בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

זהו מועד חורף נבצרים (פברואר 2022). בשאלון שמונה שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות (שאלות 6–8). עונים על חמש שאלות לבחירה, 20 נקודות לכל שאלה. בשאלה 1 עונים על שלושה מארבעת הסעיפים. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2022 (פברואר, נבצרים)

שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 8
שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 8
שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 8
שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 8
שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 8
שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 8
שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 8
שאלון 571 חורף 2022 (פברואר, נבצרים) – עמוד 8
עמוד 8 מתוך 8

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: סדרה חשבונית במרובע, מגדל קוביות, זהויות טריגונומטריות, גרף ו־1/g

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם a1 , a2 , a3 , a4.

הוכיחו כי אם מתקיים ∢A = a1 , ∢B = a2 , ∢C = a4 , ∢D = a3, אז אפשר לחסום את המרובע ABCD במעגל.

ב. נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ־25 קוביות המסודרות בצורת ריבוע. הקומה שמעליה בנויה מ־16 קוביות המסודרות בצורת ריבוע, וכך הלאה עד לקומה העליונה שבה יש קובייה אחת.

מגדל קוביות בן 5 קומות

(1) כמה קוביות סך הכול דרושות כדי לבנות באותו אופן מגדל שבו 7 קומות?

(2) נתון מגדל ובו 10 קומות הבנוי באותו אופן. כמה קוביות צריך להוסיף למגדל זה, כדי שיהיו בו 100 קומות הבנויות באותו אופן?

אפשר להיעזר בנוסחה (לכל n טבעי):
12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6

ג. נתונה הפונקציה f(x) = [cos(x − π) + cos(π − x)]2 + 4[sin(−x)]2 − 5, המוגדרת לכל x. האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה־x? נמקו.

ד. הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x) שתחום ההגדרה שלה הוא x ≠ −1 , x ≠ 1. הישרים y = 0 , x = 1 , x = −1 הם אסימפטוטות של הפונקציה. הנקודה A(0.3 , 1) היא נקודת המינימום היחידה של g(x), הנקודה B(3 , 1) היא נקודת המקסימום היחידה, והנקודה C(2 , 0) היא נקודת החיתוך היחידה של הגרף עם ציר ה־x.

גרף הפונקציה g עם הנקודות A, B, C

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה 1g(x).

(2) בכמה נקודות נפגשים הגרף של g(x) והגרף של 1g(x)? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מרובע בר־חסימה

איברי סדרה חשבונית עם הפרש d:
a2 = a1 + d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
a3 = a1 + 2d
a4 = a1 + 3d
סכום הזוויות במרובע הוא 360:📐 משפט: סכום זוויות במרובע360 מעלות
a1 + a2 + a3 + a4 = 360
a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d)
+ (a1 + 3d) = 360
4a1 + 6d = 360
2a1 + 3d = 180
נבדוק את סכום הזוויות הנגדיות A ו־C:
∢A + ∢C = a1 + a4
= a1 + a1 + 3d = 2a1 + 3d
= 180
סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180, ולכן אפשר לחסום את המרובע במעגל.📐 משפט: מרובע בר־חסימהאם סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות – המרובע בר־חסימה
✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢A + ∢C = 180

סעיף ב (1) – מגדל בן 7 קומות

בקומות יש (מלמעלה למטה) 1, 4, 9, 16, … קוביות – ריבועים של מספרים טבעיים. במגדל בן 7 קומות:
12 + 22 + … + 72 = 7 · 8 · 156📐 נוסחה: סכום ריבועים12 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6
= 8406 = 140
✅ פתרון סופי: 140 קוביות

סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות

במגדל בן 10 קומות יש:
12 + … + 102 = 10 · 11 · 216 = 385📐 נוסחה: סכום ריבועים12 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6
במגדל בן 100 קומות יש:
12 + … + 1002 = 100 · 101 · 2016📐 נוסחה: סכום ריבועים12 + … + n2 = n(n + 1)(2n + 1)6
= 338350
צריך להוסיף את ההפרש (הקומות החדשות נבנות מתחת לקיימות):
338350 − 385 = 337965
✅ פתרון סופי: 337965 קוביות

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

cos(x − π) = −cos x📐 נוסחה: זהותcos(x − π) = −cos x
cos(π − x) = −cos x📐 נוסחה: זהותcos(π − x) = −cos x
sin(−x) = −sin x📐 נוסחה: זהותsin(−x) = −sin x
f(x) = [−cos x − cos x]2
+ 4(−sin x)2 − 5
f(x) = (−2cos x)2 + 4sin2x − 5
f(x) = 4cos2x + 4sin2x − 5
f(x) = 4(sin2x + cos2x) − 5📐 נוסחה: זהותsin2x + cos2x = 1
f(x) = 4 · 1 − 5 = −1
הפונקציה קבועה ושווה ל־−1 לכל x, כלומר אף פעם אינה שווה ל־0.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x, כי f(x) = −1 לכל x

סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של 1/g(x)

צריך ש־g(x) תהיה מוגדרת, וגם שהמכנה לא יתאפס:📐 נוסחה: שבר מוגדרהמכנה שונה מ־0
x ≠ −1 , x ≠ 1
g(x) = 0 רק בנקודה C(2 , 0), ולכן:
x ≠ 2
✅ פתרון סופי: x ≠ −1 , x ≠ 1 , x ≠ 2

סעיף ד (2) – נקודות המפגש

g(x) = 1g(x)
g2(x) = 1
g(x) = 1 או g(x) = −1
מקרה 1: g(x) = 1.
בענף האמצעי (−1 < x < 1) המינימום היחיד הוא A(0.3 , 1), ושם הגרף נוגע בגובה 1 פעם אחת בלבד – בנקודה A.
בענף הימני (x > 1) הגרף עולה מ־−∞ עד המקסימום B(3 , 1) ואז יורד לעבר y = 0, ולכן הוא מגיע לגובה 1 רק בנקודה B.
בענף השמאלי (x < −1) הגרף כולו מתחת לציר ה־x. סך הכול 2 נקודות.
מקרה 2: g(x) = −1.
בענף השמאלי הגרף יורד מ־0 (אסימפטוטה y = 0) עד −∞ (ליד x = −1), ולכן עובר בגובה −1 פעם אחת.
בענף הימני, בין x = 1 ל־x = 2, הגרף עולה מ־−∞ עד 0, ולכן עובר בגובה −1 פעם אחת. אחרי C הגרף חיובי.
בענף האמצעי g(x) ≥ 1. סך הכול 2 נקודות.
2 + 2 = 4
✅ פתרון סופי: הגרפים נפגשים ב־4 נקודות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אהוכחה
סעיף ב (1)140
סעיף ב (2)337965
סעיף גאין נקודות חיתוך (f(x) = −1)
סעיף ד (1)x ≠ −1 , x ≠ 1 , x ≠ 2
סעיף ד (2)4 נקודות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרה הנדסית: סדרת ההפכיים, סכומים והפיכת סימנים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית A שאיבריה הם a1 , a2 , a3 , … ומנתה היא q. כל איברי הסדרה A שונים מאפס.

א. האם הסדרה 1a1 , 1a2 , 1a3 , … היא סדרה הנדסית? הוכיחו.

ב. (1) מסמנים ב־Sn את סכום n האיברים הראשונים של הסדרה A. הוכיחו כי לכל n מתקיים: Sna1 · an = 1a1 + 1a2 + 1a3 + … + 1an

(2) נתון: q = 3 , a1 = 1. סכום n האיברים הראשונים בסדרה A גדול פי 6561 מן הסכום 1a1 + 1a2 + … + 1an. מצאו את n.

ג. הסדרה B מתקבלת מן הסדרה A על ידי הפיכת הסימנים של האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. איברי הסדרה B הם b1 , b2 , b3 , …. נסמן ב־Tm את סכום m האיברים הראשונים של B, כאשר m מספר טבעי אי־זוגי.

נתונה הנוסחה: Tmb1 · bm = 1a1 − 1a2 + 1a3 − … + 1am. קבעו אם הנוסחה נכונה, והוכיחו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סדרת ההפכיים

נבדוק את המנה בין שני איברים עוקבים בסדרת ההפכיים:
1an + 11an = anan + 1
an + 1 = an · q📐 נוסחה: סדרה הנדסיתan + 1 = an · q
anan · q = 1q
המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן זו סדרה הנדסית שמנתה 1q ואיברה הראשון 1a1.
✅ פתרון סופי: כן – סדרה הנדסית שמנתה 1q

סעיף ב (1) – הוכחה

אם q = 1: כל האיברים שווים ל־a1, ושני האגפים שווים ל־na1.
אם q ≠ 1: אגף שמאל:
Sna1 · an = a1(qn − 1)q − 1a1 · a1qn − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= qn − 1a1 qn − 1(q − 1)📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
אגף ימין – סכום של סדרה הנדסית עם איבר ראשון 1a1 ומנה 1q (מסעיף א):
1a1 + … + 1an = 1a1 · (1qn − 1)1q − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
= 1a1 · 1 − qnqn1 − qq
= 1 − qna1 qn · q1 − q
= 1 − qna1 qn − 1(1 − q) = qn − 1a1 qn − 1(q − 1)
שני האגפים שווים.
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב (2) – מציאת n

Sn = 6561 · (1a1 + … + 1an)
לפי סעיף ב (1):
1a1 + … + 1an = Sna1 · an
Sn = 6561 · Sna1 · an
a1 · an = 6561
an = 1 · 3n − 1 = 3n − 1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
1 · 3n − 1 = 6561 = 38
n − 1 = 8
n = 9
✅ פתרון סופי: n = 9

סעיף ג – הנוסחה לסדרה B

בסדרה B האיברים במקומות האי־זוגיים שווים לאיברי A, ובמקומות הזוגיים הסימן הפוך:
b1 = a1 , b2 = −a1q , b3 = a1q2 , …
bk = a1 · (−q)k − 1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
כלומר B היא סדרה הנדסית שאיבריה שונים מאפס, ומנתה −q. לכן אפשר להפעיל עליה את סעיף ב (1):
Tmb1 · bm = 1b1 + 1b2 + … + 1bm📐 משפט: מסעיף ב (1)Sna1 · an = 1a1 + … + 1an
נציב: b1 = a1, ‏b2 = −a2, ‏b3 = a3, וכן הלאה. m אי־זוגי, ולכן bm = am:
= 1a1 − 1a2 + 1a3 − … + 1am
✅ פתרון סופי: הנוסחה נכונה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אכן – מנה 1q
סעיף ב (1)הוכחה
סעיף ב (2)n = 9
סעיף גהנוסחה נכונה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: מבחן קבלה, הוצאה ללא החזרה והסתברות מותנית

📄 נוסח השאלה

כדי להתקבל ללימודים במכללה מסוימת יש לעבור מבחן קבלה. כל השאלות במבחן הן מתוך מאגר שיש בו n שאלות שונות. לנבחנים יש גישה למאגר והם יכולים להתכונן למבחן באמצעותו. ביום הבחינה, כל נבחן מוציא באקראי מתוך קופסה מלאה בפתקים שלושה פתקים בזה אחר זה, ללא החזרה. בכל פתק כתובה שאלה אחת מתוך המאגר. מספר הפתקים שבקופסה שווה למספר השאלות שבמאגר, ובכל פתק כתובה שאלה אחרת. לאחר שהוציא הנבחן שלושה פתקים וקרא את השאלות, הוא מחזיר את הפתקים לקופסה.

הנבחן יתקבל למכללה אם יענה נכון על שתי שאלות לפחות מתוך שלוש השאלות שבפתקים שהוציא.

נתנאל התכונן למבחן באמצעות מאגר השאלות. הוא ידע לענות נכון רק על 20 שאלות מתוך n השאלות שבמאגר. על שאר השאלות הוא לא ידע לענות נכון.

ידוע כי ההסתברות של נתנאל לענות נכון על שאלה אחת לפחות מבין שתי השאלות שבשני הפתקים הראשונים שהוציא היא 3469.

א. (1) מצאו את n.

(2) מהי ההסתברות שנתנאל יתקבל למכללה?

ב. אם ידוע כי נתנאל התקבל למכללה, מהי ההסתברות שהוא לא ענה נכון על השאלה שבפתק הראשון שהוציא?

רמי התכונן גם הוא למבחן באמצעות מאגר השאלות. הוא ידע לענות נכון על 40 שאלות מתוך n השאלות שבמאגר, ועל השאר לא.

ג. האם ההסתברות שרמי יענה נכון על כל שלוש השאלות שבפתקים שהוציא גדולה פי 2 מן ההסתברות שנתנאל יענה נכון על כל שלוש השאלות שבפתקים שהוציא? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – מציאת n

נסמן: י – שאלה שנתנאל יודע (20 פתקים), ל – שאלה שאינו יודע (n − 20 פתקים).
"לפחות אחת נכונה מבין השתיים הראשונות" – המשלים: שתיהן ל.📐 נוסחה: מאורע משליםP(A) = 1 − P(לא A)
P(ל ,ל) = n − 20n · n − 21n − 1📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1
1 − (n − 20)(n − 21)n(n − 1) = 3469
(n − 20)(n − 21)n(n − 1) = 3569
69(n − 20)(n − 21) = 35n(n − 1)
69(n2 − 41n + 420) = 35n2 − 35n
69n2 − 2829n + 28980 = 35n2 − 35n
34n2 − 2794n + 28980 = 0
17n2 − 1397n + 14490 = 0
n1,2 = 1397 ± √(13972 − 4 · 17 · 14490)2 · 17📐 נוסחה: נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
= 1397 ± 98334
n1 = 238034 = 70 , n2 = 41434 ≈ 12.18
n טבעי וגדול מ־20, ולכן:
n = 70
✅ פתרון סופי: n = 70

סעיף א (2) – ההסתברות להתקבל

עכשיו בקופסה 70 פתקים: 20 י ו־50 ל. מתקבלים אם עונים נכון על 2 או על 3 שאלות.
בדיוק 2 נכונות – הפתק ל יכול להיות ראשון, שני או שלישי (3 ענפים עם אותה הסתברות):
P(בדיוק 2) = 3 · 20 · 19 · 5070 · 69 · 68📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1
= 57000328440
3 נכונות:
P(3) = 20 · 19 · 1870 · 69 · 68 = 6840328440
P(מתקבל) = 57000 + 6840328440
= 63840328440 = 76391 ≈ 0.194
✅ פתרון סופי: 76391 ≈ 0.194

סעיף ב – הסתברות מותנית

נתנאל התקבל ולא ענה על הפתק הראשון – כלומר הראשון ל, ושני האחרים י:
P(ל ראשון ∩ מתקבל) = 50 · 20 · 1970 · 69 · 68📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1
= 19000328440
P(ל ראשון | מתקבל) = 1900032844063840328440📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 1900063840 = 2584 ≈ 0.298
✅ פתרון סופי: 2584 ≈ 0.298

סעיף ג – השוואה בין רמי לנתנאל

P(נתנאל – 3 נכונות) = 20 · 19 · 1870 · 69 · 68📐 נוסחה: הוצאה ללא החזרהמכפילים את ההסתברויות לאורך הענף, ובכל שלב מקטינים את מספר הפתקים ב־1
= 6840328440
P(רמי – 3 נכונות) = 40 · 39 · 3870 · 69 · 68
= 59280328440
592806840 = 263 ≈ 8.67
ההסתברות של רמי גדולה בערך פי 8.67, ולא פי 2.
✅ פתרון סופי: לא – היא גדולה פי 263 ≈ 8.67

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)n = 70
סעיף א (2)76391
סעיף ב2584
סעיף גלא (פי 263)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – עץ, נעלמים והסתברות מותנית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: משולש שווה־שוקיים, דלתון ומרובע בר־חסימה

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניכם מתואר משולש שווה־שוקיים ABC, ‏BA = BC. מנקודה D הנמצאת על השוק BC הורידו אנך לבסיס, והוא חותך אותו בנקודה K. מנקודה E הנמצאת על השוק BA הורידו אנך לבסיס, והוא חותך אותו בנקודה L. נתון: AL = LK = KC.

סרטוט שאלה 4: המשולש ABC והאנכים DK ו־EL

א. חשבו את BDDC.

הקטעים DL ו־EK נפגשים בנקודה G.

ב. הוכיחו כי המרובע BDGE הוא דלתון.

נתון: AC = 45. היקף המרובע EDKL הוא 54.

ג. חשבו את אורך הקטע BG.

ד. האם קיימת נקודה F שנמצאת על הישר BG שעבורה המרובע BDFE הוא בר־חסימה במעגל? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – היחס BD:DC

נוריד גובה BM לבסיס. במשולש שווה־שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן M אמצע AC.📐 משפט: משולש שווה־שוקייםהגובה לבסיס הוא גם תיכון
נסמן KC = t. אז AC = 3t, ולכן:
MC = 3t2 = 1.5t
DK ⊥ AC ו־BM ⊥ AC, ולכן המשולשים DKC ו־BMC דומים (זווית C משותפת, ושתי זוויות ישרות):📐 משפט: דמיון משולשיםמשפט דמיון ז.ז.
DCBC = KCMC = t1.5t = 23📐 משפט: משולשים דומיםיחס הצלעות המתאימות שווה
אם DC = 2s אז BC = 3s, ולכן BD = s:
BDDC = s2s = 12
✅ פתרון סופי: BDDC = 12

סעיף ב – BDGE דלתון

במשולשים AEL ו־CDK:
AL = KC (נתון), ∢A = ∢C (זוויות בסיס במשולש שווה־שוקיים), ∢ELA = ∢DKC = 90.
לכן המשולשים חופפים, ומכאן EL = DK ו־AE = CD.📐 משפט: חפיפת משולשיםמשפט חפיפה ז.צ.ז.
BE = BA − AE = BC − CD = BD
במשולשים ELK ו־DKL: EL = DK, ∢ELK = ∢DKL = 90, והצלע LK משותפת – המשולשים חופפים.📐 משפט: חפיפת משולשיםמשפט חפיפה צ.ז.צ.
∢GKL = ∢GLK
במשולש GLK שתי זוויות שוות, ולכן הוא שווה־שוקיים: GL = GK.📐 משפט: משולש שווה־שוקייםמול זוויות שוות – צלעות שוות
מהחפיפה גם EK = DL, ולכן:
GE = EK − GK = DL − GL = GD
במרובע BDGE יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות: BE = BD ו־GE = GD.📐 הגדרה: דלתוןמרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחה – BDGE דלתון

סעיף ג – אורך BG

AL = LK = KC = 453 = 15
EL ו־DK שניהם מאונכים ל־AC ושווים (סעיף ב), ולכן EDKL מלבן:📐 משפט: מלבןמרובע עם זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות וזווית ישרה
ED = LK = 15
ED + DK + KL + LE = 54
15 + DK + 15 + DK = 54
2DK = 24
DK = 12
מהדמיון בסעיף א:
DKBM = KCMC = 23📐 משפט: משולשים דומיםיחס הצלעות המתאימות שווה
12BM = 23 ⟸ BM = 18
GL = GK ו־M אמצע LK, ולכן G נמצאת על האנך האמצעי BM.
במשולש LDK: M אמצע LK ו־GM ∥ DK, ולכן GM קטע אמצעים:📐 משפט: קטע אמצעים במשולששווה למחצית הצלע השלישית
GM = DK2 = 122 = 6
BG = BM − GM = 18 − 6 = 12
בסרטוט (בקנה מידה): הדלתון BDGE בתכלת, הקטעים DL ו־EK בסגול, והגובה BM בירוק מקווקו:
ABCLKDEGM
✅ פתרון סופי: BG = 12

