שיעור 14-נגזרת פונקציית e

פתרון בגרויות בפונקציה מעריכית

חקירת פונקציית e‏ · 5 יחידות · שאלון 572

📄 דף הסבר: נגזרת של פונקציית e

כדי לגזור את e גוזרים את החזקה, שמים את הנגזרת שלה לפני ה־e, ואת ה־e עם החזקה מעתיקים כמו שהוא.

הכלל

y = e^mx

y' = m·e^mx

גוזרים את החזקה mx (הנגזרת שלה m) ושמים אותה לפני ה־e. ה־e עם החזקה תמיד נשאר.

בצורה כללית

y = e^f(x)

y' = f'(x)·e^f(x)

הנגזרת של החזקה כפול e בחזקת אותה חזקה.

הנגזרת הכי קלה

(e^x)' = e^x

הפונקציה והנגזרת אותו דבר.

מכפלה ומנה (מהנוסחאון)

[f(x)·g(x)]' =

f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) − f(x)g'(x)[g(x)]²

כשיש x בשני הביטויים – גוזרים לפי נוסחת המכפלה או המנה.

שלביםגזירת פונקציה עם e

1מה יש בפונקציה?

e לבד, מספר כפול e, סכום, מכפלה (x בשני הביטויים) או מנה.

2גוזרים את החזקה

הנגזרת של החזקה עוברת לפני ה־e, ומעתיקים את ה־e עם החזקה. מספר שכופל נשאר.

3מכפלה / מנה

מסמנים מי f(x) ומי g(x) ועובדים לפי הנוסחה.

4מסדרים

מוציאים גורם משותף e בחזקה – זה חשוב כשנחפש נקודות קיצון.

גוזרים את החזקה ← כפול e בחזקה (מעתיקים) ← מסדרים עם גורם משותף ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון גזרנו שבע פונקציות עם e: e בחזקת x, e בחזקת 2x, מספר כפול e, סכום של שתי פונקציות e, שתי נגזרות מכפלה ונגזרת מנה – וסידרנו כל נגזרת עם גורם משותף.

🔵 תרגיל 1: נגזרת של f(x) = e^x

מצאו את הנגזרת של f(x) = e^x

f'(x) = 1·e^x

הנגזרת של החזקה x היא 1, ומעתיקים את e^x

תשובה: f'(x) = e^x

🟢 תרגיל 2: נגזרת של f(x) = e^2x

מצאו את הנגזרת של f(x) = e^2x

הנגזרת של החזקה 2x היא 2:

f'(x) = 2·e^2x

תשובה: f'(x) = 2·e^2x

🟣 תרגיל 3: נגזרת של f(x) = 3e^2x – מספר שכופל נשאר

מצאו את הנגזרת של f(x) = 3e^2x

ה־3 נשאר, וגוזרים את e^2x:

f'(x) = 3·2·e^2x

= 6·e^2x

תשובה: f'(x) = 6·e^2x

🔷 תרגיל 4: נגזרת של סכום f(x) = e^x² + e^−x²

מצאו את הנגזרת של f(x) = e^x² + e^−x²

לפי y' = f'(x)·e^f(x):

הנגזרת של x² היא 2x, והנגזרת של −x² היא −2x

f'(x) = 2x·e^x² + (−2x)·e^−x²

תשובה: f'(x) = 2xe^x² − 2xe^−x²

🔵 תרגיל 5: נגזרת מכפלה f(x) = xe^x והוצאת גורם משותף

מצאו את הנגזרת של f(x) = xe^x

יש x בשני הביטויים ← נגזרת מכפלה:

f(x) = x

g(x) = e^x

f'(x) = 1·e^x + x·e^x

= e^x + x·e^x

גורם משותף e^x:

= e^x(1 + x)

תשובה: f'(x) = e^x(1 + x)

🟢 תרגיל 6: נגזרת מכפלה f(x) = (x + 2)e^2x

מצאו את הנגזרת של f(x) = (x + 2)e^2x

f(x) = x + 2

g(x) = e^2x

f'(x) = 1·e^2x

+ (x + 2)·2·e^2x

גורם משותף e^2x:

= e^2x[1 + (x + 2)·2]

(x + 2)·2 = 2x + 4

= e^2x·(5 + 2x)

תשובה: f'(x) = e^2x·(5 + 2x)

🟣 תרגיל 7: נגזרת מנה – פונקציית e במונה ובמכנה

מצאו את הנגזרת של f(x) = e^2x + 4e^x

נגזרת מנה (מהנוסחאון):

f'(x) = 2e^2x·e^x − (e^2x + 4)e^x(e^x)²

גורם משותף במונה e^x, ובמכנה:

(e^x)² = e^2x

= e^x[2e^2x − (e^2x + 4)]e^2x

= e^x[2e^2x − e^2x − 4]e^2x

תשובה: f'(x) = e^x(e^2x − 4)e^2x

💡 לזכור

גוזרים את החזקה ושמים אותה לפני ה־e, ואת ה־e עם החזקה מעתיקים: (e^f(x))' = f'(x)·e^f(x). אחרי מכפלה או מנה – מוציאים גורם משותף e בחזקה.

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים