר כתב אם הוא תומך בהקמת הפארק או מתנגד להקמתו (לא היו נמנעים).

כל התושבים המבוגרים שהשתתפו בסקר תמכו בהקמת הפארק.

בחרו באקראי בתושב אחד מבין התושבים שהשתתפו בסקר.

נסמן ב־p את ההסתברות שהתושב שנבחר היה צעיר.

נסמן ב־k את ההסתברות שהתושב שנבחר תמך בהקמת הפארק.

א. הביעו באמצעות p ו־k את ההסתברות שהתושב שנבחר היה צעיר התומך בהקמת הפארק.

מחצית מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר תמכו בהקמת הפארק.

37 מן המשתתפים בסקר שתמכו בהקמת הפארק היו צעירים.

ב. מצאו את p ואת k.

יוסי, כתב חדשות מקומי, ריאיין באקראי 6 מן התושבים הצעירים שהשתתפו בסקר.

ג. מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם תמך בהקמת הפארק ולפחות אחד מהם התנגד להקמת הפארק?

לאחר מכן ריאיין יוסי באקראי, בזה אחר זה, 5 תושבים שהשתתפו בסקר.

ד. מהי ההסתברות שבדיוק 3 מן המרואיינים האלה היו צעירים, ושהמרואיין האחרון מהם היה צעיר?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – צעיר שתומך

נסמן: Y – צעיר, S – תומך. כל מבוגר תומך, ולכן:
P(Ȳ) = 1 − p
P(Ȳ ∩ S) = P(Ȳ) = 1 − p
P(S) = P(Y ∩ S) + P(Ȳ ∩ S)📐 חלוקה לשני מאורעות זריםP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)
k = P(Y ∩ S) + 1 − p
P(Y ∩ S) = k + p − 1
✅ פתרון סופי: p + k − 1

סעיף ב – הערכים של p ו־k

מחצית מן הצעירים תמכו:
P(S | Y) = P(Y ∩ S)P(Y) = 12📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
p + k − 1p = 12
2p + 2k − 2 = p
k = 1 − p2
37 מן התומכים היו צעירים:
P(Y | S) = P(Y ∩ S)P(S) = 37📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
לפי המשוואה הראשונה P(Y ∩ S) = p2:
p2 = 37 k
p2 = 37 (1 − p2)
7p = 6 − 3p
10p = 6
p = 0.6
k = 1 − 0.3 = 0.7
✅ פתרון סופי: p = 0.6 , k = 0.7

סעיף ג – לפחות תומך אחד ולפחות מתנגד אחד

כל צעיר תומך בהסתברות 12 (לפי הנתון), והראיונות בלתי תלויים. המאורע המשלים: כל 6 תומכים או כל 6 מתנגדים:
P = 1 − (12)6 − (12)6📐 מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)
P = 1 − 164 − 164
P = 6264 = 3132
✅ פתרון סופי: 3132 ≈ 0.969

סעיף ד – בדיוק 3 צעירים והאחרון צעיר

כל מרואיין הוא צעיר בהסתברות p = 0.6. המרואיין האחרון (החמישי) צעיר, ובין 4 הראשונים בדיוק 2 צעירים:
P = 0.6 · C(4 , 2) · 0.62 · 0.42📐 נוסחת ברנוליP(X = k) =
C(n , k) · pk · (1 − p)n−k
P = 0.6 · 6 · 0.36 · 0.16
P = 0.20736 = 6483125
✅ פתרון סופי: 6483125 = 0.20736

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אp + k − 1
סעיף בp = 0.6 , k = 0.7
סעיף ג3132 ≈ 0.969
סעיף ד6483125 = 0.20736
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – עץ עם נעלמים והסתברות מותנית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה

📄 נוסח השאלה

שני מעגלים נחתכים בנקודות A ו־B. C היא נקודה על המעגל הימני.

המשכי הקטעים CA ו־CB חותכים את המעגל השמאלי בנקודות D ו־E בהתאמה.

