חקירת שורש- 5 יחידות -שאלון 571. 9 פרקים49 שיעורים3 שבועות
שיעור 23 – פתרון בגרות 2022 חורף-חקירת שורש
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
בסרטון פתרנו את שאלת חקירת פונקציית השורש מבגרות 481 חורף 2022: תחום הגדרה, חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון עם נגזרת של מכפלה (כולל קיצון קצה), סקיצה, הפונקציה g(x) = −2·f(x) ושטח משולש 👇
📝 השאלה: בגרות 481 חורף 2022, f(x) = x√x + 18
נתונה הפונקציה f(x) = x · √x + 18
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
ג. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = −2 · f(x).
ה. (1) מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן.
(2) נסמן ב־A וב־B את נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות f(x) ו־g(x) בהתאמה. הנקודה O היא ראשית הצירים. חשב את שטח המשולש ABO.
🔷 סעיף א: תחום הגדרה של x√x + 18
סעיף א: מצא את תחום ההגדרה של f(x).
מה שבתוך השורש צריך להיות גדול שווה 0:
x + 18 ≥ 0
מעבירים את 18 לאגף ימין:
תשובה: ת"ה: x ≥ −18
🔵 סעיף ב: נקודות החיתוך של פונקציית השורש עם הצירים
סעיף ב: מצא את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.
עם ציר y (x = 0):
f(0) = 0·√0 + 18 = 0 ← (0 , 0)
עם ציר x (y = 0):
0 = x · √x + 18
משהו כפול משהו שווה 0:
x = 0 (כבר מצאנו)
או
√x + 18 = 0 ← מעלים בריבוע
x + 18 = 0
x = −18 ← (−18 , 0)
תשובה: (0 , 0) , (−18 , 0)
🟢 סעיף ג: נקודות הקיצון (נגזרת של מכפלה עם שורש)
סעיף ג: מצא את כל נקודות הקיצון וקבע את סוגן.
מכפלה: f = x , g = √x + 18 ← (f·g)' = f'·g + g'·f
נגזרת של שורש: √f(x)' = f'(x)2√f(x)
גוזרים ומשווים ל־0:
f'(x) = 1·√x + 18 +
12√x + 18 · x = 0
√x + 18 + x2√x + 18 = 0
מעבירים אגף:
x2√x + 18 = −1√x + 181
כפל בהצלבה (תזכורת: √x·√x = x):
x = −2·(x + 18)
x = −2x − 36 ← +2x
3x = −36
x = −12
מציבים בפונקציה:
f(−12) = −12·√−12 + 18
= −12√6
סוג הנקודה: מציבים בנגזרת לפני שהעברנו אגפים (מתחת ל־−18 אין גרף):
f'(1) = √1 + 18 + 12√1 + 18
= √19 + 12√19 > 0 עולה
f'(−15) = √3 + −152√3 < 0 יורדת
| x | −18 | −15 | −12 | 1 |
| f' | − | 0 | + | |
| f | max | ↘ | min | ↗ |
נקודת קצה: x = −18 (ה־y כבר נמצא: 0). אחריה הפונקציה יורדת ← מקסימום.
תשובה: min(−12 , −12√6)
max(−18 , 0) (קצה)
max(−18 , 0) (קצה)
🟣 סעיף ד: סקיצה של גרף f(x) = x√x + 18
סעיף ד: סרטט סקיצה של גרף f(x).
מתחילים ב־(−18 , 0) (משמאל לה אין גרף), יורדים למינימום (−12 , −12√6), עולים דרך (0 , 0) וממשיכים לעלות.
תשובה: מ־(−18 , 0) למטה עד (−12 , −12√6) ואז למעלה דרך (0 , 0)
🔷 סעיף ה(1): נקודות הקיצון של g(x) = −2·f(x)
סעיף ה(1): מצא את נקודות הקיצון של g(x) וקבע את סוגן.
g(x) = −2·f(x): כל ערכי ה־y מוכפלים ב־−2. ה־x לא משתנה.
(−18 , 0) → (−18 , −2·0)
= (−18 , 0)
(−12 , −12√6) → −2·(−12√6) = 24√6
הכפל במספר שלילי הופך את הגרף, ולכן סוג הנקודות מתהפך. הנקודה (0 , 0) לא משתנה.
תשובה: min(−18 , 0)
max(−12 , 24√6)
max(−12 , 24√6)
🔵 סעיף ה(2): שטח המשולש ABO
סעיף ה(2): A ו־B נקודות הקיצון הפנימיות של f ו־g. חשב את שטח המשולש ABO.
A(−12 , −12√6) , B(−12 , 24√6) , O(0 , 0)
ל־A ול־B אותו x ← הצלע AB מקבילה לציר y, והגובה מ־O אליה מונח על ציר x (זווית של 90°).
S = AB · h2
AB = yB − yA
AB = 24√6 − (−12√6)
= 24√6 + 12√6 = 36√6
h = 12 (המרחק מ־0 ל־−12)
S = 36√6 · 122 = 216√6
תשובה: S = 216√6 ≈ 529.09
💡 לזכור
כשכופלים פונקציה במספר שלילי, כמו −2·f(x): ה־x של נקודות הקיצון נשאר, ה־y מוכפל, וסוג הנקודה מתהפך (מינימום ↔ מקסימום).
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il