סעיף ד – נקודה F

נעביר מ־E אנך לשוק BA, ונסמן ב־F את נקודת החיתוך שלו עם הישר BG (האנך אינו מקביל ל־BG, ולכן נקודת החיתוך קיימת).
BG חוצה את זווית B (הגובה לבסיס במשולש שווה־שוקיים הוא גם חוצה זווית).📐 משפט: משולש שווה־שוקייםהגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש
במשולשים BEF ו־BDF: BE = BD (סעיף ב), ∢EBF = ∢DBF, ו־BF משותפת – המשולשים חופפים.📐 משפט: חפיפת משולשיםמשפט חפיפה צ.ז.צ.
∢BDF = ∢BEF = 90
∢BEF + ∢BDF = 90 + 90 = 180
סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180, ולכן המרובע BDFE בר־חסימה (וקוטר המעגל הוא BF).📐 משפט: מרובע בר־חסימהסכום זוג זוויות נגדיות 180 מעלות
בסרטוט (בקנה מידה): המרובע BDFE בתכלת והמעגל החוסם אותו בירוק:
ABCDEF
✅ פתרון סופי: כן – F היא נקודת החיתוך של האנך ל־BA בנקודה E עם הישר BG

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א12
סעיף בהוכחה
סעיף גBG = 12
סעיף דכן, קיימת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטריה: משפט הסינוסים, שטח משולש ויחס שטחים

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניכם מתואר משולש שווה־שוקיים ABC, ‏AB = AC, שחסום במעגל שרדיוסו R. האריכו את הבסיס BC עד לנקודה D והעבירו ישר מהנקודה D לנקודה A.

נתון: ∢BAC = 2x , ∢CAD = x. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה ב־x.)

סרטוט שאלה 5: המשולש ABC במעגל והנקודה D

א. הוכיחו כי רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABD שווה לרדיוס המעגל החוסם את המשולש ACD.

ב. הביעו את שטח המשולש ACD באמצעות R ו־x.

נסמן ב־m את היחס בין שטח המשולש ACD לבין שטח המשולש ABC.

ג. (1) האם ייתכן כי m = 0.5? נמקו.

(2) נתון כי m = 0.6. מצאו את גודלי הזוויות של המשולש ABC.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – רדיוסים שווים

נסמן ב־R1 את רדיוס המעגל החוסם את ABD, וב־R2 את רדיוס המעגל החוסם את ACD.
במשולש ABD, הצלע AD מול הזווית ABD:
ADsin∢ABC = 2R1📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
במשולש ACD, הצלע AD מול הזווית ACD:
ADsin∢ACD = 2R2📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
הזווית ACD צמודה לזווית ACB, ו־∢ACB = ∢ABC (זוויות בסיס):
sin∢ACD = sin(180 − ∢ACB)📐 נוסחה: זהותsin(180 − a) = sin a
= sin∢ACB = sin∢ABC
לכן שני הביטויים שווים:
2R1 = ADsin∢ABC = ADsin∢ACD = 2R2
R1 = R2
✅ פתרון סופי: הוכחה – R1 = R2

סעיף ב – שטח המשולש ACD

∢ABC = ∢ACB = 180 − 2x2 = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
במשולש ABC (חסום במעגל שרדיוסו R):
ACsin(90 − x) = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
AC = 2R · sin(90 − x) = 2R cos x📐 נוסחה: זהותsin(90 − a) = cos a
במשולש ACD:
∢ACD = 180 − (90 − x) = 90 + x
∢ADC = 180 − x − (90 + x)📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
= 90 − 2x
ADsin(90 + x) = ACsin(90 − 2x)📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
AD = 2R cos x · cos xcos 2x = 2R cos2xcos 2x📐 נוסחה: זהויותsin(90 + a) = cos a , sin(90 − a) = cos a
SACD = 12 · AC · AD · sin x📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
= 12 · 2R cos x · 2R cos2xcos 2x · sin x
= R2cos2x · 2sin x cos xcos 2x
= R2cos2x · sin 2xcos 2x📐 נוסחה: זווית כפולהsin 2a = 2sin a cos a
= R2cos2x · tan 2x
✅ פתרון סופי: SACD = R2cos2x · tan 2x

סעיף ג (1) – האם m = 0.5?

AB = AC = 2R cos x
SABC = 12 · AB · AC · sin 2x📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C
= 12 · (2R cos x)2 · sin 2x
= 2R2cos2x · sin 2x
m = R2cos2x · tan 2x2R2cos2x · sin 2x
= sin 2x2 sin 2x · cos 2x
= 12cos 2x
12cos 2x = 0.5
cos 2x = 1
אבל 2x היא זווית במשולש, כלומר 0 < 2x < 180, ולכן cos 2x < 1. אין פתרון.
✅ פתרון סופי: לא ייתכן

סעיף ג (2) – הזוויות כאשר m = 0.6

12cos 2x = 0.6
cos 2x = 11.2 = 56
2x ≈ 33.56
זו זווית הראש BAC. זוויות הבסיס:
∢ABC = ∢ACB = 180 − 33.562 ≈ 73.22📐 משפט: סכום זוויות במשולש180 מעלות
בדיקה: ∢ADC = 90 − 2x ≈ 56.44 > 0 – מתאים. בסרטוט (בקנה מידה, m = 0.6): המעגל בירוק והמשולש ACD בתכלת:
ABCDO
✅ פתרון סופי: ∢A ≈ 33.56 , ∢B = ∢C ≈ 73.22 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אהוכחה
סעיף בR2cos2x · tan 2x
סעיף ג (1)לא ייתכן
סעיף ג (2)33.56 , 73.22 , 73.22
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירה מגרף הנגזרת: עלייה, קעירות, סקיצה ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה פונקציה f(x) המוגדרת בתחום x < b , b < x < c , c < x וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x).

לפונקציית הנגזרת f′(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד ושלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים: x = c , x = b , y = 0. שיעור ה־x של נקודת הקיצון של f′(x) הוא a. ‏a, ‏b ו־c הם פרמטרים.

גרף פונקציית הנגזרת f′(x)

א. הביעו את תשובותיכם באמצעות a, ‏b ו־c, אם יש צורך.

(1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה (∪) ואת תחומי הקעירות כלפי מטה (∩) של הפונקציה f(x).

נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר בנקודה (a , 0).

ב. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x).

נתון גם כי f(x) = 18 − 36x(x2 − x − 6)2.

ג. מצאו את a, ‏b ו־c.

ד. (1) הראו כי בתחום b < x < c מתקיים: f′(x) · [f(x)]2 ≤ 0.

(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f′(x) · [f(x)]2, על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 0 ו־x = 2a.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – עלייה וירידה

קוראים מהגרף את הסימן של f′:📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – f עולה ; f′ < 0 – f יורדת
• x < b: הגרף של f′ מעל ציר ה־x – f′ > 0.
• b < x < c: הגרף מתחת לציר – f′ < 0.
• x > c: הגרף מעל הציר – f′ > 0.
✅ פתרון סופי: עולה: x < b , x > c ; יורדת: b < x < c

סעיף א (2) – קעירות

קוראים מהגרף מתי f′ עולה ומתי היא יורדת:📐 משפט: קעירותf′ עולה – f קעורה כלפי מעלה ; f′ יורדת – f קעורה כלפי מטה
• x < b: f′ עולה (שואפת ל־∞ ליד b).
• b < x < a: f′ עולה מ־−∞ עד נקודת הקיצון שלה.
• a < x < c: f′ יורדת מנקודת הקיצון ל־−∞.
• x > c: f′ יורדת מ־∞ לעבר 0.
✅ פתרון סופי: ∪: x < b , b < x < a ; ∩: a < x < c , x > c

סעיף ב – סקיצה

מה שאנחנו יודעים על f:
• x = b ו־x = c מחוץ לתחום – הגרף מתקרב אליהם (בגרף שלמטה, מסעיף ג, אלה אסימפטוטות אנכיות).
• עולה וקעורה כלפי מעלה משמאל ל־b.
• יורדת בין b ל־c, ועוברת ב־(a , 0) – שם הקעירות מתחלפת, כלומר (a , 0) נקודת פיתול.
• עולה וקעורה כלפי מטה מימין ל־c.
סקיצה אפשרית (זה בדיוק הגרף של הפונקציה מסעיף ג, בקנה מידה, בכחול; b = −2, a = 0.5, c = 3):
xy−23(0.5 , 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט

סעיף ג – מציאת a, b, c

b ו־c הם הנקודות שבהן המכנה מתאפס:
x2 − x − 6 = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
x = −2 , x = 3
מהסרטוט b < c, ולכן:
b = −2 , c = 3
f(a) = 0 (הגרף עובר ב־(a , 0)):
18 − 36a = 0
a = 0.5
✅ פתרון סופי: a = 0.5 , b = −2 , c = 3

סעיף ד (1) – הסימן של f′(x)·f²(x)

בתחום b < x < c הנגזרת שלילית (סעיף א):
f′(x) < 0
ריבוע של מספר אינו שלילי:
[f(x)]2 ≥ 0
מכפלה של מספר שלילי במספר לא שלילי:
f′(x) · [f(x)]2 ≤ 0
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ד (2) – השטח

הקטע 0 ≤ x ≤ 2a = 1 נמצא בתוך −2 < x < 3, ולכן שם הפונקציה אינה חיובית והשטח הוא מינוס האינטגרל:
S = −∫01 f′(x) · [f(x)]2 dx📐 נוסחה: שטח מתחת לצירS = −∫ab g(x) dx
∫ f′(x) · [f(x)]2 dx = [f(x)]33 + C📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה מורכבת∫ f′(x) · [f(x)]n dx = [f(x)]n + 1n + 1 + C
f(1) = 18 − 36(1 − 1 − 6)2 = −1836 = −0.5
f(0) = 18(−6)2 = 1836 = 0.5
S = −[(−0.5)33 − 0.533]
S = −[−0.1253 − 0.1253]
= −(−0.253) = 112
בסרטוט (בקנה מידה): הגרף של f′(x) · [f(x)]2 בסגול והשטח בתכלת:
xy−112−0.25
✅ פתרון סופי: S = 112

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)עולה: x < b , x > c
יורדת: b < x < c
סעיף א (2)∪: x < b , b < x < a
∩: a < x < c , x > c
סעיף בסקיצה
סעיף גa = 0.5 , b = −2 , c = 3
סעיף ד (1)הוכחה
סעיף ד (2)112
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 75 – מציאת פיתול בהינתן גרף הנגזרת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציות טריגונומטריות: tan x + 1/x ו־cos x / x

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = tan(x) + 1x. ענו על הסעיפים א–ב בעבור התחום 0 ≤ x ≤ 3π2.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־x.

גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בתחום הנתון בנקודה אחת בלבד ששיעוריה (2.798 , 0) בקירוב.

ב. מצאו את תחומי החיוביות ואת תחומי השליליות של הפונקציה f(x).

נתונה גם הפונקציה g(x) = cos(x)x, המוגדרת לכל x ≠ 0.

ג. האם הפונקציה g(x) היא זוגית, אי־זוגית, או לא זוגית ולא אי־זוגית? הוכיחו.

ד. (1) הראו כי בתחום 0 ≤ x ≤ 3π2 שיעור ה־x של אחת מנקודות הקיצון של g(x) שווה לשיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x, וקבעו את סוג נקודת הקיצון הזאת.

(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) בתחום −3π2 ≤ x ≤ 3π2.

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

1x מוגדר כש־x ≠ 0.
tan x = sin xcos x מוגדר כש־cos x ≠ 0:📐 נוסחה: הגדרת tantan x = sin xcos x , cos x ≠ 0
cos x = 0 ⟸ x = π2 + πk
בתחום 0 ≤ x ≤ 3π2 אלה הנקודות x = π2 ו־x = 3π2.
✅ פתרון סופי: 0 < x < 3π2 , x ≠ π2

סעיף א (2) – אסימפטוטות אנכיות

ליד x = 0 (מימין): 1x → ∞ ו־tan x → 0, ולכן f → ∞.
ליד x = π2 ו־x = 3π2: cos x → 0 ו־tan x → ±∞, ואילו 1x סופי.
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = π2 , x = 3π2

סעיף ב – חיוביות ושליליות

הפונקציה רציפה בכל קטע של תחום ההגדרה, ומתאפסת רק ב־x ≈ 2.798. לכן הסימן קבוע בכל אחד מהקטעים, ונבדוק נקודה אחת בכל קטע:
0 < x < π2 : f(π4) = 1 + 4π > 0
π2 < x < 2.798 :
f(2) = tan 2 + 0.5 ≈ −1.685 < 0
2.798 < x < 3π2 : f(π) = 0 + 1π > 0
✅ פתרון סופי: חיובית: 0 < x < π2 , 2.798 < x < 3π2 ; שלילית: π2 < x < 2.798

סעיף ג – זוגיות

g(−x) = cos(−x)−x📐 נוסחה: זוגיות של coscos(−x) = cos x
= cos x−x = −cos xx = −g(x)
גם תחום ההגדרה (x ≠ 0) סימטרי סביב 0.📐 הגדרה: פונקציה אי־זוגיתg(−x) = −g(x)
✅ פתרון סופי: אי־זוגית

סעיף ד (1) – נקודת הקיצון של g

g′(x) = −sin x · x − cos x · 1x2📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= −x sin x + cos xx2
g′(x) = 0 ⟸ x sin x + cos x = 0
אם cos x = 0 אז x sin x = ±x ≠ 0, כלומר אין פתרון כזה. לכן מותר לחלק ב־x cos x:
x sin xx cos x + cos xx cos x = 0
tan x + 1x = 0📐 נוסחה: הגדרת tantan x = sin xcos x
f(x) = 0 ⟸ x ≈ 2.798
כלומר שיעור ה־x של נקודת הקיצון של g הוא שיעור ה־x של נקודת החיתוך של f עם ציר ה־x.
סוג הנקודה – לפי הסימן של g′. כש־cos x ≠ 0:
x sin x + cos x = x cos x · f(x)
g′(x) = −x cos x · f(x)x2
= −cos x · f(x)x
ליד x ≈ 2.798: cos x < 0 ו־x > 0, ולכן הסימן של g′ שווה לסימן של f:
• משמאל ל־2.798: f < 0 (סעיף ב), ולכן g′ < 0 – יורדת.
• מימין ל־2.798: f > 0, ולכן g′ > 0 – עולה.
ירידה ואז עלייה – מינימום.
g(2.798) = cos 2.7982.798 ≈ −0.94162.798
≈ −0.337
✅ פתרון סופי: מינימום בנקודה (2.798 , −0.337)