הנקודה F נמצאת על הקשת BC, כמתואר בסרטוט.

המשכי הקטעים CF ו־DE נפגשים בנקודה G.

שני מעגלים נחתכים – סרטוט מתוך השאלון

א. הוכיחו: ∢EDA = ∢CBA.

ב. הוכיחו: המרובע GDAF הוא בר חסימה במעגל.

המיתרים AF ו־BC נפגשים בנקודה H.

נתון: ∢GEC = ∢CHA.

ג. הוכיחו: CGCD = GEDE.

נתון: CE מאונך ל־AB. CD = 36 , DE = 18.

ד. חשבו את אורכי הקטעים EG ו־CG.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחה ש־∢EDA = ∢CBA

המרובע ABED חסום במעגל השמאלי. הנקודות E , B , C על ישר אחד, ולכן ∢CBA היא זווית חיצונית של המרובע בקדקוד B.
∢CBA = ∢EDA – הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה (בקדקוד D).📐 מרובע חסום במעגלזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה
∢EDA = ∢CBA
ABCDEFGH
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – המרובע GDAF בר חסימה

במעגל הימני הזוויות ההיקפיות ∢CBA ו־∢CFA נשענות על אותה קשת AC:📐 זוויות היקפיותזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
∢CFA = ∢CBA
לפי סעיף א:
∢CFA = ∢CBA = ∢EDA = ∢GDA
הנקודות G , F , C על ישר אחד, ולכן ∢CFA היא זווית חיצונית של המרובע GDAF בקדקוד F, והיא שווה לזווית הפנימית שמולה, ∢GDA.
לכן המרובע GDAF בר חסימה.📐 מרובע בר חסימהאם זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה – המרובע בר חסימה
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – הוכחה ש־CG : CD = GE : DE

נראה ש־CE חוצה את הזווית ∢DCG.
במשולש CED, הזווית ∢GEC חיצונית (G, E, D על ישר אחד):📐 זווית חיצונית במשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
∢GEC = ∢EDC + ∢ECD
לפי סעיפים א ו־ב, ∢EDC = ∢EDA = ∢CFA. וגם ∢ECD = ∢BCA. לכן:
∢GEC = ∢CFA + ∢BCA
במשולש CHF, הזווית ∢CHA חיצונית (A, H, F על ישר אחד):📐 זווית חיצונית במשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
∢CHA = ∢HFC + ∢HCF
= ∢CFA + ∢BCF
נתון ∢GEC = ∢CHA, ולכן:
∢CFA + ∢BCA = ∢CFA + ∢BCF
∢BCA = ∢BCF
כלומר ∢ECD = ∢ECG: CE חוצה את הזווית ∢DCG במשולש DCG.
CGCD = GEDE📐 משפט חוצה הזוויתחוצה זווית במשולש מחלק את הצלע שמולה ביחס הצלעות הכולאות אותה
✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ד – אורכי EG ו־CG

CE ⊥ AB, ו־B על CE, ולכן ∢CBA = 90. לפי סעיף א:
∢EDA = ∢CBA = 90
לכן המשולש GDC ישר זווית ב־D, ו־CE חוצה את הזווית C (סעיף ג). נסמן EG = x:
CG36 = x18📐 משפט חוצה הזווית (סעיף ג)CGCD = GEDE
CG = 2x
DG = DE + EG = 18 + x
CG2 = CD2 + DG2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
(2x)2 = 362 + (18 + x)2
4x2 = 1296 + 324 + 36x + x2
3x2 − 36x − 1620 = 0
x2 − 12x − 540 = 0
x = 12 ± √(144 + 2160)2 = 12 ± 482📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x = 30
(x = −18 נפסל – אורך חיובי.)
EG = 30 , CG = 2 · 30 = 60
✅ פתרון סופי: EG = 30 , CG = 60

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכח
סעיף בהוכח
סעיף גהוכח
סעיף דEG = 30 , CG = 60
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטרייה במישור

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

ישר היוצא מן הנקודה E חותך את המעגל בנקודות A ו־B.

D היא נקודה על הקשת הגדולה AB כך ש־ED משיק למעגל.

הנקודה C היא אמצע המיתר AB, כמתואר בסרטוט.

המעגל, המשיק ED והמיתר AB – סרטוט מתוך השאלון

נסמן: ∢DOA = 2t , 0 < t < 60 (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות).

נתון כי המרחק של מרכז המעגל מן המיתר AB הוא 0.5R.

א. הביעו באמצעות t את הזוויות של המרובע DOCE.

ב. הביעו באמצעות t ו־R את אורך המשיק DE.

נתון כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש AOD הוא 4R7.

ג. מצאו את t.

ד. מצאו את היחס בין שטח המעגל החוסם את המרובע DOCE ובין שטח המעגל שמרכזו O.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הזוויות של המרובע DOCE

ED משיק ו־OD רדיוס לנקודת ההשקה:📐 משיק ורדיוסהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
∢ODE = 90
OC מחבר את המרכז לאמצע המיתר AB:📐 קטע ממרכז המעגל לאמצע מיתרמאונך למיתר
∢OCE = 90
במשולש OCA (ישר זווית ב־C): OA = R , OC = 0.5R:
cos∢AOC = OCOA = 0.5RR = 0.5📐 קוסינוס במשולש ישר זוויתcos∢ = ניצב ליד הזוויתיתר
∢AOC = 60
∢DOC = ∢DOA + ∢AOC = 2t + 60
∢DEC = 360 − 90 − 90 − (60 + 2t)📐 סכום הזוויות במרובע360 מעלות
∢DEC = 120 − 2t
OABCDE
✅ פתרון סופי: ∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t

סעיף ב – אורך המשיק DE

נעבוד במשולש ADE.
במשולש AOD שווה השוקיים (OA = OD = R), עם זווית ראש 2t:
זוויות הבסיס: ∢OAD = ∢ODA = 90 − t.
ADsin2t = Rsin(90 − t)📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B
sin(90 − t) = cos t📐 זהותsin(90 − x) = cos x
sin2t = 2 sin t cos t📐 סינוס של זווית כפולהsin2x = 2 sin x cos x
AD = R · 2 sin t cos tcos t = 2R sin t
הזווית בין המשיק DE למיתר DA שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת DA, כלומר לחצי הזווית המרכזית ∢DOA:📐 זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
∢ADE = 2t2 = t
לפי סעיף א, ∢AED = ∢DEC = 120 − 2t. סכום הזוויות במשולש ADE:
∢DAE = 180 − t − (120 − 2t)
= 60 + t
DEsin∢DAE = ADsin∢AED📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B
DEsin(60 + t) = 2R sin tsin(120 − 2t)
DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
✅ פתרון סופי: DE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)

סעיף ג – הערך של t

במשולש AOD: AD = 2R sin t (סעיף ב), והזווית שמולה ∢AOD = 2t. רדיוס המעגל החוסם הוא 4R7:
ADsin∢AOD = 2 · 4R7📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R
2R sin t2 sin t cos t = 8R7
Rcos t = 8R7
cos t = 78
t ≈ 28.96
✅ פתרון סופי: t ≈ 28.96 מעלות

סעיף ד – יחס השטחים

במרובע DOCE יש שתי זוויות ישרות מול הקטע OE (סעיף א), ולכן OE הוא קוטר המעגל החוסם את המרובע.
הזווית ההיקפית ∢ODE = 90 נשענת על קוטר: הרדיוס של המעגל החוסם הוא OE2.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר
נחשב את DE עם t ≈ 28.96:
DE
= 2R sin28.96 · sin88.96sin62.09 ≈ 1.0955R
OE2 = OD2 + DE2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
OE2 = R2 + 1.2001R2 = 2.2001R2
S1S = π(OE2)2πR2 = OE24R2📐 שטח עיגולS = πr2
S1S = 2.2001R24R2 ≈ 0.55
✅ פתרון סופי: ≈ 0.55

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א∢ODE = 90 , ∢OCE = 90 , ∢DOC = 60 + 2t , ∢DEC = 120 − 2t
סעיף בDE = 2R sin t · sin(60 + t)sin(120 − 2t)
סעיף גt ≈ 28.96 מעלות
סעיף ד≈ 0.55
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – טריגונומטריה עם מעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית שורש

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה: f(x) = √x − 4(√x − 2)2.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).

(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(4) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה: g(x) = 2x√x − 2 המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x).

ג. הראו כי לכל x > 0 בתחום ההגדרה של הפונקציות מתקיים f(x) = g′(x).

ד. לפניכם טענות I–II. קבעו בנוגע לכל טענה אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעותיכם.

I. יש משיק לגרף הפונקציה g(x) ששיפועו הוא 2.

II. לפונקציה g(x) יש נקודת פיתול אחת בלבד.

ה. חשבו את ערך הביטוי ∫10.25 g(x) · f(x) dx.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

x ≥ 0📐 תנאי לשורש√A : A ≥ 0
√x − 2 ≠ 0📐 תנאי למנההמכנה שונה מ־0
√x ≠ 2
x ≠ 4
✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , x ≠ 4

סעיף א (2) – האסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 4, והמונה שם √4 − 4 = −2 ≠ 0:
x = 4
אופקית: כאשר x → ∞ המכנה (√x − 2)2 = x − 4√x + 4 גדל מהר יותר מהמונה √x − 4. נחלק מונה ומכנה ב־x:
f(x) = 1√x − 4x1 − 4√x + 4x → 01 = 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 4 , y = 0

סעיף א (3) – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):
f(0) = 0 − 4(0 − 2)2 = −44 = −1
ציר ה־x (f(x) = 0 – המונה מתאפס):
√x − 4 = 0
√x = 4
x = 16
✅ פתרון סופי: (0 , −1) , (16 , 0)

סעיף א (4) – נקודות הקיצון

נגזור לפי כלל המנה, עם u = √x − 4 , v = (√x − 2)2:
u′ = 12√x📐 נגזרת של שורש(√x)′ = 12√x
v′ = 2(√x − 2) · 12√x = √x − 2√x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n−1 · g′(x)
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 12√x (√x − 2)2 − (√x − 4) · √x − 2√x(√x − 2)4
נצמצם ב־(√x − 2) ונכפול מונה ומכנה ב־2√x:
f′(x) = (√x − 2) − 2(√x − 4)2√x (√x − 2)3
f′(x) = 6 − √x2√x (√x − 2)3
f′(x) = 0📐 תנאי הכרחי לקיצוןf′(x) = 0
6 − √x = 0
√x = 6
x = 36
f(36) = 6 − 4(6 − 2)2 = 216 = 18
סימן הנגזרת (2√x > 0): בתחום 0 < x < 4 המונה חיובי והמכנה שלילי; בתחום 4 < x < 36 שניהם חיוביים; ובתחום x > 36 המונה שלילי:
x00 < x < 444 < x < 3636x > 36
f′−לא מוגדרת+0−
fמקס׳ קצה↘↗מקס׳↘
בנקודת הקצה x = 0 הפונקציה מתחילה לרדת, ולכן (0 , −1) היא נקודת מקסימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (36 , 18) ; מקסימום קצה (0 , −1)

סעיף ב – סקיצה של f

לפי סעיף א: מתחילה בנקודה (0 , −1) ויורדת אל −∞ ליד האסימפטוטה x = 4 [תכלת, מקווקו]. מימין לאסימפטוטה עולה מ־−∞, חותכת את ציר ה־x ב־(16 , 0), מגיעה למקסימום (36 , 18) ויורדת אל האסימפטוטה y = 0. הגרף [כחול] בקנה מידה:
xy41636f(x)(0 , −1)(16 , 0)(36 , 1/8)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג – הוכחה ש־f(x) = g′(x)

g′(x) = 2(√x − 2) − 2x · 12√x(√x − 2)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
g′(x) = 2√x − 4 − √x(√x − 2)2
g′(x) = √x − 4(√x − 2)2 = f(x)
✅ פתרון סופי: הוכח: g′(x) = f(x)

סעיף ד – הטענות I ו־II

I. שיפוע המשיק לגרף g הוא g′(x) = f(x). לפי סעיפים א–ב, בתחום 0 ≤ x < 4 הפונקציה f יורדת מ־−1, ובתחום x > 4 הערך הגדול ביותר שלה הוא 18. לכן תמיד f(x) ≤ 18 < 2, ואין משיק ששיפועו 2 – הטענה לא נכונה.📐 שיפוע משיקm = g′(x0)
II. g″(x) = f′(x). לפי הטבלה בסעיף א (4), f′ מחליפה סימן (בתחום ההגדרה) רק ב־x = 36 (ב־x = 4 הפונקציה g לא מוגדרת). לכן ל־g נקודת פיתול אחת בלבד – הטענה נכונה.📐 נקודת פיתולg″ מחליפה סימן
✅ פתרון סופי: I – לא נכונה ; II – נכונה

סעיף ה – האינטגרל

לפי סעיף ג f(x) = g′(x), ולכן g(x) · f(x) = g(x) · g′(x):
∫ g(x) · g′(x) dx = g2(x)2 + C📐 אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫ gn(x) · g′(x) dx = gn+1(x)n + 1 + C
g(1) = 2 · 11 − 2 = −2
g(0.25) = 2 · 0.250.5 − 2 = 0.5−1.5 = −13
∫10.25 g · f dx = (−2)22 − (−13)22
= 2 − 118 = 3518 = 11718
✅ פתרון סופי: 3518 = 11718

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≥ 0 , x ≠ 4
סעיף א (2)x = 4 , y = 0
סעיף א (3)(0 , −1) , (16 , 0)
סעיף א (4)מקסימום (36 , 18) ; מקסימום קצה (0 , −1)
סעיף בסקיצה
סעיף גהוכח: g′(x) = f(x)
סעיף דI – לא נכונה ; II – נכונה
סעיף ה3518 = 11718
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – חקירת שורש: פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציה טריגונומטרית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה: f(x) = sin(x) − asin(x) + a . a הוא פרמטר חיובי.

הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x המקיים sin(x) ≠ −a.

נתון כי הגרף של הפונקציה f(x) משיק לציר ה־x בכל נקודות הקיצון שלה.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 1, וענו על הסעיפים ב–ה עבור התחום −2π ≤ x ≤ 2π.

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. כמה פתרונות יש למשוואה f(x) = −1 בתחום הנתון? נמקו את תשובתכם.

ידוע כי הפונקציה f(x) קעורה כלפי מטה בכל אחד מחלקי תחום הגדרתה.

ה. קבעו אם הטענה שלפניכם נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.

∫π0 (f(x) + 1) dx > π2
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הערך של a

נגזור לפי כלל המנה, עם u = sin x − a , v = sin x + a:
u′ = cos x , v′ = cos x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
u′v − uv′ = cos x (sin x + a)
− (sin x − a) cos x
u′v − uv′ = 2a cos x
f′(x) = 2a cos x(sin x + a)2
f′(x) = 0📐 תנאי הכרחי לקיצוןf′(x) = 0
cos x = 0
sin x = 1 או sin x = −1
הגרף משיק לציר ה־x בנקודות הקיצון, ולכן שם f(x) = 0. בנקודות שבהן sin x = 1:
f = 1 − a1 + a = 0
a = 1
בדיקה: עבור a = 1, בנקודות שבהן sin x = −1 המכנה sin x + 1 = 0 – הן לא בתחום, ולכן כל נקודות הקיצון הן אלה שבהן sin x = 1, ושם f = 0 ✓
✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה

sin x + 1 ≠ 0📐 תנאי למנההמכנה שונה מ־0
sin x ≠ −1
x ≠ −π2 + 2πk📐 פתרון משוואה טריגונומטריתsin x = −1 : x = −π2 + 2πk
בתחום −2π ≤ x ≤ 2π:
x ≠ −π2 , x ≠ 3π2
✅ פתרון סופי: −2π ≤ x ≤ 2π , x ≠ −π2 , x ≠ 3π2

סעיף ב (2) – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר ה־y:
f(0) = 0 − 10 + 1 = −1
ציר ה־x (המונה מתאפס):
sin x − 1 = 0
sin x = 1📐 פתרון משוואה טריגונומטריתsin x = 1 : x = π2 + 2πk
x = π2 , x = −3π2
✅ פתרון סופי: (0 , −1) , (π2 , 0) , (−3π2 , 0)

סעיף ב (3) – נקודות הקיצון

עבור a = 1 (סעיף א):
f′(x) = 2cos x(sin x + 1)2
המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′ כסימן של cos x. cos x = 0 בתחום (בנקודות המוגדרות): x = −3π2 , x = π2.
x−2π(−2π , −3π/2)−3π/2(−3π/2 , −π/2)
f′+0−
fמינ׳ קצה↗מקס׳↘
x(−π/2 , π/2)π/2(π/2 , 3π/2)(3π/2 , 2π)2π
f′+0−+
f↗מקס׳↘↗מקס׳ קצה
f(−3π2) = f(π2) = 1 − 11 + 1 = 0
f(−2π) = f(2π) = 0 − 10 + 1 = −1
✅ פתרון סופי: מקסימום (−3π2 , 0) , (π2 , 0)
מקסימום קצה (2π , −1) ; מינימום קצה (−2π , −1)

סעיף ג – סקיצה של f

הפונקציה אי־חיובית בכל התחום (המונה sin x − 1 ≤ 0 והמכנה חיובי), ושואפת ל־−∞ ליד האסימפטוטות x = −π2 ו־x = 3π2 [תכלת, מקווקו]. הגרף [כחול] בקנה מידה:
xyf(x)(−2π , −1)(−3π/2 , 0)(π/2 , 0)(2π , −1)(0 , −1)−π
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד – מספר הפתרונות של f(x) = −1

sin x − 1sin x + 1 = −1
sin x − 1 = −sin x − 1
2 sin x = 0
sin x = 0📐 פתרון משוואה טריגונומטריתsin x = 0 : x = πk
x = −2π , −π , 0 , π , 2π
כל חמשת הפתרונות בתחום ההגדרה.
✅ פתרון סופי: 5 פתרונות

סעיף ה – האם האינטגרל גדול מ־π/2

נסמן h(x) = f(x) + 1. גם h קעורה כלפי מטה (הזזה אנכית לא משנה קעירות). בתחום 0 ≤ x ≤ π הפונקציה מוגדרת, ו־:
h(0) = −1 + 1 = 0
h(π2) = 0 + 1 = 1
h(π) = −1 + 1 = 0
h אי־שלילית בתחום (f ≥ −1 כאשר sin x ≥ 0), ולכן האינטגרל הוא השטח שמתחת לגרף.
פונקציה קעורה כלפי מטה נמצאת מעל המיתר שמחבר שתי נקודות על הגרף. לכן הגרף של h בתחום נמצא מעל שני הקטעים שמחברים את (0 , 0) ל־(π2 , 1) ואת (π2 , 1) ל־(π , 0).📐 קעירות כלפי מטההגרף נמצא מעל כל מיתר שלו
שני הקטעים יוצרים משולש שבסיסו π וגובהו 1:
S△ = π · 12 = π2📐 שטח משולשS = a · h2
השטח מתחת לגרף גדול משטח המשולש:
∫π0 (f(x) + 1) dx > π2
✅ פתרון סופי: הטענה נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אa = 1
סעיף ב (1)−2π ≤ x ≤ 2π , x ≠ −π2 , x ≠ 3π2
סעיף ב (2)(0 , −1) , (π2 , 0) , (−3π2 , 0)
סעיף ב (3)מקסימום (−3π2 , 0) , (π2 , 0)
מקסימום קצה (2π , −1) ; מינימום קצה (−2π , −1)
סעיף גסקיצה
סעיף ד5 פתרונות
סעיף ההטענה נכונה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 52 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי גינות מלבניות הצמודות זו לזו, גינה A וגינה B.

הרוחב של גינה A הוא t מטרים.

הרוחב של גינה B הוא 2 מטרים ושטחה הוא 2t + 2 מ"ר, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

האורך הכולל של שתי הגינות הוא k מטרים. k הוא קבוע.

שתי הגינות A ו־B – סרטוט מתוך השאלון

א. הביעו באמצעות k ו־t את שטח הגינה A.

ב. הביעו באמצעות k את הערך של t שבעבורו היחס בין שטח הגינה B ובין שטח הגינה A הוא מינימלי.

ג. הביעו באמצעות k את הערך של t שבעבורו היחס בין שטח הגינה A ובין שטח הגינה B הוא מקסימלי. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – שטח הגינה A

נסמן ב־b את האורך של גינה B. הרוחב שלה 2 והשטח שלה 2t + 2:
2b = 2t + 2📐 שטח מלבןS = a · b
b = t + 1
האורך הכולל של שתי הגינות הוא k, ולכן האורך של גינה A:
k − b = k − t − 1
SA = t(k − t − 1)📐 שטח מלבןS = a · b
✅ פתרון סופי: SA = t(k − t − 1)

סעיף ב – היחס SB : SA מינימלי

תחום: האורכים חיוביים – t > 0 ו־k − t − 1 > 0, כלומר 0 < t < k − 1.
r(t) = SBSA = 2t + 2kt − t2 − t
נגזור לפי כלל המנה, עם u = 2t + 2 , v = kt − t2 − t:
u′ = 2 , v′ = k − 2t − 1📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
המונה של r′(t) הוא u′v − uv′:
u′v = 2(kt − t2 − t)
u′v = 2kt − 2t2 − 2t
uv′ = (2t + 2)(k − 2t − 1)
uv′ = 2kt − 4t2 − 6t + 2k − 2
u′v − uv′ = 2kt − 2t2 − 2t
− 2kt + 4t2 + 6t − 2k + 2
= 2t2 + 4t − 2k + 2
= 2(t2 + 2t − k + 1)
r′(t) = 2(t2 + 2t − k + 1)(kt − t2 − t)2
r′(t) = 0📐 תנאי הכרחי לקיצוןf′(x) = 0
t2 + 2t − k + 1 = 0
(t + 1)2 = k
t + 1 = √k
t = √k − 1
(t + 1 = −√k נפסל, כי t > 0.) המכנה חיובי, והמונה 2((t + 1)2 − k) שלילי משמאל ל־√k − 1 וחיובי מימינו:
t0 < t < √k − 1√k − 1√k − 1 < t < k − 1
r′−0+
r↘מינ׳↗
✅ פתרון סופי: t = √k − 1

סעיף ג – היחס SA : SB מקסימלי

SASB = 1r(t)
היחס r(t) חיובי. כאשר מספר חיובי קטן ביותר, ההופכי שלו גדול ביותר. לפי סעיף ב, r(t) מינימלי כאשר t = √k − 1, ולכן שם 1r(t) מקסימלי.
✅ פתרון סופי: t = √k − 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אSA = t(k − t − 1)
סעיף בt = √k − 1
סעיף גt = √k − 1
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות