שיעור 32 -תרגול הרכבת פונקציה מבוסס על בגרות 2024

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

תרגול הרכבה מתוך בגרות 572 חורף 2024 (שאלה 5, הסעיף האחרון): לפי הסרטוט של g(x) מסרטטים סקיצה של e^g(x) – קיצון, עלייה וירידה, אסימפטוטה אופקית, ובדיקה אם יש חור או אסימפטוטה אנכית.

נתון הסרטוט של g(x) (מוגדרת ל-x > 0, x ≠ a, חור ב-(0, 1), אסימפטוטה אנכית x = a, מקסימום ב-x = e, אסימפטוטה אופקית y = −1). נתון: e^g(e) ≈ 0.6. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה e^g(x).

🔵 שלב 1: נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה של e^g(x)

מה הקשר בין הקיצון והעלייה/ירידה של g(x) לאלה של e^g(x)?

(g(x))' = g'(x)

(e^g(x))' = g'(x)·e^g(x) = 0

e^g(x) > 0 תמיד ← g'(x) = 0

אותה נגזרת ← אותן נקודות קיצון, אותו סוג, ואותם תחומי עלייה וירידה כמו ב-g(x).

רק ה-y משתנה: הקיצון של g(x) ב-x = e הוא max, ולכן גם ל-e^g(x) יש max בנקודה (e, e^g(e)).

נתון: e^g(e) ≈ 0.6

תשובה:
max: (e, e^g(e)) ≈ (e, 0.6)
עלייה: 0 < x < a , a < x < e
ירידה: x > e

🟣 שלב 2: האסימפטוטה האופקית של e^g(x)

מצא את האסימפטוטה האופקית של e^g(x).

הפונקציה מוגדרת רק ל-x > 0 ← בודקים רק x → ∞.

Limx→∞ e^g(x) = e^g(∞)

מהסרטוט: g(∞) → −1

= e⁻¹ = 1e

תשובה: y = 1e

🟢 שלב 3: בנקודה x = 0 – חור או אסימפטוטה אנכית?

ב-g(x) יש חור ב-x = 0. מה קורה שם ל-e^g(x)?

הפונקציה מוגדרת קצת אחרי 0 ← בודקים 0⁺:

Limx→0⁺ e^g(x) = e^g(0⁺)

מהסרטוט: g(0⁺) → 1

= e¹ = e

יצא מספר ← חור, וה-y שלו הוא המספר שיצא.

תשובה: חור בנקודה (0, e)

🔷 שלב 4: האסימפטוטה האנכית x = a – בודקים משני הצדדים

ב-g(x) יש אסימפטוטה אנכית x = a. מה יש ל-e^g(x) מימין ומשמאל ל-a?

צד ימין:

Limx→a⁺ e^g(x) = e^g(a⁺)

מהסרטוט: g(a⁺) → −∞

= e^−∞ = 1e^∞ = 0

מימין: חור בנקודה (a, 0)

צד שמאל:

Limx→a⁻ e^g(x) = e^g(a⁻)

מהסרטוט: g(a⁻) → ∞

= e^∞ = ∞

משמאל: אסימפטוטה אנכית x = a

תשובה:
משמאל: אסימפטוטה אנכית x = a
מימין: חור (a, 0)

🔵 שלב 5: סקיצה של e^g(x)

מסרטטים לפי כל הנתונים: תמיד מעל ציר ה-x.

0 < x < a: מהחור (0, e) עולה, צמוד לאסימפטוטה x = a.

a < x < e: מהחור (a, 0) עולה עד ה-max (e, 0.6).

x > e: יורדת ומתקרבת ל-y = 1e.

תשובה: הסקיצה שלמעלה
חורים: (0, e) , (a, 0)
max: (e, 0.6)
אסימפטוטות: x = a (משמאל) , y = 1e

💡 לזכור

ב-e^g(x) מציבים בחזקה את מה ש-g שואפת אליו מהסרטוט.

יצא מספר ← חור (ה-y הוא המספר); יצא ∞ ← אסימפטוטה אנכית.

קיצון ועלייה/ירידה – כמו ב-g(x); רק ה-y משתנה.

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים

שיעור 32 -תרגול הרכבת פונקציה מבוסס על בגרות 2024

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

🔵 שלב 1: נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה של eg(x)

🟣 שלב 2: האסימפטוטה האופקית של eg(x)