סעיף ד (2) – סקיצה של g

בתחום 0 < x ≤ 3π2: ‏x = 0 אסימפטוטה אנכית (g → ∞ מימין), חיתוך עם ציר ה־x ב־π2 וב־3π2 (שם cos x = 0), ומינימום ב־(2.798 , −0.337).
g אי־זוגית (סעיף ג), ולכן הגרף סימטרי סביב ראשית הצירים: בצד השלילי יש מקסימום (−2.798 , 0.337), ו־g → −∞ כש־x → 0 משמאל.
הגרף בקנה מידה (כחול):
xy1−1min (2.798 , −0.337)max (−2.798 , 0.337)π/2−π/23π/2−3π/2
✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף א (1)0 < x < 3π2 , x ≠ π2
סעיף א (2)x = 0 , x = π2 , x = 3π2
סעיף בחיובית: 0 < x < π2 , 2.798 < x < 3π2
שלילית: π2 < x < 2.798
סעיף גאי־זוגית
סעיף ד (1)מינימום (2.798 , −0.337)
סעיף ד (2)סקיצה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 22 – הגדרת פונקציה זוגית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: חוט, משולש שווה־צלעות ומעגל

📄 נוסח השאלה

חותכים חוט שאורכו k לשני חלקים. מחלק אחד של החוט יוצרים משולש שווה־צלעות, ומן החלק האחר יוצרים מעגל. נסמן ב־x את אורך צלע המשולש.

א. הביעו באמצעות k את תחום ההגדרה של x.

ב. הביעו באמצעות k את אורך צלע המשולש שעבורו סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי.

ג. הראו כי כאשר סכום השטחים של שתי הצורות מינימלי, אי אפשר לחסום את המשולש שהתקבל במעגל שהתקבל.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום ההגדרה

היקף המשולש 3x, ולמעגל נשאר k − 3x. שני החלקים חיוביים:
3x > 0 , k − 3x > 0
0 < x < k3
✅ פתרון סופי: 0 < x < k3

סעיף ב – סכום שטחים מינימלי

Sמשולש = √34x2📐 נוסחה: שטח משולש שווה־צלעותS = √34a2
רדיוס המעגל:
2πr = k − 3x ⟸ r = k − 3x2π📐 נוסחה: היקף מעגלP = 2πr
Sמעגל = π · (k − 3x2π)2 = (k − 3x)24π📐 נוסחה: שטח מעגלS = πr2
S(x) = √34x2 + (k − 3x)24π
S′(x) = √32x + 2(k − 3x) · (−3)4π📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת[(ax + b)2]′ = 2a(ax + b)
= √32x − 3(k − 3x)2π
S′(x) = 0
√32x = 3(k − 3x)2π
√3 π x = 3k − 9x
x(9 + √3 π) = 3k
x = 3k9 + √3 π ≈ 0.2077k
בדיקת סוג: S′ פונקציה קווית עולה (המקדם של x הוא √32 + 92π > 0), כלומר S′ < 0 משמאל לנקודה ו־S′ > 0 מימינה – ירידה ואז עלייה, מינימום.
✅ פתרון סופי: x = 3k9 + √3 π ≈ 0.207k

סעיף ג – אי אפשר לחסום את המשולש במעגל

כאשר x = 3k9 + √3 π:
k − 3x = k − 9k9 + √3 π = √3 π k9 + √3 π
r = k − 3x2π = √3 k2(9 + √3 π)📐 נוסחה: היקף מעגלP = 2πr
רדיוס המעגל החוסם משולש שווה־צלעות שצלעו x:
R = x√3 = 3k√3(9 + √3 π) = √3 k9 + √3 π📐 משפט: משפט הסינוסיםasin 60 = 2R ⟸ R = a√3
Rr = √3 k9 + √3 π√3 k2(9 + √3 π) = 2
רדיוס המעגל שהתקבל הוא רק חצי מרדיוס המעגל שחוסם את המשולש, ולכן אי אפשר לחסום את המשולש במעגל שהתקבל. (למעשה r = x2√3 – זה בדיוק רדיוס המעגל החסום בתוך המשולש.)
בסרטוט (בקנה מידה): המשולש בכחול, המעגל שהתקבל בסגול (חסום בתוך המשולש), והמעגל שחוסם את המשולש בירוק – פי 2 ממנו:
✅ פתרון סופי: הוכחה – R = 2r, ולכן אי אפשר

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף א0 < x < k3
סעיף ב3k9 + √3 π ≈ 0.207k
סעיף גהוכחה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות