בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2023 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – גאומטרייה במרחב וסטטיסטיקה (שאלות 1–2), ופרק שני – גדילה ודעיכה וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות (שאלות 3–5). עונים על 3 שאלות, לפחות שאלה אחת מכל פרק, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה במועד זה: שעה ו־45 דקות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד ב'

שאלון 472 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 472 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – תיבה במערכת צירים ומקבילית

📄 נוסח השאלהתיבה במערכת צירים – שאלה 1

תיבה ממוקמת במערכת צירים כך שהקודקוד D נמצא בראשית הצירים. הקודקודים A , C , D′ נמצאים על החלקים החיוביים של ציר ה־x, של ציר ה־y ושל ציר ה־z בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: AD = 2 , DC = 5, נפח התיבה הוא 80.

א. (1) מצאו את שיעורי הקודקוד D′. (2) כתבו את השיעורים של הקודקודים A , B , C , C′.

נתון: הנקודה E נמצאת על המקצוע CC′ ומקיימת CE = 34CC′. הנקודה F היא אמצע המקצוע DD′. הנקודה K היא נקודת החיתוך של אלכסוני הפאה BB′C′C. הנקודה M נמצאת על הפאה AA′D′D ומקיימת: המרובע FEKM הוא מקבילית.

ב. מצאו את שיעורי הנקודות E , F , K.

ג. (1) חשבו את גודל הזווית FEK. (2) חשבו את שטח המקבילית FEKM.

ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה M. (2) הסבירו מדוע הנקודות A , M , F נמצאות על אותו ישר. (3) חשבו פי כמה שטח המקבילית FEKM גדול משטח המשולש AMK.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שיעורי הקודקודים

(1) הגובה של התיבה הוא DD′. מנפח התיבה:
V = AD · DC · DD′ 80 = 2 · 5 · DD′📐 נפח תיבהV = a · b · c
DD′ = 8010 = 8
D′ על ציר ה־z בגובה 8:
D′(0 , 0 , 8)
(2) A על ציר ה־x במרחק 2, C על ציר ה־y במרחק 5; B – הקודקוד הרביעי של הבסיס, ו־C′ נמצא 8 יחידות מעל C:
A(2 , 0 , 0) B(2 , 5 , 0)
C(0 , 5 , 0) C′(0 , 5 , 8)
✅ פתרון סופי: (1) D′(0 , 0 , 8)
(2) A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)

סעיף ב – שיעורי E , F , K

CC′ = (0 , 0 , 8) E = C + 34CC′ = (0 , 5 , 0) + (0 , 0 , 6)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
E(0 , 5 , 6)
F = (0 + 02 , 0 + 02 , 0 + 82)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
F(0 , 0 , 4)
האלכסונים במלבן חוצים זה את זה, ולכן K הוא אמצע האלכסון BC′:
K = (2 + 02 , 5 + 52 , 0 + 82)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22 , z1 + z22)
K(1 , 5 , 4)
✅ פתרון סופי: E(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)

סעיף ג – הזווית FEK ושטח המקבילית

ABCDA′B′C′D′EFKM
התיבה לפי קנה מידה (2 על 5 על 8). המקבילית FEKM בתכלת, והזווית FEK מסומנת.
(1) הזווית FEK היא הזווית בין הווקטורים EF ו־EK:
EF = F − E = (0 , −5 , −2)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
EK = K − E = (1 , 0 , −2)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
EF·EK = 0 · 1 + (−5) · 0 + (−2)(−2) = 4📐 מכפלה סקלרית (רכיבים)(x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)= x1x2 + y1y2 + z1z2
|EF| = √(0 + 25 + 4) = √29 |EK| = √(1 + 0 + 4) = √5📐 אורך וקטור|(x,y,z)| = √(x2 + y2 + z2)
cos∢FEK = 4√29 · √5 = 4√145 ≈ 0.3322📐 זווית בין וקטוריםcos(הזווית) = a·b|a|·|b|
∢FEK ≈ 70.6 מעלות
(2) שטח מקבילית = מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית ביניהן:
sin∢FEK = √(1 − 16145) = √129145
S = √29 · √5 · √129145 = √145 · √129√145 = √129 ≈ 11.36📐 שטח מקביליתS = a · b · sin(הזווית בין הצלעות)
✅ פתרון סופי: (1) ∢FEK ≈ 70.6 מעלות
(2) S = √129 ≈ 11.36

סעיף ד – הנקודה M, ישר אחד, ויחס שטחים

(1) במקבילית FEKM הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות: FM = EK.
M = F + EK = (0 , 0 , 4) + (1 , 0 , −2) = (1 , 0 , 2)📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY = XZ + ZY
בדיקה: y = 0 – הנקודה על הפאה AA′D′D ✓
(2)
AM = M − A = (−1 , 0 , 2) AF = F − A = (−2 , 0 , 4)📐 וקטור בין שתי נקודותPQ = Q − P
AF = 2 · AM📐 וקטורים מקביליםa = t · b ⟸ a ∥ b
שני הווקטורים מקבילים ויוצאים מאותה נקודה A – לכן A , M , F על ישר אחד, ו־M היא אמצע AF.
ABCDA′B′C′D′EFKM
הישר AF (סגול) עובר דרך M. המשולש AMK והמשולש FMK (ירוק) – אותו בסיס MK.
(3) האלכסון MK מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים, ולכן:
SFMK = 12 · SFEKM
למשולשים AMK ו־FMK יש אותו בסיס MK. M היא אמצע AF, ולכן A ו־F נמצאות באותו מרחק מהישר MK – הגבהים שווים:
SAMK = SFMK = 12 · SFEKM📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
SFEKMSAMK = 2
✅ פתרון סופי: (1) M(1 , 0 , 2)
(2) AF = 2AM ⟸ על ישר אחד
(3) פי 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אD′(0 , 0 , 8)
A(2 , 0 , 0) , B(2 , 5 , 0) , C(0 , 5 , 0) , C′(0 , 5 , 8)
סעיף בE(0 , 5 , 6) , F(0 , 0 , 4) , K(1 , 5 , 4)
סעיף ג70.6 מעלות
√129 ≈ 11.36
סעיף דM(1 , 0 , 2)
הסבר
פי 2
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – רגרסיה (היעדרויות וציונים)

📄 נוסח השאלה

מרצה באוניברסיטה רצתה לבדוק אם היעדרות משיעורים בקורס שנתי (המשתנה x) קשורה לינארית לציון במבחן הסופי (המשתנה y).

נתון: ממוצע ההיעדרות מן השיעורים היה x = 10, הציון הממוצע היה y = 70, ומקדם המתאם היה שלילי (r < 0). המרצה מצאה את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y מ־x.

א. אחת מן המשוואות 1–4 שלפניכם היא המשוואה שמצאה המרצה. קבעו איזו מהן היא המשוואה, ונמקו את קביעתכם.
1. y = 10x − 30
2. y = x + 60
3. y = −2x + 70
4. y = −2x + 90

המרצה חישבה את סטיות התקן בעבור ההיעדרות מן השיעורים ובעבור הציונים במבחן הסופי, וקיבלה: Sx = 4 , Sy = 10.

ב. חשבו את מקדם המתאם r.

ג. מהו מספר ההיעדרויות שישר הרגרסיה מנבא בעבורו ציון 80?

דוד, מרצה אחר, רצה לערוך את אותה בדיקה בנוגע לתלמידיו. הוא מצא את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y מ־x, וגילה כי בעבור כל מספר של היעדרויות – הישר מנבא תמיד את הציון 65.

ד. מצאו את ערכו של כל אחד מן המדדים בעבור התלמידים של דוד: (1) שיפוע ישר הרגרסיה. (2) הציון הממוצע (y).

ה. על פי הנתונים שבשאלה, האם אפשר למצוא את הממוצע של היעדרויות התלמידים של דוד? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזו משוואה

שני תנאים: (1) r < 0 ⟸ השיפוע שלילי; (2) הישר עובר דרך נקודת הממוצעים (10 , 70).
השיפוע שלילי רק במשוואות 3 ו־4 (במשוואות 1 ו־2 השיפוע חיובי).📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SySx
משוואה 3 – מציבים x = 10:
y = −2 · 10 + 70 = 50 ≠ 70📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)
משוואה 4 – מציבים x = 10:
y = −2 · 10 + 90 = 70 ✓
✅ פתרון סופי: משוואה 4 : y = −2x + 90

סעיף ב – מקדם המתאם

−2 = r · 104📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SySx
−2 = 2.5r r = −22.5 = −0.8
✅ פתרון סופי: r = −0.8

סעיף ג – כמה היעדרויות מנבאות ציון 80

80 = −2x + 90 2x = 10 x = 5
xy51020657080(10 , 70)(5 , 80)
ישר הרגרסיה של המרצה (כחול) עובר דרך (10 , 70) ו־(5 , 80). הישר של דוד (סגול) – אופקי, y = 65.
✅ פתרון סופי: 5 היעדרויות

סעיף ד – ישר הרגרסיה של דוד

(1) הישר מנבא תמיד 65 ⟸ זה ישר אופקי y = 65, והשיפוע שלו 0.
b = 0
(2) ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים, כלומר בעבור x = x הניבוי הוא y. אבל הניבוי תמיד 65:
y = 65📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)
✅ פתרון סופי: (1) 0
(2) y = 65

סעיף ה – האם אפשר למצוא את ממוצע ההיעדרויות

ידוע רק שנקודת הממוצעים (x , 65) נמצאת על הישר y = 65. כל נקודה על הישר האופקי הזה מקיימת זאת – בלי קשר לערך של x.
לכן הנתונים לא קובעים את x.📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)
✅ פתרון סופי: לא – כל ערך של x מתאים לישר y = 65

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אמשוואה 4: y = −2x + 90
סעיף בr = −0.8
סעיף ג5 היעדרויות
סעיף ד0
65
סעיף הלא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – מציאת המקדם בהינתן קו הרגרסיה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה (ריבית על הלוואה)

📄 נוסח השאלה

אחד הבנקים מלווה כסף לגופים מסחריים בריבית קבועה.

א. הנהלת הבנק קבעה ריבית של 1.45% לשנה.
(1) חברת "היי־טק" לוותה 1,000,000 שקלים לשנתיים. מהו גובה הסכום שהיה על החברה להחזיר לבנק בתום השנתיים?
(2) חברת "התעשייה" לוותה 1,000,000 שקלים ל־3 חודשים. מהו גובה הסכום שהיה עליה להחזיר לבנק בתום 3 החודשים?
(3) חברת "הבנייה" לוותה 2,000,000 שקלים, והחזירה לבנק בתום תקופת ההלוואה סכום של 2,103,353.05 שקלים. מה היה משך תקופת ההלוואה?

הנהלת הבנק התחלפה, ואז הציע הבנק ללקוחותיו המסחריים שני מסלולי הלוואה חדשים לשנתיים:
מסלול 1 – מסלול בריבית משתנה: 1% ריבית לשנה הראשונה, ו־2.2% ריבית לשנה השנייה.
מסלול 2 – מסלול בריבית שנתית קבועה לשנתיים.

ב. חברה לווה סכום מסוים. מה צריכה להיות הריבית השנתית במסלול 2, כדי שבתום השנתיים יקבל הבנק מן החברה את אותו סכום החזר בשני המסלולים? פרטו את חישוביכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – ריבית של 1.45% לשנה

q = 1 + 1.45100 = 1.0145📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
(1) שנתיים: t = 2.
M(2) = 1,000,000 · 1.01452📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
= 1,000,000 · 1.02921025 = 1,029,210.25
(2) הריבית שנתית, ולכן הזמן נמדד בשנים: 3 חודשים = 312 = 0.25 שנה.
M(0.25) = 1,000,000 · 1.01450.25📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.01450.25 ≈ 1.0036055 M(0.25) ≈ 1,003,605.45
(3)
2,000,000 · 1.0145t = 2,103,353.05📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.0145t = 2,103,353.052,000,000 ≈ 1.0516765
t = ln 1.0516765ln 1.0145 ≈ 3.5📐 פתרון משוואה מעריכיתat = b ⟹ t = ln bln a
✅ פתרון סופי: (1) 1,029,210.25 שקלים
(2) בערך 1,003,605.45 שקלים
(3) 3.5 שנים (שלוש שנים וחצי)

סעיף ב – הריבית הקבועה במסלול 2

נסמן את סכום ההלוואה M0. במסלול 1 בכל שנה כופלים בגורם הגדילה של אותה שנה:
מסלול 1: M0 · 1.01 · 1.022📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
= M0 · 1.03222
במסלול 2 אותו גורם q בשתי השנים:
M0 · q2 = M0 · 1.03222📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q2 = 1.03222 q = √1.03222 ≈ 1.01598
p = (1.01598 − 1) · 100 ≈ 1.6📐 אחוז הגדילהp = (q − 1) · 100
✅ פתרון סופי: ריבית שנתית של בערך 1.6% (ליתר דיוק 1.598%)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א1,029,210.25
1,003,605.45
3.5 שנים
סעיף בבערך 1.6%
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – פתרון בגרות 2023 ב
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e (מכפלה) וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (2x2 − 11x + 14) · e4 − x.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)?

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ג. אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ד. קבעו עבור אילו ערכי x מתקיים f(x) < 0 וגם f′(x) < 0. נמקו את קביעתכם.

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

גרפים I, II, III – שאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה

פולינום מוגדר לכל x, וגם e4 − x מוגדר לכל x.📐 תחום הגדרה של eeg(x) מוגדרת היכן ש־g מוגדרת
✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – חיתוך עם הצירים, קיצון וסקיצה

(1) חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = 14 · e4 ≈ 764.4
חיתוך עם ציר ה־x: e4 − x > 0 תמיד, ולכן רק הסוגריים מתאפסים:
2x2 − 11x + 14 = 0 x = 11 ± √(121 − 112)4 = 11 ± 34📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1 = 2 , x2 = 3.5
(2) נגזרת של מכפלה: u = 2x2 − 11x + 14 , v = e4 − x.
u′ = 4x − 11📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
v′ = −e4 − x📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(eg(x))′ = g′(x) · eg(x)
f′(x) = (4x − 11) · e4 − x − (2x2 − 11x + 14) · e4 − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
f′(x) = e4 − x · (4x − 11 − 2x2 + 11x − 14) = −e4 − x · (2x2 − 15x + 25)
2x2 − 15x + 25 = 0 x = 15 ± √(225 − 200)4 = 15 ± 54📐 נוסחת השורשיםn1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1 = 2.5 , x2 = 5
f(2.5) = (12.5 − 27.5 + 14) · e1.5 = −e1.5 ≈ −4.48
f(5) = (50 − 55 + 14) · e−1 = 9e ≈ 3.31
טבלת סימנים: e4 − x > 0, ולכן הסימן של f′ הפוך לסימן של 2x2 − 15x + 25 (פרבולה צוחקת):
xf′f
x < 2.5−יורדת
x = 2.50מינימום
2.5 < x < 5+עולה
x = 50מקסימום
x > 5−יורדת
מינימום ב־x = 2.5, מקסימום ב־x = 5.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
(3) לסקיצה: כש־x → ∞ הגורם e4 − x שואף ל־0 מהר יותר מכל פולינום, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה. כש־x → −∞ f → ∞.
xy23.553.31−4.48(2.5 , −4.48)(5 , 3.31)
הגרף של f לפי החישוב (נקודת החיתוך עם ציר y, בערך 764, מחוץ לתחום הציור).
✅ פתרון סופי: (1) (0 , 14e4) , (2 , 0) , (3.5 , 0)
(2) מינימום (2.5 , −e1.5) ≈ (2.5 , −4.48) , מקסימום (5 , 9e) ≈ (5 , 3.31)
(3) סקיצה למעלה

סעיף ג – איזה גרף הוא הנגזרת

מסעיף ב: f′ שלילית עבור x < 2.5 (בפרט f′(0) = −25e4 < 0), חיובית בין 2.5 ל־5, ושלילית עבור x > 5; שתי נקודות האפס חיוביות.
• גרף I חותך את ציר ה־y מעל ציר ה־x – כלומר f′(0) > 0 ✗
• גרף III עובר בראשית – כלומר f′(0) = 0 ✗
• גרף II חותך את ציר ה־y מתחת לציר, עולה מעל הציר בין שתי נקודות אפס חיוביות, ושוב יורד מתחת ✓
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ד – מתי f שלילית וגם יורדת

f(x) < 0 כאשר הסוגריים שליליים – בין השורשים: 2 < x < 3.5.
f′(x) < 0 (יורדת): x < 2.5 או x > 5.
החיתוך של שני התנאים:
2 < x < 2.5
✅ פתרון סופי: 2 < x < 2.5

סעיף ה – השטח בין f′ וציר x

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־x = 2.5 וב־x = 5. השטח הסגור הוא בין שתי הנקודות, שם f′ > 0 (משני הצדדים הגרף לא סוגר שטח עם הציר).
x2.55f′(x)
גרף הנגזרת לפי החישוב; השטח הסגור בתכלת.
הפונקציה הקדומה של f′ היא f עצמה:
S = ∫2.55 f′(x)dx = f(5) − f(2.5)📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
= 9e − (−e1.5) = 9e + e1.5 ≈ 3.31 + 4.48 ≈ 7.79
✅ פתרון סופי: S = 9e + e1.5 ≈ 7.79

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אכל x
סעיף ב(0 , 14e4) , (2 , 0) , (3.5 , 0)
מינימום (2.5 , −4.48) , מקסימום (5 , 3.31)
סעיף גגרף II
סעיף ד2 < x < 2.5
סעיף ה≈ 7.79
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln (מנה), שיקוף ומשיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (ln x)24x.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x) וסקיצה של גרף הפונקצייה g(x) באותה מערכת צירים.

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x) ועל ידי הישר המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודת המקסימום שלה.

ה. (1) מצאו את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודת המקסימום שלה. (2) מצאו ערך של c שבעבורו השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x) ועל ידי הישר y = c שווה ל־S. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום הגדרה

x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
גם המכנה 4x ≠ 0 – כבר מתקיים כש־x > 0.
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ב – חיתוך עם ציר x

(ln x)2 = 0 ln x = 0
x = 1📐 ln של 1ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: (1 , 0)

סעיף ג – נקודות הקיצון

נגזרת של מנה: u = (ln x)2 , v = 4x.
u′ = 2 ln x · 1x = 2ln xx📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(g(x))2]′ = 2g(x) · g′(x)
v′ = 4📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
f′(x) = 2ln xx · 4x − (ln x)2 · 416x2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 8ln x − 4(ln x)216x2 = ln x · (2 − ln x)4x2
ln x = 0 ⟹ x = 1
2 − ln x = 0 ⟹ x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(1) = 0 f(e2) = (ln e2)24e2 = 44e2 = 1e2 ≈ 0.135
טבלת סימנים (4x2 > 0; הסימן לפי ln x ו־2 − ln x):
xln x2 − ln xf′f
0 < x < 1−+−יורדת
1 < x < e2+++עולה
x > e2+−−יורדת
מינימום ב־x = 1, מקסימום ב־x = e2.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 0) , מקסימום (e2 , 1e2)

סעיף ד – סקיצה של f ושל g

ל־f: f ≥ 0 (מונה בריבוע, מכנה חיובי); ליד x = 0 המונה גדל והמכנה שואף ל־0, ולכן f → ∞ (אסימפטוטה x = 0); כש־x → ∞ f → 0.
g(x) = −f(x) – שיקוף של f בציר ה־x: המינימום של f נשאר (1 , 0) (והופך למקסימום), והמקסימום הופך למינימום (e2 , −1e2).📐 שיקוף בציר xg(x) = −f(x)(x , y) → (x , −y)
xy1e²201/e²−1/e²f(x)g(x)מקסימוםמינימום
f (כחול) ו־g (סגול) לפי החישוב. בירוק המשיקים y = 1/e² ו־y = −1/e²; השטח S והשיקוף שלו בתכלת.
✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ה – המשיק בנקודת המקסימום והערך של c

(1) בנקודת קיצון f′ = 0, כלומר שיפוע המשיק 0 – המשיק אופקי, דרך (e2 , 1e2):
y − 1e2 = 0 · (x − e2)📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
y = 1e2
(2) הגרף של g הוא שיקוף של הגרף של f בציר ה־x. בשיקוף הזה הישר y = 1e2 עובר לישר y = −1e2 (המשיק ל־g בנקודת המינימום שלו), והשטח S עובר לשטח החסום על ידי g והישר הזה.
שיקוף לא משנה מרחקים ולכן לא משנה שטח: השטח המשוקף שווה ל־S.📐 שיקוף בציר xg(x) = −f(x)(x , y) → (x , −y)
c = −1e2
✅ פתרון סופי: (1) y = 1e2
(2) c = −1e2 ≈ −0.135

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אx > 0
סעיף ב(1 , 0)
סעיף גמינימום (1 , 0) , מקסימום (e2 , 1e2)
סעיף דסקיצה
סעיף הy = 1e2
c = −1e2
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות