שיעור30- הרכבה על פונקציה e בחזקת f(x)

פתרון בגרויות בפונקציה מעריכית

חקירת פונקציית e‏ · 5 יחידות · שאלון 572

📄 דף הסבר: הרכבה – e^g(x)

נתון סרטוט של g(x) ו־f(x) = e^g(x). מה עובר מ־g(x) אל f(x) ומה משתנה

הנגזרת

f'(x) = g'(x)·e^g(x)

גוזרים את החזקה וכופלים ב־e עצמו. למשל (e^3x)' = 3·e^3x.

תמיד חיובית

e^x > 0 לכל x, ולכן גם e^g(x) > 0 – הסרטוט תמיד מעל ציר x.

מה נשמר

תחום הגדרה – התחום של g(x) "נמשך" ל־e^g(x).

נקודות קיצון – אותו x ואותו סוג (max / min).

עלייה וירידה – אותם תחומים.

מה משתנה

רק ערך ה־y: בנקודת קיצון y = e^g(x).

אסימפטוטה אופקית: אם ל־g(x) יש y = 0,

אז ל־f(x) יש y = e⁰ = 1

שלביםחקירת e^g(x) לפי סרטוט של g(x)

1תחום הגדרה

קוראים מהסרטוט את התחום של g(x) – זה גם התחום של f(x).

2אסימפטוטה אופקית

משאיפים ל־∞ ול־−∞: מציבים את הגבול של g בחזקה של e.

3נקודות קיצון

g'(x)·e^g(x) = 0 ← g'(x) = 0 (כי e^g(x) = 0 אין פתרון). אותם x, אותו סוג; y = e^g(x).

4סרטוט

חיתוך עם ציר y: (0, e^g(0)). מסמנים קיצון ואסימפטוטה – הסרטוט מעל ציר x.

אותם x · אותו סוג · אותה עלייה וירידה · רק y = e^g(x) משתנה ✅

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון חוקרים את f(x) = e^g(x) רק בעזרת הסרטוט של g(x): תחום הגדרה, אסימפטוטה אופקית, נקודות קיצון וסרטוט.

בסרטוט נתון גרף הפונקציה g(x). נתונה הפונקציה f(x) = e^g(x).

מהסרטוט: g(x) מוגדרת לכל x, אסימפטוטה אופקית y = 0 (ציר x) משני הצדדים, max (1, 1), min (−1, −1), עוברת ב־(0, 0).

🔵 סעיף 1: תחום ההגדרה של f(x) = e^g(x)

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

g(x) מוגדרת לכל x – אין לה אסימפטוטה אנכית, והסרטוט הולך ל־∞ ול־−∞.

e^x מוגדר לכל x, ובהרכבה התחום של g(x) נמשך גם ל־e^g(x).

תשובה: כל x

🟣 סעיף 2: האסימפטוטה האופקית של f(x) – הצבה של g(∞) ו־g(−∞)

מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x).

ל־g(x) יש אסימפטוטה אופקית y = 0.

משאיפים ל־∞: g(∞) → 0

e^g(∞) → e⁰ = 1 ← בצד ימין y = 1

משאיפים ל־−∞: g(−∞) → 0

e^g(−∞) → e⁰ = 1 ← גם בצד שמאל y = 1

תשובה: y = 1

🟢 סעיף 3: נקודות הקיצון של f(x) וסוגן – גזירת e^g(x)

מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.

f'(x) = (g(x))'·e^g(x)

f'(x) = g'(x)·e^g(x) = 0

g'(x) = 0 או e^g(x) = 0 ← אין פתרון (תמיד חיובי)

g'(x) = 0 ← אלה נקודות הקיצון של g:

x = −1 ← min

x = 1 ← max

x = 1: y = e^g(1) = e¹ ← max

x = −1: y = e^g(−1) = e⁻¹ ← min

e^g(x) חיובי, לכן העלייה והירידה כמו ב־g(x): יורדת, עולה, יורדת.

תשובה: max (1, e¹)
min (−1, e⁻¹)

🔷 סרטוט הפונקציה f(x) = e^g(x) – מעל ציר x

סרטט את הפונקציה f(x) (כפי שנעשה בסרטון).

חיתוך עם ציר y: x = 0 ← e^g(0) = e⁰ = 1 ← (0, 1)

מסמנים max (1, e), min (−1, e⁻¹) ואסימפטוטה y = 1.

e^g(x) > 0 ← הסרטוט כולו מעל ציר x.

תשובה: (0, 1)

💡 לזכור

ב־e^g(x): תחום ההגדרה, ה־x של נקודות הקיצון, סוגן והעלייה/ירידה – כמו ב־g(x). רק ה־y משתנה ל־e^g(x), והסרטוט תמיד מעל ציר x.

חקירת פונקציית e- 572 2 פרקים36 שיעורים18 שבועות

כניסה לשיעורים